考研数学二（解答题）模拟试卷277

考研数学二(解答题)模拟试卷277

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

：lim=A(a>0*a*1),求lim

1、设I-1x-0

标准答案:

出口+

31In1+

_sinz」

因为lim=A,所以一二；-】=A+a，其中lima=0.又0时,

—1ax—1*-0

=产"-1〜zlna.

AzlnaQ-0),所以1+貂〜小,因此

这样〜ArIna+Q•rlna

f(jc)〜(a&—Dsinx〜ArIna•sinz,

于是得到lim=lim也女而工=A|na

x-M)r-0X

知识点解析：暂无解析

l±2|xlarctaar

lim

2、求一j•十2

..1+2IJTI(.1—2JT

由hm------.1arctanx=hm——-yarctaoz=K

1+2|arctarvr=liml^arctaar=〃

lim得

oj*+2—o，十d

1十2Ii|

arctaar=K.

标准答案:t+2

知识点解析：暂无解析

Zn

3、设函数f(x)连续可导,且f(0尸0,F(x)=Joxtn1f(xn-tn)dt,求zH

标准答案：

L"(炉一L)也=-P

令x"一广=u,则F(x)=于是

ono

lim=limf(〃)d〃=-lim)誓交丁••

XTT-M)nx-o2nz

知识点解析：暂无解析

012

1

01

n012

1

10T0

1

21

T0T

(1)写出关于X,Y及XY的概率分布；(2)求X和Y的相关系数PXY

标准答案：(I)由已知条件，关于X的概率分布为

X012

11

p1

不T

关于丫的概率分布为

Y012

1

P1\

r333

关于XY的概率分布为

*y014

511

•P

1234

(2)£(X)=Ox4-+lx4-+2x；=4".

63Z3

E(r)«0xy+IXy-+2xy«1.

E(m=ox各」x^4x卜仔,

44

COV(X.y)=£(xy)-EXEY^-y=o,

从而PH=O.

知识点解析：考查二维离散型随机变量的数字特征，分布已知，可以直接利用计算

公式求解.

(sinj-,A

5、讨论函数f(x)=h，”=0的连续性.

标准答案：当X#)时，函数f(x)连续，

/(0—0)=limf(jc)=lim(―^^)=—1,/(0+0)=lim/Cr)=lim=1,/(0)=1

x=0为函数f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点.

知识点解析：暂无解析

dy

6、设户f(lnx)ef(x),其中f可微，计算业

次=[/(lax)37•e^x)+/(Inx)•[C]'

ar

标准答案：=八1»)4・"+/(1田川/丸

知识点解析：暂无解析

(1+1)arcsiiu•七

7、求

f(T4方-Da与rcsir也u-.fxarcsiar1.farcsinx।

JJJ

—|arcsiard(/1-x2)4-jarcsiord(arcsior)

—5/l-x2arcsirv+/+)■arcsin2^+C.

标准答案：

知识点解析：暂无解析

耍，0&z&1,

f(工)=

2—x«1＜工＜2,求

8、计算积分：已知

C2IH-2

f(x-2n)exdjr,n=

J2it

标准答案：令t=x—2n,则由定积分的分段可加性与分部积分得,

*2w12市22-,

f(jc-2n)exdjc=2/(Qe-L2"=e'"f/e'Mz+e"(2-/)edz

2n0Jo1

=(1-e'1)^-2".

知识点解析：暂无解析

9、求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：(I)f(%)=sin%(1)故)=油(1—

x2)-

77+(7+sinx)(字尸=0

13、试将x=x(y)所满足的微分方程由'与变换为y=y(x)满足

的微分方程；

dx_1_

标准答案：由反函数的求导公式知5--于是有

多喝僚唱孙僚亨•»-舟代入原微分方程得尸.

y=sinx.(*)

知识点解析：暂无解析

y(0)=0,"0)=y

14、求变换后的微分方程满足初始条件2的解.

标准答案：方程(*)所对应的齐次方程y'-y=O的通解为Y=CQ+Cze-x.设方程(衿

*M=0,8=-5

的特解为y=Acosx+Bsinx,代入方程(*),求2,因此尸一y=sinx的

y=Y+y,=Cje*+Ge'-y-sinx.

由y(O)=0/(0)=名,得6=1©=-1,故所求初值问题的解为

乙

y=e1

通解是

知识点解析：暂无解析

15、设政)在［a,b］连续，且f(%)>0,#f(x)d%=A.D为正方形区域：a</<b,

a<y<b,求证:D(II)I>(b—a)(b—a-FA)

标准答案：(I)D关于直线y=%对称，利用二重积分的有关性质:

(%y)do=Jg(y,x)da,

DD

得

相加得

2小f(y)/(%))由初等不等式:

—(a♦b)Na>0,6>0)

八的梁•喏

分八“八，%(口)由不等式J>1+

=/NJ(1+=(6-a)2+fl/(x)d(r

t(t>0)及题(I)DD=(b

—a)2+(b—a)fabRx)dx=(b—a)(b-a+A).

知识点解析：暂无解析

1]1-33

a—1为A=6x-6

16、设2jy-913的逆矩阵A”的特征向量.求x,y,并求A」对应

的特征值g

二3-||：UI：I

标准答案：令Aa=Ma,即y-9136I国t2J,解得卜％=：4,x=10,y=-9,根据

一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知p=l/4.

知识点解析：暂无解析

d2z

17、设z=f(u,%,y),11=蜉丫，其中f具有二阶偏导数，求

标准答案：

y

翌=/.•e+/x=df'.+e，(are，/"-+八)+班'广«+A>-

。工dxdy

知识点解析：暂无解析

18、求心形线r=a(l+cos9)与回r=2acos9(a>0)所围图形的面积S.

标准答案：记心形线r=a(l+cose)与圆r=2acos。所围图形记为D,如图5-18,其中

x轴上半部分记为Di.由二重积分的几何意义，有

S=J=dxdy-2^rdrdd

19/1|

图5-18

知识点解析：暂无解析

19、求下列鼎级数的收敛半径和收敛

域.

⑵以丁〜

J、n

标准答案:

解：(1)设yu工41,先考察级数X31f2A的收敛半径和收敛域.由于

•••>|aa।«-»nt13+(-2)

所以收敛半径R=

当时.级数化为Zt上空・浮=火3+火_1咛尸

3wT7n3

W上式右端中的两个级数都收敛•所以级数收敛，当y=4时,级数化为

**

因上式右端中的第一个级数发放•第二个级数收敛•所以级数发放.

综上.所述•关于y的群级数的收敛域是［一!，!).

JJ

B

1*1y—i+l•由不等式—^4•r+】V-^・得—^&工V—存•级数>［

-口了+D-的收敛域是［一。，--Q,收敛半任氏=

n333

<o

(2)这是缺项的幕级数.设y=/•则级数化为»23・,先求关于>的案级数

■-0

的收敛半径和收敛域.因Hm—I=lim=2

所以收敛半径K=

,9

易判断，当y=士)时•级数^2"v"均发散，所以级数的收敛域

4I

是(---,；)・

W4U

因产儿级数»?・的收敛