河南枢校2026届高三数学上学期天一小高考二试题含解析

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.若复数za12a4i（aR）为纯虚数，则a（）

A.2B.1C.0D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用已知复数为纯虚数，得出实部为0，虚部不为0，进而计算求解．

【详解】za12a4i为纯虚数，

a10

，解得a1，a2，当a1时z2i，符合题意．

2a40

a1．

故选：B．

2.已知集合A3,1,1,2，Bxx3，则AB（）

A.1,1,2B.1,1C.AD.B

【答案】A

【解析】

【分析】先解绝对值不等式化简集合BBx3x3，再根据集合的交集概念即可得到答案.

【详解】由题可知Bx3x3，

则AB1,1,2，

故选：A.

a

3.已知函数fxex，则（）

ex

A.a0，fx为奇函数B.a0，fx为偶函数

C.a0，fx为偶函数D.a0，fx为奇函数

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查函数的奇偶性，利用常见函数模型的奇偶性即可得到答案.

1

【详解】当a1时，fxexexex，为奇函数，

ex

2

当a2时，fxexex2ex，为非奇非偶函数，

ex

因为fxexaex，

所以当a0时，显然fxfx，

因为fxexaex.若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，

即exaex(exaex)，整理得(1a)(exex)0.

因exex0恒成立，故需1a0，即a1.

所以存在a10使f(x)为奇函数，故D正确.

故选：D

1

4.若函数ycosx在区间,2上的值域为,1，则（）

2

πππ2π

A.B.C.D.

6323

【答案】B

【解析】

π1

【分析】根据余弦函数的性质及已知区间的值域有02π、cos2，即可得.

22

1π

【详解】由,2上函数的值域为,1，故02π，

22

12ππ

所以cos2，故2，则.

233

故选：B

11

5.已知等比数列a的前n项积为T，且T，T，则T（）

nn34528

A.16B.4C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，求得，结合等比数列的性质，得到4，即可求解.

a4a52T8a4a5

11

【详解】因为等比数列a的前n项积为T，且T，T，

nn3452

11

可得TaaaaaTaaaa，所以aa2，

512345345445245

由等比数列的性质，可得44.

T8a1a2a3a4a5a6a7a8a4a5216

故选：A.

6.已知sinsin2sin3（kπ，kZ），则cos（）

1111

A.B.C.D.

4422

【答案】C

【解析】

【分析】应用三角恒等变换得sin2sincossin2cos212sincos2，进而得到

2cos2cos10求解即可.

【详解】因为sinsin2sin3，

所以sin2sincossincos2cossin2sin2cos212sincos2，

因为kπ，kZ，所以sin0，则12cos2cos212cos2，

1

即2cos2cos10，解得cos或cos1（舍去）.

2

故选：C

7.在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设AMABAF，则的取

值范围是（）

A.1,5B.2,4C.1,3D.1,4

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到,取值范围，进而的取值范

围，得到答案.

【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知，

当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是1,3；

当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是3,4.

综上，可知的取值范围是1,4.

故选：D.

8.已知5a6，若m4a5，n6a7，则（）

A.mn0B.nm0C.n0mD.m0n

【答案】C

【解析】

ln6

【分析】由指数与对数关系及换底公式得a，再应用作差法、放缩法比较大小，即可得.

ln5

ln6

【详解】因为5a6，则alog6，

5ln5

由

4

ln6ln

ln6ln6ln6ln4ln5ln4ln6ln5(ln6ln4ln5)(ln4ln5)(ln6ln5)

50

4

ln5ln5lnln5ln4ln4ln5ln4ln5

5

，

424

ln6lnln

ln6ln4ln5ln5

所以a55log5，则a，

4445

ln5lnln4ln4ln4

5

7

ln6ln

ln6ln6ln7ln6(ln5ln7ln6)ln5ln7(ln5ln6)(ln6ln7)

由60

7

ln5ln5lnln5ln5ln7ln6ln5(ln5ln7ln6)ln5(ln5ln7nl6)

6

7

ln6ln

6ln7ln7ln7a

所以alog67，所以67，

735

ln5lnln5ln7ln6lnln6

66

所以m4a50n6a7，则n0m.

故选：C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S2S1S3，则（）

A.a10B.a20C.S30D.S40

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据等差数列的性质进行判断即可.

【详解】对于A，B，因为S2S1S3，所以a2S2S10，a3S3S20，

则an的公差d0，则a10，故A错误，B正确；

3aa

对于C，因为S133a0，故C正确；

322

4a1a4

对于D，因为S3S1a2a30，所以S2aa0，故D正确.

4223

故选：BCD.

π

10.已知函数fxsinx（0），则下列结论正确的是（）

3

3

A.fx的图象恒过点0,

2

π

B.若fx为奇函数，则的最小值为3

6

ππ

C.若1，则fx的图象与动直线yax在区间,上的交点个数恒为1

22

D.若，且，则3

fx1fx2fx1fx20fxx

122

【答案】AD

【解析】

【分析】由解析式的形式及正弦函数的性质确定图象所过的定点判断A，由正弦型函数的奇偶性列方程求参

ππ

xx

数值判断B，利用函数的图象分析区间交点个数判断C，根据前提条件有12π，进

33kπ

22

π

而得xx2kπ，即可判断D.

123

π33

【详解】对于A：因为f0sin，所以fx的图象恒过点0,，正确；

322

πππππ

对于B：因为fxsinxsinx奇函数，

66336

ππ

所以kπ（kZ），解得26k（kZ），

36

又0，所以的最小值为2，错误；

ππππ1π1

对于C：如图，画出fxsinx在区间,上的图象，其两端点,与,关于原

3222222

ππ

点对称，所以两点连线经过原点，结合图象知fx的图象与动直线yax在区间,上可能有2个

22

1

交点，且有2个交点时，a，错误；

π

ππ

π

对于D：由题知x1x2（），则（），

33πkZx1x22kπkZ

kπ3

22

所以2π3，正确.

fx1x2sin2kπ

32

故选：AD

11.已知数列an满足an1ananlnan1，则下列结论正确的是（）

A.an可能是等比数列B.an的各项可能都大于1

的

C.an各项可能都小于1D.若a11，则an是递减数列

【答案】ABD

【解析】

1

【分析】本题考查数列与函数的综合.对于A，可以举特例，对于B，C，构造函数gxlnx，研究其

x

1

最值即可，对于D，构造函数hxlnxx，研究其在1,的最值即可.

x

【详解】对于A，当a11时，a2a1a1lna1a21，

依次类推，a3a4an1，

所以an是等比数列，故A正确；

1

对于B，C，由题可知an0，an1lnan，

an

1x1

设gxlnx，则gx，

xx2

令gx0，得x1，

当x0,1时，gx0，gx单调递减，

当x1,时，gx0，gx单调递增，

所以，

gxming11

若0a11，则a2ga11，a3ga21，…，an1gan1，…，

若a11，则a2ga11，a3ga21，…，an1gan1，…，故B正确，C错误；

1

对于D，an1anlnanan，

an

1x2x1

设hxlnxx，则hx0，

xx2

所以hx在1,上单调递减，

所以hxh10，

1

所以lna1a10，即a2a1，

a1

同理a3a2，…，an1an，则an是递减数列，故D正确；

故选ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

1

12.曲线yx3x2的切线斜率的最小值为__________．

3

【答案】1

【解析】

【分析】先求导，再利用导数的几何意义结合函数性质求解．

12

【详解】yx3x2，求导得y'x22xx11，

3

当x1时，y'取得最小值1，

1

曲线yx3x2的切线斜率的最小值为1．

3

故答案为：1．

13.目前世界最大跨度斜拉桥——中国常泰长江大桥（如图（1））于2025年9月9日正式通车，这种桥体

可减小梁体内弯矩，减轻结构重量，节省材料.如图（2）为一座斜拉桥的设计方案图，AB为主梁，CD为索

塔，且CD垂直平分AB，AC，EC为两条斜拉索，若DE20m，AE40m，CED，A，且2，

则索塔CD最高为______m.

【答案】203

【解析】

xxπ

【分析】设CDxm，则tan，tan，结合≥20，利用正切函数的单调性列

20602

不等式，求解即可.

xx

【详解】设CDxm，则tan，tan.

2060

π2tan

因为≥20，所以tan≥tan20，

21tan2

x

2

x

≥60

即20，解得0x≤203，即索塔CD最高为203m.

20x

1

60

故答案为：203

π1

14.已知非零向量m，n的夹角为，且m1，若对任意的tR，恒有mtnmn，则

32

xmnxm2n（xR）的最小值为__________．

【答案】7

【解析】

【分析】先求出mn，利用已知条件化简求出n1，代入xmnxm2n，将其转化为求点Px,0

13

到点A,，B1,3的距离之和的最小值，最后利用两点之间，线段最短的性质求最小值．

22

π

【详解】非零向量m，n的夹角为，且m1，

3

π1

mnmncosn，

32

1

mtnmn，

2

2

2122112

mtnmn，即ntntnn0，

224

1

对任意的tR，恒有mtnmn，

2

221122

Δn4nnn0，即n10，则n1，

24

22

xmnxm2nxmnxm2n

2

22132

xx1x2x4xx13，

24

13

表示点Px,0到点A,，B1,3的距离之和，

22

取点B1,3关于x轴的对称点C1,3，则PAPBPAPC，如下图所示，

22

13

当点A，P，C共线时PAPC最小，最小值为AC137，

22

xmnxm2n（xR）的最小值为7．

故答案为：7．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC，csinA4.

5

（1）求a；

12

（2）若csinB，求AB边上的高h.

5

613

【答案】（1）5；（2）h.

13

【解析】

4

【分析】（1）根据已知得sinC，再应用正弦定理求边长；

5

（2）应用正余弦定理求得b3、c213，再利用等面积法求AB边上的高h.

【小问1详解】

2

3π234

因为cosC，所以C,π，则sinC1cosC1，

5255

accsinA

由正弦定理得，所以a5；

sinAsinCsinC

【小问2详解】

bccsinB

由正弦定理得，所以b3，

sinBsinCsinC

223

由余弦定理可得cab2abcosC259253213，

5

11141

因为SabsinCch，即53213h，

ABC22252

613

所以AB边上的高h.

13

16.已知等差数列满足，2（为常数）.

ana11an1an4n

（1）求的值，并求an的通项公式；

1

（2）求数列的前n项和Sn.

an1an

【答案】（1）1，an2n1

n

（2）S

n2n1

【解析】

【分析】（1）设的公差为，即可得到，再由2得到方程组，解得、，即可得

andanan1an4nd

解；

1111

（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.

an1an22n12n1

【小问1详解】

设an的公差为d，则an1n1d.

所以222，

an1an1nd1n1ddn2ddn1d4n

d24

d2

所以2dd0，解得.

1

1d

所以an的通项公式为an12n12n1.

【小问2详解】

由（1）可得2.

an1an4n1

111111

所以2，

an1an4n12n12n122n12n1

1111111

则Sn

213352n12n1

11n

1.

22n12n1

17.已知函数fx2sinxxcosx，x0,π.

（1）若对任意的x0,π，fxmxcosx恒成立，求实数m的取值范围；

2x2

（2）证明：有且仅有一个极值点，且fx0.

fxx002

1x0

【答案】（1）1,；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）先求得fxcosxxsinx，将已知恒成立转化为msinx在x0,π时为恒成立，进

而由求解即得；

msinxmax

π

（2）令hxfxcosxxsinx，利用导数hx分析得到fx在,π上有唯一零点x0，并利

2

的

用fx分析fx单调性得到fx有且仅有1个极值点x0，再结合同角三角函数关系即可求得

2x2

fx0，从而得证.

02

1x0

【小问1详解】

因为fx2sinxxcosx，

所以fx2cosxcosxxsinxcosxxsinx.

因为fxmxcosx在x0,π时恒成立，

所以msinx在x0,π时恒成立.

因为当x0,π时，0sinx1，

所以m1，即m的取值范围是1,.

【小问2详解】

由（1）可知fxcosxxsinx.

令hxfxcosxxsinx，则hxxcosx.

π

当x0,时，cosx0，所以hx0，hx单调递增，

2

π

当x,π时，cosx0，所以hx0，hx单调递减.

2

ππ

又x0则hx1，h0，xπ则hx1，

22

π

所以hx，即fx在,π上有且仅有一个零点，设为x0，

2

当x0,x0时，fx0，fx单调递增，

当xx0,π时，fx0，fx单调递减.

所以fx有且仅有1个极值点x0.

因为fx0cosx0x0sinx00，所以cosx0x0sinx0，

1

两边平方得222，即222，解得2，

cosx0x0sinx01sinx0x0sinx0sinx02

1x0

π1

因为，所以，则sinx.

x0,πsinx0002

21x0

2

22x

所以fx2sinxxcosx2sinxxxsinx2xsinx0.

00000000002

1x0

18.已知等比数列an的公比为q（q1），等差数列bn的公差为d，且a1b1，a2b2.

（1）若a12，且a3b4，

（ⅰ）求q的值；

b

n

（ⅱ）若cn，求数列cn的前n项和Sn.

an

的

（2）若a3bt（t3），证明：an中每一项都是bn中的项.

n2

【答案】（1）（ⅰ）2；（ⅱ）S4

n2n1

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）（ⅰ）根据题意，结合等差、等比数列的通项公式，列出方程组，求得q的值；（ⅱ）由（ⅰ）

n

得到c，利用乘公比错位相减法求和，即可求解；

n2n1

2

（2）根据题意，求得da1q1，由a3bt，得到a1qa1t1a1q1，再由已知得到a1,a2,a3

是bn中的项，当n4时，令anbs，结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，即可得证.

【小问1详解】

ab2q2d

解：（ⅰ）由题意知：22且，可得，且，

a122q1

a3b42q23d

所以q23q20，解得q1（舍去）或q=2，所以q的值为2.

b2nn

（ⅱ）由（ⅰ）可知n，则n，

an2,bn2ncnnn1

an22

123n

所以S，

n2021222n1

1123n

则S，

2n2122232n

1

1

11111nnnn2

两式相减得S22，

n012n1n1nn

222222122

2

n2

所以S4.

n2n1

【小问2详解】

证明：由a1b1，a2b2，可得da1q1，

2

因为a3bt，所以a1qb1t1da1t1a1q1，

2

又因为a10，所以q1t1q1，

因为q1，所以q1t1，即qt2，所以q1且为正整数.

由已知a1,a2,a3是bn中的项，

n1

当n4时，令anbs，则a1qb1s1da1s1a1q1，

1qn1

s111qq2qn22qq2qn2.

1q

因为q1且为正整数，所以s为正整数，

*

即对任意的n4，均存在sN，使得anbs，

所以an中的每一项都是bn中的项.

19.已知函数fxalnxx.

（1）讨论fx的单调性；

b

（2）当a4时，若不等式x2bxcfx0恒成立，求的值；

lnc

（3）若fx有两个不同的零点x1，x2（x1x2），且x1fx1x2fx2kx1x2恒成立，

求实数k的最小值.

x1

附：当x1时，1.

lnx

【答案】（1）答案见解析

（2）-4（3）0.

【解析】

【分析】（1）对函数求导，分a0,a0两种情况分别讨论函数的单调性.

（2）先确定当a4时fx的单调区间和零点，即m4lnm，n4lnn，然后使得x2bxc0的

b

两根恰为m，n，结合韦达定理对进行化简求出结果即可.

lnc

lnxxx

（3）先确定fx的两个零点之间的关系式