考研数学二（填空题）模拟试卷187

考研数学二(填空题)模拟试卷187

一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

1、函数y=x+2cosx在21上的最大值为

工+△

标准答案：6十

工_穴

知识点解析：令y'=l—2sinx=0得6yH=-*2cosx,因为

y"(=)=-V3V0,所以彳=[

66为y=x+2cosx的极大值点，也是最大值点，故最大值

为尹后

iar

2、曲线y=x+T的斜渐近线为.

标准答案：y=x

/lim卫=lim”±吐=1,lim(>-x)=lim—=0

知识点解析：由—iZ-2XlFl—X,得曲线

lor

y=z+x的斜渐近线为尸x.

3、设4阶矩阵A的秩为2,则r(A*)=.

标准答案：0

(n,若r(4)="，

\1,若r(A)=n-1.

知识点解析：由r(A*)」°，若「⑷知r(A')=0.

d

4、设f(%)为奇函数，且？⑴=2,则业出疥|尸_]=•

标准答案：6

d__d

知识点解析：因为取)为奇函数，所以？(%)为偶函数，由&^(/)=3/，(£)得比

帝)1尸-|=3式-1)=3「⑴=6.

5、曲线y二G八、,直线x=2及X轴所围成的平面图形绕X轴旋转所成的旋转

体的体积为.

4

—TT

标准答案：3

知识点解析：直接利用旋转体的体积公式可得，如图3—11所示，x的积分从I到

♦二”（卜1卜畀

「6+一

6、Jm—10寻+1=

Y二岭+C

标准答案：4点|/一门+2式

知识点解析：

7、二次型f（X],X2，X3，X4）=X32+4X4?+2X|X2+4X3X4的规范形是

标准答案：yj+yz?—y3"

0100-

1000

0012

知识点解析：二次型矩阵AJ0°

24o由IXE—AI=（入2—1）（入2_5入）=o,知

矩阵A的特征值为1,5,—1,0o故二次型正惯性指数p=2,负惯性指数q=L

因此二次型的规范形为yF+yz2—y32。

4B=

s

8、设夕

标准答案:

知识点解析：IAI=1,IBI=(2—1)(3—1)(3—2)=2,所以A,B均可逆，则

4"O

,也可逆。由A*A=AA*=IAIE可得IA*|二|AI2—L],同理可

得IB*I=IBI3T=4,且

A*OA90(A')-10

•⑻卜

0夕夕0夕'IJO(«')•,

•\A\-lAO[44

=4•一।0

0|H|11。

S

T

9、与用=(1,2,3,-1),a2=(0，1，92户，a3=(2,1,3,0产都正交的单位

向量是_____。

上±(1,1,-I”

标准答案：耳

知识点解析：设0=(X1，X2，X3，X4)T与ai，012，均正交，则

ra]fl=+2X2+3x3-x4=0,

a[p=%2+x3+2X4=0,

Gg=2。+町+3均=0o对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变

123-r123-r123-r

0112­•►0112­►0112

换，有-2130--0-3-32--0008-得到基

士七(1,1,-1,o)T

础解系是(一1,一1,1,0)T,将这个向量单位化得J3,即为所

求向量。回

f:

10、设A=1Q:9)(a<0),且AX=0有非零解，则A*X=0的通解为

1

标准答案：x=一4(C1,C2为任意常数)

23

知识点解析：因为AX=O有非零解，所以IAI=0,而IAI=1a9=

一(a+4)(a—6)且口V0,所以a=-4.因为r(A)=2,所以r(A*)=l.因为A/A

=IAIE=O,所以A的列向量组为A*X=O的解，故A*X=O的通解为X=

G0+C24

C2为任意常数).

11、设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n—1,则方程组AX=O的

通解为.

GI

标准答案：k'1/(其中k为任意常数)

知识点解析：k(l,1,1)T,其中k为任意常数.因为A的各行元素之和为

零，所以A1=0,又因为r(A)=n—l,所以1为方程组AX=O的基础解

系，从而通解为k'1'(其中k为任意常数).

1，早1

12、设(1=[1,2,3],p=L<3」,A=aTpf则A】=

标准答案：3n-1A

3

知识点解析：A=aTp=2

An=[aTp]=(aTp)(aTp)...(aTP)=aT(pa)T(pa)T...(paT)P=3nJA.

•111-

111

13、已知A=L11」，矩阵B=A+Ek正定，则k的取值为.

标准答案：>0

知识点解析：由矩阵A的特征值为3,0,0,知矩阵B的特征值为k+3,k,k.又

fA♦3>0,,,

nA>0

B正定l*>0

「""CD为◎面，则J

14、设f(x)=1°，其他，°f(y)f(x+y)dxdy=

2

标准答案：彳

知识点解析：在D尸{(x,y)I-oo<x<+oo,0<y<l}±,f(y)=y；在D2：0<x+y<l

上，f(x+y)=x+y,则在DO=DICD2={(X,y)I-y<x<l-y,0<y<l)±,

j］/(y)/(x+y^dxdy=(dy］y(x+y)dx=y

f(y)f(x+y)=y(x+y),所以学°r

15、设A为n阶可逆矩阵(nN2),则［(A*)*『=______(用A*表示).

A・

标准答案：IA尸

知识点解析：由A*=IAIA4得(A*)*=IA*I.(A*)/=IAI叫(|AIA4)-1

14-1=IAI-T=

=IA1A,故KA*)丁/AL—|A|i|A|一•

16、函数f(x)=|4x3—18x?+27|在区间|0,2］上的最小值为,最大值为

标准答案：0：27

f<0,0<x<3,

拶'(无)=12x(x-3)=0,x=3,

知识点解析：令(p(x尸4x3—版2+27,则>0,%>3,所

以(p(x)在［0,2］单调递减，(p(0)=27,(p(2)=-13,利用介值定理知,存在唯一

x0G(0,2),(p(xo)=Oo且f(O)=27,f(xo)=O,f(2)=13。因此,f(x)在［0,2］上的最小值为

0,最大值为27。

17、设矩阵A满足A，A-4E=O,其中E为单位矩阵，则(A-Ef匕

标准答案：2(A+2E)

[xl

知识点解析：O=A~9+A-4E=(A-E)(A+2E)+2E-4E=(A-E)(A+2E)-2E,=>(A-E)二(A-

E)-1=(A+2E)

18、己知IaI=2,IbI=5,a和b的夹角为2/3兀，如果向量A=Za+l7b与B=3a-b

垂直，则系数归.

标准答案：40

知识点解析：本题考查两个向量垂直的判定.A1B的充要条件A・B=0,从而可求

出X.由已知，AB=0,于是(Xa+17b>(3a-b)=0,即3XIaI+(51-X)ab-17IbI

2=0,亦即】2A♦(5-MOcos?rT25=O