考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷3

考研数学三(概率论与数据统计)模拟

试卷3

一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共72分。)

1、设A、R为n阶矩阵，且A与R相似，F为n阶单位矩阵，则

A、AE-A=XE-B.

B、A与B有相同的特征值和特征向量.

C、A与B都相似于一个对角矩阵.

D、对任意常数t,tE・A与IE-B相似.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

2、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只

要有两个温控器显示的温度不低于临界温度to，电炉就断电，以E表示事件“电炉

断电“，而T⑴WT⑵WT⑶夕阳为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事

件E等于

Ax｛T(i)>to).

｛T(2)>to|.

C、｛T(3)>to｝.

D、(T(4)>to|.

标准答案：C

知识点解析：事件｛T(4ato｝表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度to；

｛T⑶3()｝表示至少有两个温控器的温度不低于t(),即E=｛T⑶浊)｝,应选(C).

3、设A,B为两个随机事件，且P(B)>0,P(AIB)=l,则必有

A、P(AUB)>P(A).

B、P(AUB)>P(B).

C、P(AUB)=P(A).

D、P(AUB)=P(B).

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

4、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A.｛掷第一次出现正面｝,A2=｛掷第二

次出现正面｝,A3=(正、反面各出现一次｝,A4=｛正面出现两次｝,则事件

A、A|,A21，A3相互独立.

B、A2，A3,A4相互独立.

C、A),A2，A3两两独立.

D、A2，A3,A4两两独立.

标准答案：C

知识点解析：P(Ai)=l/2,P(A2)=l/2,P(A3)=2/4=l/2,P(A4)=l/4

P(A|A2)=P(A4)=l/4,P(A2A3)=P(A2A3)=l/4,P(A]A2A3)=P((p)=0.计算看出

P(AIA2)=P(AI)P(A2),P(AIA3)=P(AI)P(A3),P(A2A3)=P(A2)P(A3)，但是

P(A1A2A3)/P(A1)P(A2)P(A3).因此事件Ai，A2，A3两诙独立但不相互独立.应选

(C).进一步分析，由于事件A2EA4，故A2与A4不独立.因此不能选(B)与(D).

5、某人向向一目标独立重复射击，每次射击命中目标的蹴率为，p(0

A、3p(l-p)2.

B、6p(l-p)2.

C、3p2(l-P)2.

D、6p2(l-p)2.

标准答案：C

知识点解析：设事件，A="第4次射击恰好第2次命中目标”，则A表示共射击4

次，其中前3次只有1次击中目标，且第4次击中目标.因此P(A)=3p2(l-P)2.选

(C).

6、设A,B,C三个事件谀两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是

A、A与BC独立.

B、AB与AUC独立.

C、AB与AC独立.

D、AUB与AUC独立.

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

7、设Xi和X2是任意两个用互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为

f](x)与f2(x),分布函数分别为F[(x)与F2(x),则

A、fi(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度.

B、f](X)f2(X)必为某一随机变量的概率密度.

C、F](x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数.

D、F|(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数.

标准答案：D

知识点解析：若令X=max(Xi，X2),而X『fXi(x),i=I,2,则X的分布函数F(x)

恰是FXI(X)FX2(X).F(x)=P{max(X|,X2)<x}=P{X|<x,X2<x}

=P{XI<X}P{X2<X}=FI(X)F2(X).

8、设随机变量X服从止态分布N>[,oi2),随机变量Y服从止态分布N(N2，

且「{IX-mI>PI[Y-P2I<1}则必有

A^O|<O2-

B、01>G2.

c、m<1.12.

D、阳〉卜12.

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

9,设随机变量X服从正态分布N(R,屋)，则随。的增大，概率p{|X_HI<a)

A、单调增大.

B、单调减小.

C、保持不变.

D、增减不定.

标准炒卖.C

知识点解析：暂无解析

10、假设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min{X,2}的分布函数

A、是连续函数.

B、至少有两个间断点.

C、是阶梯函数.

D、恰好有一个间断点.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

11、设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则

P{X2+Y2<1}=

A、1/4

B、1/2

C、7t/8

D、n/4

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

12、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则

X和Y的相关系数等于

A、-1

B、0

C、1/2

D、1

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

二、填空题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

13、设A为2阶矩阵,ai，az为线性无关的2维列向量,Aa产设Aa2=2ai+a2，则

A的非零特征值为.

标准答案：1

知识点解析：用定义.Aai=O=Oai，A(2ai+a2)=Aai=2ai»知A的特征值为1和

0.A的非0特特征为1.

14、若3维列向量郊满越0rB=2,其5为a为转置，则矩阵的非零特征值为

标准答案：2

知识点解析：暂无解析

15、已知实二次型f(xi，X2，X3)=a(x，+x22+x32)+4xiX2+4x]X3+4x2X3经正交变换

x=Py可化成标准形f=6yi2,则a=.

标准答案：2

知识点解析：二次型xTAx经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是

二次型矩降A的特征值，所以6,0,0是A的特征值.

16、在区间(0,1)中随机地我两个数，则两数之差的绝对值小于1/2的概率为

标准答案：3/4

知双点解析：暂无解析

17、从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,…，X中任取一个数，记

为Y,则P{Y=2}=.

标准答案：13/48

知识点解析：暂无解析

18、一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品

的概率Pi=l/(i+l)(i=l,2,3),以X表示3个零件中合格品的个数，则

P{X=2}=.

标准答案：11/24

知识点解析：设事件Ai="实习生制造的第i个零件是合格品“，i=l,2,3,依题

意，Ai，A2，A3相互独立C

19、设两两相互独立的事件A,B和C满足条件：ABC=ip,P(A)=P(B)=P(C)<

1/2,且己知p(AUBUC)=9/16,则P(A尸.

标准答案：1/4

知识点解析：由丁-A、B、C两两独立，且P(A尸P(B尸P(C),所以

P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)]2,P(AC)=[P(A)]2,P(BC)=[P(A)]2,

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3P(A)-3[P(A)]2.依题

意，有3P(A)-3[P(A)F=9/16,[P(A)]2-P(A)+3/16=0.解方程,得P(A)=l/4或/3/4.

20、设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布，随机变量y服从参数为(3,p)的

二项分布，若PIx*I=5/9,则PIY>1I=.

标准答案：19/27

知识点解析：p{x*}=l-P{X=0}=l-(l-p)2解方程1-(1-p)2=5/9得l-p=2/3,

P=l/3.P{Y>1}P{Y=O}=1-(i-p)3=1.⑵=19/27.

三、解答题(本题共1题，每题分，共I分。)

21、设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=AE+ATA,试证：当

Q>0时，矩阵B为正定矩阵.

标准答案：BT=(XB+ATA)T=XE+ATA=B,所以