考研数学三（解答题）专项练习试卷28

考研数学三(解答题)专项练习试卷28

一、解答题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

1、设f(x)在[0,。上一阶连续可导，f(0)=0,令

max|/(x)|=M.证明J[/(x)dr4

标准答案：由微分中值定理得f(x)—f(0)=f(?x,其中。介于。与x之间，因为

f(0)=0,所以If(x)I=Ir@xI<Mx,xE[0,a],^Wloaf(x)dxI<foaf(x)I

《M,

dx<JoaMxdx=2

知识点解析：暂无解析

../arcland

hm------------

2、求/i\/)

标准答案：

../arctanz、/=礴1+更ctanz二三)m尸

hm1------------)[(

工~»。JCx

知识点解析：暂无解析

3、设f(x)是［0,1］上单调减少的正值连续函数，证明

fx/2(x)dx［f2(x)dx

Jo、Jo

jY|•

33

x/(x)dxf/(x)dx.00

'°J。Joxf2(x)dx.JoF(x)dx对of3(x)dx.Jof~(x)dx,即要

证I=Jo甲(x)dx.fo1f3(x)dx一Jo'xf3(x)dx.fo1f2(x)dx>O.

标准答案：记I=Jo甲(x)dx.Jo『(x)dx—®xf3(x)dx.Jo甲(x)dx,则由定积分与积分

变量所I=Ex4(x)dx.J(?f3(y)dy—J(/yf3(y)dy.J(/f2(x)dx=Jo1fo1xf2(x)f3(y)dxdy—

fo，Io1yf3(y)f2(x)dxdy=i^(x)f3(y)(x-y)dxdy,①其中D={(x,y)I0<x<l,

0<y<l}.由于积分区域D关于直线y=x对称，又有I=lf2(y)f3(x)(y—x)dxdy.②

由①式与②式相加，得1=〃f2(x)F(y)(y—x)[f(x)—f(y)|dxdy.由于f(x)单调减

少，所以IX),即Jo甲(x)dx.Joif3(x)dxNJo«f3(x)dx.Jo¥(x)dx.(*)又f(x)取正值，

故J(?xf3(X)dx>0,df3(K)dx>0.用J(?xf3(x)dx与J(Jf3(x)dx除(*)式，不等式得证。

知识点解析：暂无解析

女-土产的极值.

4、求f(x,y尸22

先求函数/(")"一卡

标准答案:的驻点，fx'(x,y)=e—x=0,fy'(x,

y)二一y=0,解得函数的驻点为(e,0).又A=fxx"(e,0)=一1,B=fxy"(e,0)=0,

C=fyy"(e,0)=-1,所以B?—ACVO,A<0.故f(x,y)在点(e,0)处取得极大值

f(e,0)=2'

知识点解析：暂无解析

L1

5、设两条抛物线y=nx?+"和ygn+Dx。"'】记它们交点的横坐标的绝对值为

y汨

an.求：(1)这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；(2)级数1%的和.

nr1+—=(n+1H-----.

标准答案：(1)解方程〃〃+1得两条抛物线交点的横坐标的绝

1

对值为，山+D艰据对称性可得

nx2+:-("+1)/—“；]]dz

1

3〃(〃+1)/〃(〃+

⑵因为,T•mbTCF去)”1，2产・，所以

£旨=1"［什一2)+信一§)+…+C—备)卜£(】一击八

于是E合㈣S今7㈣(一出)7・

知识点解析：暂无解析

6、设有两箱同类零件，第一箱内装5件，其中1件是一等品，第二箱内装5件，

其中2件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取

出2件零件。求：(i)先取出的零件是一等品的概率；(n)在先取出的零件

是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。

标准答案：设Hi表示“被挑出的是第i箱”，i=l,2,则H|,H2为完备事件组。A

表示“先取的一件是一等品“，B表示“在同一箱中取的第二件是一等品”。(I)由

全概率公式得：P(A)=P(Hi)P(A|Hi)+P(H2)P(A|H2)

11123

2525—10，(口)P(B|A)表示的是“在先取出的零件是一等品的

条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率”。由条件概率和全概率公式可得

Q"I4、_P(附_P(/)P(，481%)+P(%)P(AB[%)

〃(刈A)p(4)P(A)

I121

-z-xA0+—x—x

_225±=1_

3一二不

10

知识点解析：暂无解析

Q[产।+a]2x2+…+auxn=b[,

,i、02产1+an*2*…♦=%，

7、已知方程组Q.产I+~2叼+…+小=(有解，证明方程组

aHxl.。】2%2+…+°・产.=0，

012町.a22x2+…+am2xm=°，

(D).........

♦…十=°，

5孙”血：…=1无解.

标准答案：用4,4和分别表示方程组(I)与(II)的系数矩阵和增广矩阵，

易见A2二山因为方程组(I)有解，故r(Ai)=又由于(bl,b2，…，nm,1)不能由

(a“，321,…，3ml»0)»(a】2，a22,…，^m2»。)，…，(^ln»a2n,…，^mn»0)级

性表出，所以

知识点解析：暂无解析

八)_(3"，ovzvi，°vyv«r,

8、设随机变量(X,Y)的概率密度为'0,其他，求

随机变量Z—X—Y的概率密度fz(y).

标准答案：由于X,Y不是相互独立的，所以记V二一Y时，(X,Y的概率密度不

易计算.应先计算Z的分布函数，再计算概率密度fz(z).记Z的分布函数为

Fz(z)=P{Z^z}=P{X-y<z)=1fCr，Wdrd»

Fz(z),则D«其中D7={(X-

y)|x—ygz}(直线x—y=z的上方部分),由Dz与D={(x,y)|O<x<I,OVyVx)(图

3-10的带阴影的4OSC)相对位置可得：

当zV0时,D,与D不相交，所以J7cr，Wdzdy=0,

又

当04NV1时,D.nD=四边形Q4BC.

-dr3xdy+jdrj3xdy=(3_12业+J3azdr

当z21时,f)D=AOSC,jj/(x,>r)drdy=JT3xdrdy=1.

由此得到

0,z<0,

FZQ"HZ->,04ZV1,从而将一尹，0<?

ie.>o,其他.

知识点解‘析：暂无解’析

某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂产品每箱装

100个，废品率为0.06,乙厂产品每箱120个，废品率为0.05.

9、任取一箱，从中任取一个产品，求其为废品的概率

标准答案：

设事件A表示“取到甲厂生产的产品表示“取到一个废品”,则利用全概率公式.有

P(B)-P(A)P(B|A)4-