复变函数与积分变换 第2版4.3泰勒级数_第1页
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第四章级数4.1复数项级数4.2幂级数4.3泰勒级数4.4洛朗级数第四节泰勒级数一、复数项数列二、复数项级数一、泰勒级数z0Kzrz按柯西积分公式,有且z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成z0Kzrzz0Kzrz在K内成立,即f(z)可在K内用幂级数表达.q与积分变量z无关,且0

q<1.K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数M使|f(z)|

M.因此,下面的公式在K内成立:称该等式为f(z)在z0点的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.

圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0点的泰勒展开式在圆域|z-z0|<d内成立.定理(泰勒展开定理)：

设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|<d时,

注：如果f(z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径R等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a的距离,即R=|a-z0|.说明：（2）任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.yz0ax例1.求ez

在z=0处的泰勒展开式,解：由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.1.直接展开法二、将函数展开为泰勒级数的方法利用泰勒定理，直接计算展开系数借助这些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据得出函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:2.间接展开法解：由于函数有一奇点z=-1,而在|z|<1内处处解析,所以可在|z|<1内展开成z的幂级数.因为例2、

把函数展开成z的幂级数.例3、求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解：

ln(1+z)在从-1向左沿

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