浙江衢州市2026年初中学业水平调研测试数学试题卷

浙江衢州市2026年初中学业水平调研测试数学试题卷1．-a表示()A．a的相反数 B．a的绝对值 C．a的倒数 D．a的-1次幂2．如图，一段管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行．若第一个弯道处∠B=142°，则第二个弯道处∠C的度数为（）A．38° B．48° C．52° D．142°3．下列计算正确的是()A．a5+a5=a10 B．4．如图是一个长方体的立体图和左视图，则左视图中的a的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．8名同学某双休日锻炼的时间如下(单位：时)：2，4，4，2，3，3，4，5，这组数据的中位数是()A．2.5时 B．3时 C．3.5时 D．4时6．如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°得到△A'OB'A．13° B．23° C．32° D．45°7．在一个不透明箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．从箱子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出1个球．这样先后摸到的两球均为红球的可能有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种8．人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为()A．360x+3=300x B．360x9．如图，某农家计划利用已有的一堵长为7.9m的墙，用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子，设AB长为A．x=4 B．x=2.5 C．x=2 D．x=1.510．A，B两地相距2100米，小李和小赵均从A地出发去往B地．小李步行先出发，6分钟后小赵骑共享单车出发．小李和小赵之间的距离s（米）与小李出发的时间t（分）之间的函数关系如图所示．当小赵到达B地时，小李距离B地（）A．780米 B．800米 C．1200米 D．1260米11．计算(a−2)(a+2)=．12．在平面直角坐标系中，将点A1,2向右平移2个单位，向上平移1个单位，所得点B的坐标是13．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：抽查的头盔数n10020030050080010003000合格的头盔数m941942894797699602880合格头盔的频率m0.9400.9700.9630.9580.9610.9600.960若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有个．14．如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C是切点．若∠P=45°，则∠PAC的大小为．15．如图，矩形ABCD是一张长宽比为2:1的标准纸，将矩形纸片沿DE折叠，使得点C落在点C'处，且A，C'，E三点在同一直线上，则16．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AC=BC，AB+AD=a（a为常数），记AD长为x，AC2长为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当y=12时，四边形ABCD的面积为17．约分：a18．解不等式组5x+2>3x−2①19．【实验与验证】如图1，做一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将角平分仪上的顶点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．（1）请说明AE平分∠PRQ的理由．【迁移与作图】（2）请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出∠PRQ的平分线．20．据浙江省疾病预防控制中心调查，随机抽取全省31000名中小学生进行脊柱侧弯情况检测，统计中发现女生脊柱侧弯检出率是男生的1.5倍，部分结果描述如下表：抽取的学生脊柱侧弯情况统计表统计维度详细类别调查人数脊柱侧弯人数脊柱侧弯检出率性别女生abc男生160004482.8请根据统计表信息解答下列问题：（1）写出a，b，c之间的关系式；（2）求脊柱侧弯的学生的总人数；（3）小明认为我省中小学生脊柱侧弯检出率即男、女生脊柱侧弯检出率的平均数，请判断小明的说法是否正确，列式说明（可不计算结果）．21．如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板.3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒．现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：裁剪方法纸板数量（张）图1所示方法图2所示方法裁得的纸板数量小长方形纸板数正方形纸板数2xy（1）①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y；②当m=13时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题；（2）当m=29时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案．22．如图1，在▱ABCD中，BC=5，对角线AC=7，∠BAC=45°．作DE⊥AC，垂足为点E，且DE<AE．（1）求DE的长．（2）如图2，连结BE，求△ABE的中线AF的长．23．已知二次函数y=ax2+bx+1（1）求该图象的对称轴．（2）若该函数的最大值为−a（3）已知Mx1,m，Nx2,m为该函数图象上两点，当24．如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB=AC．弦CD⊥AB于点E，连结OB，交CD于点F．（1）求证：∠BCD=∠ABO．（2）如图2，连结BD．若sin∠CAB=35（3）当CD=11，BF=25时，求⊙O

答案解析部分1．【答案】A【知识点】相反数的意义与性质【解析】【解答】解：A：a的相反数是-a，说法正确；B：a的绝对值是|a|，原说法错误；C：a的倒数是1aD：a的-1次幂是1a故答案为：A.【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．2．【答案】D【知识点】两直线平行，内错角相等【解析】【解答】解：∵管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行，∴拐弯前后的两段管道所在的直线平行，∴∠C=∠B，∵∠B=142°∴∠C=142°．

故答案为：D.

【分析】由二直线平行，内错角相等可直接得出答案.3．【答案】D【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算【解析】【解答】解：A、a5B、a2C、(aD、a6故答案为：D.【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方法则逐项计算解答即可．4．【答案】B【知识点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：由立体图可知，该长方体的长为5，宽为4，高为6，∵左视图反映物体的宽和高，∴左视图矩形的宽a等于长方体的宽，∴a=4．

故答案为：B.

【分析】几何体的左视图就是从几何体的左面看得到平面图形，故左视图反映物体的宽和高，据此结合长方形的宽即可得出答案.5．【答案】C【知识点】中位数【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序，得：2,∵这组数据共有8个，个数为偶数，∴中位数为排序后第4个数和第5个数的平均数．∵第4个数是3，第5个数是4，∴中位数为3+42故答案为：C.【分析】根据中位数的定义解答即可．6．【答案】C【知识点】角的运算；旋转的性质【解析】【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针方向旋转45°得到△A'OB'，∴旋转角∠BOB又∵∠AOB=13°，∴∠AOB'=∠BOB'7．【答案】D【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式【解析】【解答】解：画出树状图如下．

根据树状图，可得，先后摸得的两球均为红球的情况有4种．

故答案为：D.

【分析】此题是抽取放回类型，用树状图列举出所有等可能的情况数，即可得出先后摸得的两球均为红球的情况数.8．【答案】B【知识点】列分式方程【解析】【解答】解：∵设甲组平均每人制作x张，则乙组平均每人制作(x−3)张．可得方程360x故答案为：B.【分析】设甲组平均每人制作x张，根据“甲组制作360张，乙组制作300张，甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张”列分式方程即可.9．【答案】D【知识点】一元一次不等式的应用-几何问题【解析】【解答】解：设AB长为xm，则BC长为12x∵墙长为7.9m，且BC边与墙平行且受墙长限制，∴BC≤7.9，即12x∵x>0，∴7.9x≥12，∴x≥141∵120∴x=1.5不符合题意．

故答案为：D.

【分析】设AB长为xm，根据矩形面积可得其长BC为12x10．【答案】A【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合【解析】【解答】解：小李的速度为480÷6=80（米/分），小赵的速度为80×10÷(10-6)=200（米/分），小赵到达B地所需时间为2100÷200=10.5（分），当小赵到达B地时，小李步行的路程为80×6+10.5∴小李距离B地2100−1320=780（米）．

故答案为：A.

【分析】根据图象提供的信息可得小李6分钟步行480米，小李出发10分钟时，小赵追上了小李，根据路程、速度、时间三者的关系可分别求出小李和小赵的速度，进而可求出小赵到达B地所需时间及小赵到达B地时小李步行的路程，最后根据小赵到达B地时，小李距离B地的距离等于A、B两地之间的距离减去小李步行的路程列式计算即可.11．【答案】a【知识点】平方差公式及应用【解析】【解答】(a−2)(a+2)=a故答案为：a

【分析】利用平方差公式展开即可。12．【答案】3,3【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵A1,2，将点A向右平移2个单位，横坐标计算为1+2=3，再向上平移1个单位，纵坐标计算为2+1=3∴平移后所得点B的坐标为3,3．

故答案为：(3，3).

【分析】根据坐标平面内点的坐标平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”直接求解即可.13．【答案】9600【知识点】利用频率估计概率【解析】【解答】解：由表格可知，随着抽查头盔数n增大，合格头盔的频率逐渐稳定在0.96，因此估计生产10000个头盔，合格头盔数为10000×0.96=9600（个）．

故答案为：9600.

【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此观察表格得到合格头盔频率的稳定值，再用总生产数量乘稳定频率得到估计的合格头盔数．14．【答案】22.5°【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余【解析】【解答】解：连接OC，

∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵∠P=45°，∴∠COP=90°−∠P=45°，∴∠PAC=12∠COP=22.5°．

15．【答案】2【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：设矩形ABCD的长为2a，宽为a则AD=BC=2a，AB=CD=a，∠B=∠C=90°，AD∥BC，

由折叠的性质得，∠DC'E=∠C=90°∴∠DC在△ABE与△DC'A中，∵∠DAB=∠AEB，∠B=∠AC'D=90°，AB=DC'，

∴△ABE≌△DC'A（AAS）

∴AE=AD=2在Rt△ABE中，BE=∴CE=BC-BE=2∴CDCE=a2−1a=2+1．

故答案为：2+1.

【分析】设矩形ABCD的长为2a，宽为a，根据矩形的性质得AD=BC=2a，AB=CD=a16．【答案】43或【知识点】等腰三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AC平分∠DAB，∴∠ACD=∠BAC,∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠DAC，∴AD=CD，∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，∴∠BAC=∠CAD,∠ABC=∠ACD，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB∴AC∵AB+AD=a（a为常数），AD长为x，AC∴y=xa−x∵−1<0，∴当x=a2时，y有最大值由图2知，a2∴a=8（负值舍去），∴y=−x当y=12时，则−x2+8x=12解得x=2或x=6，过点C作CH⊥AB于点H，当x=2时，则AD=CD=2，∴AB=6，∵AC=BC，∴AH=BH=1∵y=12，即AC∴CH=A∴四边形ABCD的面积为12当x=6时，则AD=CD=6，∴AB=2，同理，得CH=11∴四边形ABCD的面积为12综上，四边形ABCD的面积为43或411．

故答案为：43或411.

【分析】由平行线的性质及角平分线定义得出∠ACD=∠CAD=∠CAB，由等角对等边得出AD=CD，由等边对等角得出∠CAB=∠CBA，则可由有两组角相等的两个三角形相似得△ACD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例得出AC2=AB·AD，进而结合已知可得y=x17．【答案】解：a==a−5【知识点】分式的约分【解析】【分析】将原式中分子、分母分解因式，然后约分解答即可．18．【答案】解：解不等式①，得x>−2，解不等式②，得x≤−1，所以不等式组的解集是−2<x≤−1．​​​​​【知识点】解一元一次不等式组【解析】【分析】根据不等式的性质求出x>−2和x≤−1，再求不等式组的解集即可.19．【答案】（1）证明：在△ABC和△ADC中，

AB=ADBC=DCAC=AC，

∴△ABC≌△ADCSSS，

∴∠BAC=∠DAC，

即AE平分∠PRQ；

（2）解：如图，RH是∠PRQ【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系【解析】【分析】（1）结合公共边AC，根据“SSS”证明△ABC≌△ADC，由全等三角形的对应角相等可得∠BAC=∠DAC，从而根据角平分线的定义即可得出结论；（2）根据尺规作角平分线的方法，以点R为圆心，任意长为半径画弧，交RQ、RP于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于1220．【答案】（1）解：c=（2）解：由题意得，a=31000−16000=15000，c=2.8%×1.5=4.2%，

∴b=15000×4.2%=630

∴（3）解：小明的说法不正确，理由如下：我省中小学生脊柱侧弯总检出率=1078男女生脊柱侧弯检出率的平均数为2.8%+4.2%∵3.48%≠3.5%∴小明的说法不正确．【知识点】统计表；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量【解析】【解答】（1）解：根据题意，脊柱侧弯检出率=（脊柱侧弯人数÷调查人数），则a,b,c之间的关系式为c=ba；

【分析】（1）由脊柱侧弯检出率=（脊柱侧弯人数（2）先根据调查的女生人数与男生人数之和等于本次随机调查的总人数求出a的值，根据“女生脊柱侧弯检出率是男生的1.5倍”求出c的值，再用a的值乘以c即可求出女生脊柱侧弯人数b的值，最后用b的值加男生侧弯人数得到脊柱侧弯的学生的总人数；（3）用本省中小学生脊柱侧弯的总人数除以随机抽取的全省中小学生总人数31000得出总检出率，然后求出男女生检出率的平均数，比较后即可判断．（1）解：根据题意，脊柱侧弯检出率=（脊柱侧弯人数÷调查人数），则a,b,c之间的关系式为c=b（2）解：由题意得，a=31000−16000=15000，c=2.8%∴b=15000×4.2∴脊柱侧弯学生总人数为448+630=1078（人）答：脊柱侧弯的学生的总人数是1078人；（3）解：小明的说法不正确，理由如下：我省中小学生脊柱侧弯总检出率=1078男女生脊柱侧弯检出率的平均数为2.8%+4.2%∵3.48%≠3.5%∴小明的说法不正确．21．【答案】（1）解：①∵由题意可知，小长方形纸板有2x块，正方形纸板有y块，

∴2xy=32，

∴y=43x；

②当m=13时，

依题意得：2×2x=3×313−x，

解得：x=9，

（2）解：当m=29时，最多能做13个无盖长方体纸盒．【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题【解析】【解答】解：（3）解：设能做n个无盖长方体纸盒，则需要小长方形纸板3n块，正方形纸板2n块，

∴按图1方法裁剪3n2张，按图2方法裁剪2n3张，

∴3n2+2n3≤29，

解得：n≤13513，

∵n为整数，

∴n的最大值为13，

检验，当n=13时，需要小长方形纸板39块，正方形纸板26②当m=13时，用于裁剪正方形纸板的数量为(13-x)张，则可剪裁长方形纸板2x张，剪裁正方形纸板3(13-x)张，结合长方形纸板和正方形的纸板比为3∶2，列出一元一次方程，求解得出x的值，从而即可求出可以裁剪的长方形纸板得数量，最后用裁剪的小长方形总数量除以一个无盖小长方形纸盒需要小长方形纸板得数量即可求出最多能做无盖长方体纸盒的个数；（2）设能做n个无盖长方体纸盒，则需要小长方形纸板3n块，正方形纸板2n块，按图1方法裁剪3n2张，按图2方法裁剪2n（1）解：①∵由题意可知，小长方形纸板有2x块，正方形纸板有y块，∴2xy∴y=4②当m=13时，依题意得：2×2x=3×313−x解得：x=9，∴图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板．∴2×9÷3=6（个），答：最多能做6个无盖长方体纸盒；（2）解：设能做n个无盖长方体纸盒，则需要小长方形纸板3n块，正方形纸板2n块，∴按图1方法裁剪3n2张，按图2方法裁剪2n∴3n2解得：n≤135∵n为整数，∴n的最大值为13，检验，当n=13时，需要小长方形纸板39块，正方形纸板26块，取20张纸板按图1方法裁剪，得到小长方形纸板40块；取9张纸板按图2方法裁剪，得到小长方形纸板27块，满足条件，答：最多能做13个无盖长方体纸盒．22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC=5，∠BAC=45°，

∴AD=BC=5，AB∥CD，

∴∠DCA=∠BAC=45°，

∵DE⊥AC，

∴△ADE,△CDE都是直角三角形，

又∠DCA=45°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴DE=CE，

设DE=x，则CE=x，

∵AC=7，

∴AE=AC−CE=7−x，

在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，

∴7−x2+x2=52，

解得x=3或x=4，

∵DE<AE，

（2）解：延长AF到点M，使FM=AF，连接BM，

∵AC=7，CE=DE=3，

∴AE=AC−CE=7−3=4，

∵F是BE的中点，

∴BF=EF，

又∠AFE=∠MFB，AF=FM，

∴△AFE≌△MFB(SAS)，

∴BM=AE=4，∠FBM=∠FEA，

∴BM∥AC，

∴∠BAC+∠ABM=180°，

又∠BAC=45°，

∴∠ABM=180°−∠BAC=135°，

∵∠DEC=90°,DE=CE=3,DE2+CE2=CD2，

∴CD=2DE=32，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=32，

过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，则∠ABN=180°−135°=45°，

∴△ANB是等腰直角三角形，AN=BN,AN2+BN2=AB2【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；倍长中线构造全等模型【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC=5，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠DCA=∠BAC=45°，则可得△CDE是等腰直角三角形，得CE=DE，设DE=x，则CE=x，AE=AC-CE=7-x，在Rt△AED中根据勾股定理建立方程，求出x的适当的值即可；（2）延长AF到点M，使FM=AF，连接BM，首先利用“SAS”证△AFE≌△MFB，由全等三角形的性质得BM=AE=4，∠FBM=∠FEA，由内错角相等两直线平行推出BM∥AC，由二直线平行，同旁内角互补求出∠ABM=135°；在Rt△CED中利用勾股定理算出CD，由平行四边形的对边相等得出AB的长；过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，由邻补角求出∠ABN=45°，根据勾股定理求得AN=BN=3，由线段和差算出MN，最后在Rt△AMN中，运用勾股定理算出AM，可求出AF．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC=5，∠BAC=45°，∴AD=BC=5，AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC=45°，∵DE⊥AC，∴△ADE,△CDE都是直角三角形，又∠DCA=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE=CE，设DE=x，则CE=x，∵AC=7，∴AE=AC−CE=7−x，在Rt△ADE中，AE∴7−x2解得x=3或x=4，∵DE<AE，∴x<7−x，解得x<3.5，∴x=3，∴DE=3；（2）解：延长AF到点M，使FM=AF，连接BM，∵AC=7，CE=DE=3，∴AE=AC−CE=7−3=4，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∠AFE=∠MFB，AF=FM，∴△AFE≌△MFB(SAS)，∴BM=AE=4，∠FBM=∠FEA，∴BM∥AC，∴∠BAC+∠ABM=180°，又∠BAC=45°，∴∠ABM=180°−∠BAC=135°，∵∠DEC=90°,DE=CE=3,DE∴CD=2∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=32过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，则∠ABN=180°−135°=45°，∴△ANB是等腰直角三角形，AN=BN,AN∴AN=BN=AB∴MN=MB+BN=4+3=7，在Rt△AMN中，AM=A∴AF=123．【答案】（1）解：代入点2,1到y=ax2+bx+1a≠0，

得4a+2b+1=1，

整理得：b=−2a，

∴二次函数图象的对称轴为直线x=−b2a（2）解：由（1）得，b=−2a，

∴二次函数的表达式为y=ax2−2ax+1=ax−12+1−a，

∵二次函数有最大值，

∴a<0，

∴当x=1时，二次函数取得最大值1−a，

∵该函数的最大值为−a2+2a+5，

∴1−a=−a2+2a+5（3）解：∵Mx1,m，Nx2,m为该函数图象上两点，且点M和点N纵坐标相同，

∴点M和点N关于对称轴x=1对称，

∴x1+x22=1，即x1+x2=2，

∴x1=2−x2，

∵1≤x2−x1≤4，

∴1≤x2−2−x2≤4，

解得32≤x2≤3，

∴当32≤x2≤3时，满足m≤3，

①若a>0，则y=ax2−2ax+1在32≤x≤3范围内y随x的增大而增大，

∴当x=3时，y有最大值9a−6a+1=3a+1，

∴3a+1≤3【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用【解析】【分析】（1）代入点2,1到y=ax2+bx+1（2）把b=-2a代入y=ax2+bx+1后再将解析式配成顶点式，结合函数有最大值可知a＜0，且当x=1时，二次函数取得最大值1-a，结合已知条件列出关于a的方程，求出符合题意的a的值即可；（3）由于M、N两点的纵坐标相同，根据二次函数的对称性可得x1+x22=1，则x1=2−x2，结合1≤x（1）解：代入点2,1到y=ax2+bx+1整理得：b=−2a，∴二次函数图象的对称轴为直线x=−b∴该图象的对称轴为直线x=1；（2）解：由（1）得，b=−2a，∴二次函数的表达式为y=ax∵二次函数有最大值，∴a<0，∴当x=1时，二次函数取得最大值1−a，∵该函数的最大值为−a∴1−a=−a解得a1=4（舍去），∴二次函数的表达式为y=−x（3）解：∵Mx1,m，Nx2∴点M和点N关于对称轴x=1对称，∴x1+x∴x1∵1≤x∴1≤x解得32∴当32≤x①若a>0，则y=ax2−2ax+1在32≤x≤3∴当x=3时，y有最大值9a−6a+1=3a+1，∴3a+1≤3，解得a≤2∴0<a≤2②若a<0，则y=ax2−2ax+1在32≤x≤3∴当x=32时，y有最大值∴−3解得a≥−8∴−8综上所述，a的取值范围为−83≤a<024．【答案】（1）证明：延长BO交⊙O于点G，连结AG，

则∠BAG=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠BEC=90°，

∴∠BAG=∠BEC=90°，

∵ADB⏜=ADB⏜，

∴∠AGB=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∴∠ABC=∠AGB，

∵∠BCD=180°−∠BEC−∠ABC,∠ABO=180°−∠BAG−∠AGB，

（2）解：∵sin∠CAB=35，∠AEC=90°，

∴sin∠CAB=CEAC=35，

设CE=3a,AC=5a，

∴AE=AC2−CE2=4a，

∵AB=AC，

∴AB=5a，

∴BE=AB−AE=a，

∴BC=BE2+CE2=10a，

∵BC⏜=BC⏜，

∴∠CAB=∠BDC，

∵∠BED=90°，

∴sin（3）解：延长BO交⊙O于点G，连结CG，过点O作OH⊥AB于点H，

由（1）知∠BCD=∠ABO，

∵∠ABD=∠ACD，

∴∠ABD+∠ABG=∠ACD+∠BCD，即∠ACB=∠DBG，

∵∠CAB=∠CDB，

∴180°−∠ACB−∠CAB=180°−∠DBG−∠CDB，即∠ABC=∠BFD，

∵AC=AB，即∠ACB=∠ABC，

∴∠DBG=∠BFD，

∴BD=DF，

设EF=m,CE=n，

∵CD=11，

∴DE=11−n，

∵∠BCD=∠ABO，∠BEF=∠BEC=90°，

∴△BEF∽△CEB，

∴BECE=EFBE，即BE2=CE·EF=mn，

∵BD=DF，

∴BD=11−n+m，

在Rt△BEF,Rt△BED中，BF2=BE2+EF2,BD2=BE2+DE2，

则m2+mn=252①11−n2+mn=11−n+m2②，

①−②得m2−11−n2=20−11−n+m2，整理得m2=10−11m+mn，

由①得mn=20−m2，

∴m2=10−11m+20−m2，即2m2+11m−30=0，

解得m=2或m=−152（舍去），

∴22+2n=20，解得n=8，

∴EF=2,CE=8，DE=3，BD=5，

∴BE=BD【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；等角代换法求锐角三角函数值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【分析】（1）延长BO交⊙O于点G，连结AG，由直径所对的圆周角为直角及垂直定义可得∠BAG=∠BEC=90°，由同弧所对的圆周角相等得∠AGB=∠ACB，由等边对等角得到∠ACB=∠ABC，推出∠ABC=∠AGB，根据三角形的内角和定理即可证明结论；（2）根据正弦函数的定义及∠CAB的正弦函数值，设CE=3a,AC=5a，则AB=5a，由勾股定理求出AE=4a，由限度那和差求出BE=a，再根据勾股定理求出BC=10a，由同弧所对的圆