考研数学二（解答题）模拟试卷162

考研数学二（解答题）模拟试卷162

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

sirwx

一，NVO,

\/1-COSJT

口皿-ln(x+JC1)],工》0.

1、设存在，求a.

/■,八八1.sinax

/(0-0)=lim-

J-0vl-cosx

"TnQ+Y?=ijm-ln(l.-Kr)=_】,

/(0+0)=lim

1

—上因为lim/G）存在，所以"0—0）=/（0+0）•故a=罩

林世合茶：4

知识点解析：暂无解析

2、设f(x)可导，y=f(cos2x),当x=4处取增量—二一0.2时，△)，的线性部分为

0.2,求2

yr=/(cos2x)(-sin2z).»’(­£)=/'(!)

4Z

由dy__.=/(4-)AX=0.2得/'(J)=—1.

标准答案:

知识点解析：暂无解析

3、设A为正交矩阵，且|A|二-1,证明：入=-1是A的特征值。

标准答案：要证人一1是A的特征值，需证IA+EI=0o因为IA+EI=I

A+ATAI=I（E+AT）AI=IE+ATIIAI=-IA+EI,所以IA+EI=0,故九=一

1是A的特征值。

知识点解析：暂无解析

z=/（内，二）+尺（之）

4、设'yJ\其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续

声

导数，求

/】/L〃工*1/Vtf

/1一3八十上"|一0危一邛一：*

标准答案:J.•*

知识点解析：暂无解析

5、若函数(p(x)及w(x)是n阶可微的，且(p(k)(xo)=W'k)(xo),k=0,1,2,…，n—

1.又x>x()时、(p(n\z)>v(n\x).试证：当x>x()时，(p(x)>\|/(x).

标准答案:令U(Ll)(x)=(p(nr)(x)—W(LI)(x).在［xo,x］上用微分中值定理得W

D(x)—u(n1)(xo)=u(n)K).(x-xo),XO<^<X.又由u(n)©>0可知u(n%)一

(nl)

UD(X0)>0,且U(nD(XO)=O,所以U(n(x)>0,即当X>X0时，*»)(x)>

v(n0(x).同理u(n-2)(x)=(p(n'2)(X)—v(n'2)(x)>0.归纳有u(n3)(x)>0,

u'(x)>0,u(x)>0.于是,当x>xo时,(p(x)>v(x).

知识点解析：暂无解析

..arcsinx-tanr

hm----------

6、求极限।"0sinx-sin(sinx)

标准答案：

sin/-sin(siru*)siru--sin(sin_r)sirrr

由lim--------------------=hm-----------------------(z------)v

r-oJCL。sinxh

..t-sin/..1-cos/1....、13-r«

sin.r=thm----------=hm-------：—=-14?siru-sin(smj-)〜-J-・r是

-----r-ot/-o3f-66

••/y2\?2

..arcsine-tanj,...arcsine—tanx..(1-.r)—sec.r

lim---------r—T-：----r=6hm-----------：---------=2ohm----------------;------------

z•<>sin.r-sm(sin.r)r-oJC，・ox

知识点解析：暂无解析

7、设f⑴连续并满足f(t尸cos2t+Jo'f(s)sinsds,求f(t)0

标准答案：因f(。连续，因此Kf(s)sinsds可导，从而f⑴可导，于是

/(0[/(s)siruck.

r/r(0=-2sin2<+/(t)sinZ,

所以V(o)=1.

亦即

(ff(t)=-2sin2l,

1/(0)=lo

利用公式

/(0=el[J-2sin2t-Jf+C]

由/(0)=1得。=e。因此，

/(O=e'2+4(cosl-1)o

知识点解析：暂无解析

8、°蹄(X)—其中f(t)为已知的连续函数，(p(x)为已知的可微函数.

百厂"⑴⑴出=露(刃："(,网-田广“(,同

(♦《*)

=W(Z)Jo/(。出+平(％)/[.(名)]/(£)-e(%)/[夕(*)]/(%)

/♦(*)

="(X)/(，)山.

标准答案:Jo

知识点解析•：暂无解析

9、设矩阵A=相似于对角娃阵.(I)求a的值；(2)求一个正交变换，将

二次型f(%l，X2，X3)=£AX化为标准形，其中％=(%，殍，X3)T.

标准答案：(1)A的特征值为6,6,-2,故由A可相似对角化知矩阵6E—A=

■4-20-

-840]

-0~a°」的秩为1，=a=0.(2)f=XTAX=(/TA%)=xTA%=2(%TA%+/TATx)

-250-

A+AT1520

=/2一,故f的矩阵为2(A+AT)=L。06」=B,计算可得B的特征值为入I

=6,入2=—3,鹏=7,对应的特征向量分别可取为&=(0,0,1)T,&2=(1，—

1,0)T,^3=(1,1,0)丁，故有正交矩阵

0%11

%

1

p=|yirfr舟卜o-±

0.使得P'1BP=PTBP=diag(6,

「％1

yi

L”」下22

3,7),所以，在正交变换可化厂成标准形f=6yi-3y2+

7y32.

知识点解析：暂无解析

10、求函数f(x)=J[。(2—比⑦的最值.

标准答案：由于fU)是偶函数，我们只需考察％日0,+8).由变限积分求导公式得

?(%)=2%(2-x)e”•解？(%)=()得/=。与%=々，于是

X0(0.#)(&,+8)

广⑴1+0——

/(X)0

-------------从1伍，4%)的最大

值是f(75)=fo2(2—t)e4dt="fo2(2—t)de-t=(t—2)e-tIo2_Jo2e_tdt=2+e"Io2=l+

、lim

e2.由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f⑼与xT+8f(%)的大小.由于

lim/(x)=「"(2-=[(，-2)e-'+e'"=I>/(0)=0,

X-**00J©0

因此f(0)=0是最小值.

知识点解析：暂无解析

0100

002…0

••••

••••

000•••w—1

11、设D=〃，求Akl+Ak2+…+Akn・

010-0

10•••0

002-0

•••■02•••0

••♦•■*,B=■*.

**.•*

000―n—1

,00•••n-1

标准答案：令A=w00•••0

A*A|Aln!A

C=(n),IAI=(-l)n+1n!,则囚得二|」=(・严」，所以

Akl+Ak2+…+Akn=

知识点解析：暂无解析

12、设u=f(z),其中z是由z=y+xg⑵确定的x,y的函数，其中f(z)与(p(z)为可微

du/、du

石=叭Z)热

函数.证明:

标准答案：

%=/(Z)•=y+s?(N)两边对力求偏导得我=小/+*'(z)关，

解得篆=译长项璞=售密S=/⑺・%=»+对⑺两边对y求偏导得

孚=l+4(z)・孚,解得卒=.一-%，则翌=之马F，所以勺=西)黑

dydydy1-jap(z)oy1—up\z)dirdy

知识点解析：暂无解析

13、设f(%)在[0,1]上连续、单调减少且f(x)>0,证明：存在c[0,1),使得

focf(x)dx=(l—c)f(c).

标准答案：令谩)=(%—1»)W⑴出，因为(p(0)=(p⑴=0,所以存在c&O,1),使

得(pf(c)=0,而<pXx)=Jozf(t)dt4-(x—l)f(%),于是J()Cf(»d%=(l-c)f(c).

知识点解析：暂无解析

14、已知r(ct],。2，…，as)=r(ai,012，…，a§,P)=k,r(ai,(12，…，恶，P，

y)=k+l,求r(ai，g,...»as,P-y).

标准答案：只用看供丫能不能用ai，a?,...»as线性表示.由条件知，0可用ai，

a2，…，as线性表示，丫不能用a1，。2，…，as，p线性表示，从而也就不能用

aj,口2，…，密线性表示.于是P-?不能用ai，(12，…，Os线性表示.从而r(ai，

(X2，…，as，P-y)=k+l.

知识点解析：暂无解析

15、设A=(c”，(12，013,04,as),其中ai,013，(15线性无关，且a2=3ai-a3-a5,

O4=2ai+a.3+6a5，求方程组AX=0的通解.

标准答案：因为内，013，。5线性无关，又a2，04可由囚，(13,(15线性表示，所以

r(A)=3,齐次线性方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量.由

a2=3ai-as-a5,O4=2ai+a3+6(x5得方程组AX=O的两个解为自尸(3,・1,0,-

TT

1),及=(2,0,1,-1,6)T故AX=0的通解为ki(3,-1,-1,0,-l)+k2(2,0,

1,-1,6)T(ki，k2为任意常数).

知识点解析：暂无解析

设A为三阶矩阵，ai，a2,013是线性无关的三维列向量，且满足Aai=ai+ct2+a3，

Aa2=2a2+as，Aa3=2a2+3a3o

16、求矩阵A的特征值；

标准答案：由己知可得A(ai，a2，013)=(011+012+(x3，2(x2+013，2a2+303)=(。1，。2,«3)

ri00110O'

122122

L113」，记P]=(ai，g,a3),B=*-113」，则有AP尸PiB。由于ai，

(X2,(X3线性无关，即矩阵P]可逆,所以P111AP尸B,因此矩阵A与B相似，则

0o!

IAE-B|A-2-2=(A-1)2(4-4),

-1-1八一3

矩阵B的特征

值是1,1,4,故矩阵A的特征值为1,1,4。国

知识点解析：暂无解析

17、求可逆矩阵P使得piAP=A。

标准答案：由(E—B)x=O,得矩阵B对应于特征值入=1的特征向量m=(一1,1,

0)T，的二(一2,0,1)T；由(4E—n)x=O,得对应于特征值入=4的特征向量饱=(0,

-1-201F10O-

1010J0

-011-1,得P2TBp2=L°04」,则

BDTO令P2=(m，「2，p3)=

10O-•-1-2O-

0101101

11」=(一

P2-1P1-1APIP2=-004-即当P=P]P2=(ai，az，aa)°

100-

0I0

ai+ao,一2ai+ct3，a2+a3)时，有p—IAP=A=L。04-

知识点解析：暂无解析

FT

18、设A」。1°」.⑴证明：当佗3时，有AJAL2+A2—E；⑵求"吗

100]P00]

110b4=201

[1o1JU1oj,验证得

A2=A+A2-E,上式成立.假设n=k—1(论3)时成立，即庆及'=Ak3+A2-E成

立，MAk=A.