考研数学一(线性代数)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷1（题后含答案及解析）

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且IAI=2,IBI=6,则为（）.

A.24

B.一24

C.48

D.一48

正确答案：D

解析：知识模块：线性代数部分

2.设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4,且IE+AI=0,贝I」I2E+A2I

为（）.

A.0

B.54

C.-2

D.-24

正确答案：B

解析：因为A的每行元素之和为4,所以A有特征值4,又IE+AI=0,所

以A有特征值一1,于是2E+A2的特征值为18,3,于是I2E+A2I=54,选（B）.知

识模块：线性代数部分

3.设n维行向量，A=E—aTa,B=E+2aTa,贝ljAB为（）.

A.0

B.一E

C.E

D.E+aTa

正确答案：c

解析：知识模块：线性代数部分

4.设A,B为n阶矩阵，则下列结论正确的是（）.

A.若A,B可逆，则A+B可逆

B.若A,B可逆，则AB可逆

C.若A+B可逆，则A—B可逆

D.若A+B可逆，则A,B都可逆

正确答案：B

解析：若A,B可逆，则IAIWO,IBIW(),又IABI=IAIIBI,

所以IABIHO,于是AB可逆，选(B).知识模块：线性代数部分

5.设A,B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是().

A.AB为对称矩阵

B,设A,B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵

C.A+B为对称矩阵

D.kA为对称矩阵

正确答案：A

解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B,得A+B为对称矩阵；由

(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1,得A-1+B-1为对称矩阵；由(ka)T=kAT=kA,

得kA为对称矩阵，选(A).知识模块：线性代数部分

6.设A,B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是().

A.AB=O的充分必要条件是A=0或B=0

B.ABWO的充分必要条件是AW0且BWO

C.AB=O且r(A)=n,则B=O

D.若ABWO,则IAI#0或IBIK0

正确答案：c

解析；言识模块：线性代数部分

7.n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B,则().

-AI-1

A.-BBI

AI1——

B.若

IAI-0可B-o

C.若

IAI>W则BI>o

D.>0

正确答案：C

解析：因为A经过若干次初等变换化为B,所以存在初等矩阵Pl,Ps,QL…,

Qt,使得B=Ps…P1AQ1…Ql,而Pl,…，Ps,Q1,…，Q都是可逆矩阵，所以

r(A)=r(B),若IAI=0,即r(A)<n,则r(B)<n,即IBI=0,选(C).知识模

块：线性代数部分

8.设A为mXn阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC,且r(A尸r,r(B)=rl,则

().

A.r>rl

B.r<rl

C.r^rl

D.r与rl的关系依矩阵C的情况而定

正确答案：C

解析：因为rl=r(B)=r(AC)Wr(A)=r,所以选(C).知识模块：线性代数部分

9.设A为mXn阶矩阵，B为nXm阶矩阵，且m>n,令r(AB)=r»则

().

A.r>m

B.r=m

C.r<m

D.rem

正确答案：C

解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)Wn,r(B)Wn,而r(AB)Wmin{r(A),r(B))

WnVm,所以选(C).知识模块：线性代数部分

10.设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=l,则().

A.r(A)=l

B.r(A)=2

C.r(A)=3

D.r(A)=4

正确答案：C

解析：因为r(A*)=l,所以r(A)=4—l=3,选(C).知识模块：线性代数部分

11.设A,B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=0,贝立).

A.r(B)=n

B.r(B)<n

C.A2—B2=(A+B)(A—B)

D.IAI=0

正确答案：C

解析:因为AB=0,所以r(A)+r(B)Wn,又因为B是非零矩阵,所以r(B)2因

从而r(A)Vn,于是IAI=0,选(D).知识模块：线性代数部分

12.设A,B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为().

A.

B.

C.

D.

正确答案：D

解析：知识模块：线性代数部分

13.

A.B=P1P2A

B.B=P2P1A

C.B=P2AP1

D.B=AP2P1

正确答案：D

解析：P1=E12,P2=E23(2),显然A首先将第2列的两倍加到第3歹U，再将

第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1,选(D).知识模块：线性代数

部分

14.

A.B=P1AP2

B.B=P2AP1

C.B=P2-1AP1

D.B=P1-1AP2-1

正确答案：D

解析：知识模块：线性代数部分

填空题

15.

正确答案：23

解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+l),

且该项带正号，所以x2项的系数为23.知识模块：线性代数部分

16.设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1,2,3,IAI的第二行元素

的代数余子式分别为a+1,a—2,a—1,则归.

正确答案：1

解析：由(a+l)+2(a—2)+3(a—1户0得a=l.知识模块：线性代数部分

17.设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且=.

正确答案：(-l)mnab

解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别

与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则知识

模块：线性代数部分

18.设A=(a1,a2,a3)为三阶矩阵，且IAI=3,则Ia1+2。2,a2

—3Q3,a3+2Q1I=.

正确答案：-33

解析：Ia1+2a2,a2—3a3,a3+2a1|=|a1,a2—3a3,a

3+2a1I+I2a2,a2—3a3,a3+2a1I=Ia1,a2-3a3,a3I+2I

Q2,-3Q3,a3+2a1I=Ia1,a2,a3I-6Ia2,a3,a3+2a1I

=Ia1,a2,a3|-6Ia2,a3,2a1|=|a1,a2,。3|-12|

a2,a3,a1I=Ial,a2,a3I-12Ial,a2,a3I=-33知识模块:

线性代数部分

19.设三阶矩阵A=(a,y1,y2),B=(P,y1,丫2),其中a,B,丫1,

y2是三维列向量，且IAI=3,IBI=4,则15A—2BI=.

正确答案：63

解析：由5A—2B=(5Q,5y1,5丫2)—(26,2y1,2丫2户(5Q—28,3

Y1,3y2),得15A—2B|=|5a—2B,3y1,3丫2|二9|5。一28,y1,

Y2I=9(5Ia,y1,y2I-2I6,y1,y2I)=63知识模块：线性代数部

分

2().设Q=(l,-1,2)T,B=(2,1,1)T,A=a8T,贝ljAn二

正确答案：

解析：知识模块：线性代数部分

21.

正确答案：()

解析：由A2=2A得An=2n-1A,An-l=2n-2A,所以An—2An-l=0.知识

模块：线性代数部分

22.

正确答案：

解析：知识模块：线性代数部分

23.A2一B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是_________.

正确答案：AB=BA

解析：A2一B2=(A+B)(A一B)=A2+BA—AB一B2的充分必要条件是

AB二BA.知识模块：线性代数部分

24.设A是三阶矩阵，且IAI=4,则=

正确答案：2

解析：知识模块：线性代数部分

25.

正确答案：

解析：知识模块：线性代数部分

26.

正确答案：8

解析：因为A为四阶矩阵，且IA*I=8,所以IA*I=IAI3=8,于是I

AI=2.又AA*=|AE=2E,所以A*=2AJ,故知识模块：线性代数部分

27.设A为三阶矩阵，且IA|=3,则I（一2A）*I=.

正确答案：576

解析:因为（一2A）*=（-2）2A*=4A*,所以I（一2A）*|=|4A*I=43IAI

2=64X9=576.知识模块：线性代数部分

28.

正确答案：

解析：知识模块：线性代数部分

29.

正确答案：

解析：知识模块：线性代数部分

30.

正确答案：

解析：知识模块：线性代数部分

31.

正确答案：

解析：知识模块：线性代数部分

32.设A为n阶可逆矩阵（n22）,则二（用A*表示）.

正确答案：

解析：知识模块：线性代数部分

33.

正确答案:

解析：知识模块：线性代数部分

34.设n维列向量Q=(a,(),…，0,a)T,其中aVO,又A=E-QQT,,且

B为A的逆矩阵，则a=.

正确答案：-1

解析：知识模块：线性代数部分

35.设三阶矩阵A