河南省洛阳市2025-2026学年高一数学上学期期中测试含解析

河南省洛阳市2025-2026学年高一数学上学期11月期中试题

一、单选题

3

1．已知集合AxZZ，则用列举法表示A（）

x1

A．2,0,1,2,4B．2,0,2,4C．0,2,4D．2,4

2．若a＞b，c＞d，则（）

A．ac2bc2B．a－c＞b－d

C．a－d＞b－cD．ac＞bd

3．函数fxx0x41x的定义域是（）

A．,42,B．4,00,1

C．4,00,1D．4,00,1

4．已知函数fxx24xa,x0,1，若fx有最小值-2，则fx的最大值为（）

A．-2B．2C．-1D．1

5．下列大小关系正确的是（）

1112

①2223②2215

5552

1112

③1515④2515

2353

A．①②B．③④C．②③D．①③

axb

6．已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为x1<x<3，则不等式0的解集为（）

cxa

11

A．x<x<4B．x4<x<

33

11

C．{xx<或x4}D．{xx<4或x}

33

4x

7．设实数x,y满足xy1，则的取值范围是（）

xy

A．,08,B．8,C．,0D．0,8

x1fx2x2fx1

8．已知函数fx定义域为0,，x1，x20,，0，且f36，

x1x2

fa22a2a24a，则实数a的取值范围是（）

A．,20,B．,31,

C．3,1D．3,20,1

二、多选题

9．设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中正确的是（）

ð痧

A．IABIB．IAIBI

ð痧

C．AIBD．IAIBIB

10．对于实数a，b，c，正确的命题是（）

ab

A．若ab，则abB．若ab0，则aabb

2

11aac

C．若，则a0，b0D．若ab0，c0，则

abbbc

axa1

11．已知函数fx，则下列说法正确的是（）

x2

A．fx的定义域为,22,

3

B．当函数fx的图象关于点2,3成中心对称时，a

2

1

C．当a时，fx在2,上单调递减

3

D．设定义域为R的函数gx关于2,2中心对称，若a2，且fx与gx的图象共有2026个交点，

记为Aixi,yii1,2,,2026，则x1y1x2y2x2026y2026的值为0

三、填空题

12．若关于x的一元二次不等式ax23xa0的解集为xxm，则ma.

2026(x1)2x2025

13．设函数fx3x3的最大值为M，最小值为m，则Mm.

x21

14．已知函数fx2x且fxgxhx，其中gx为奇函数，hx为偶函数，若不等式

3agxh2x0对任意x1,2恒成立，则实数a的取值范围是．

四、解答题

2

111

15．（1）求值：3440；

(64)(3)(21)

8

axax

（2）已知ax21，求的值.

a3xa3x

16．已知命题p:xR,x22x2a0.

(1)若p为真命题，求实数a的取值所构成的集合A；

x

(2)设不等式1b的解集为B，在（1）的条件下，若“xA”是“xB”的必要条件，求实数b的取

3

值范围.

17．某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新

型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为a米，侧面长为b米.

(1)若a,b满足abab30，则展房占地面积至少为多少平方米？

(2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价

5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？

18．已知二次函数fx满足f01，且fx1fx2x3.

(1)求fx的解析式；

(2)画出函数fx的图象；

(3)若fxa2a1有四个不同的实数根，求实数a的取值范围.

m2x1

19．已知函数fx为奇函数.

2x1

(1)求m；

(2)判断fx的单调性并证明；

(3)若xa,a1使fx2f1ax成立，求实数a的取值范围.

20．已知函数fx的定义域为R,f10,fxfyfxyxy，且fx仅有一个零点.

(1)求f0,f1；

(2)若fxm为奇函数，求m的值；

1

(3)设函数gxf，若存在实数a,b(1ab)，使得gx在区间a,b上的值域为ka,kb，求实数k的

x

取值范围.

题号12345678910

答案BCCDCCABACDABD

题号11

答案ACD

1．B

由题意可得x1可为1、3，计算即可得.

【详解】由题意可得x1可为1、3，

即x可为0,2,2,4，即A2,0,2,4.

故选：B.

2．C

根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可.

【详解】选项A：若c20，则ac2bc20.所以选项错误.

选项B：若a7,b6,c4,d1,满足ab,cd，但是acbd.所以选项B错误.

选项C：因为cd,所以dc,又因为ab，所以adbc.所以选项C正确

选项D：若a7,b3,c1,d2,满足ab,cd，但是acbd,所以选项D错误.

故选：C.

3．C

x0

由题意可得，求解即可.

x41x0

x0x0

【详解】由，得，解得4x0或0x1，

x41x0x4x10

所以函数fxx0x41x的定义域是4,00,1.

故选：C.

4．D

根据二次函数性质可知函数在x0,1上单调递增，根据fx最小值求出a，再求出最大值.

【详解】由二次函数fxx24xa易得fx在x0,1上单调递增，

所以fx在的x0,1的最小值为f0a2，故a2，

所以fxx24x2，故fx在的x0,1的最大值为f112421，

故选：D.

5．C

利用指数函数、幂函数的单调性比较大小逐个判断即可.

x11

【详解】对①，因为指数函数2单调递减，所以2223，①错误；

y

555

x12

对②，因为指数函数2单调递减，所以2225，

y

555

22

2

又因为幂函数在单调递增，所以2515，

yx50,

52

12

所以2215，②正确；

52

11

1

对③，因为幂函数在单调递增，所以1515，③正确；

yx50,

23

12

x

对④，因为指数函数2单调递减，所以2525，

y

555

22

2

又因为幂函数在单调递减，所以2515，

yx50,

53

12

即2515，④错误；

53

故选：C.

6．C

由题意知1和3为方程ax2bxc0的两个根，由韦达定理可得c3a，b4a，且a0，则不等式

axbx4

0等价于0，即3x1x40，由此即可写出答案.

cxa3x1

【详解】因为关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为x1<x<3，

所以1和3为方程ax2bxc0的两个根，

b

1+3=

a

由韦达定理有：，

c

13=

a

所以c3a，b4a，且a0，

axbx4

则0，等价于0，即3x1x40，

cxa3x1

1

故不等式的解集为,4,.

3

故选：C.

7．A

4x4yx

由xy1，得4，再通过x,y同号，和x,y异号，利用基本不等式即可求解.

xyxy

4x4x4yx4yx

【详解】由xy1，则4，

xyxyxy

4yx4yx21

当x,y同号时，由4428，当且仅当x,y时，取等号，

xyxy33

4yx4yx4yx

当x,y异号时，由4442=0，当且仅当x2,y1时，取等号，

xyxyxy

4x

综上的范围为,08,，

xy

故选：A

8．B

2

fx22fa2af3

由题可得在0,上递增，然后将fa2a2a4a化为，由单调性结合定义

xa22a3

域可得答案.

fxfx

21fx

【详解】由条件得x1，x20,，xx，在0,上递增.

210x

x2x1

2

22fa2af3

由fa2a2a4a得2，

a22a3

a22a0

则或．

2a3a1

a2a3

故选：B．

9．ACD

画出维恩图，再根据维恩图分析判断得解.

【详解】A、B、I满足ABI，先画出维恩图，如下图：

根据维恩图可判断出A、C、D都是正确的；

痧

而IAIBIA，故B错误；

故选：ACD.

10．ABD

利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.

abababab

【详解】对选项A，因为ab，所以a0，b0，

2222

ab

所以ab，故A正确；

2

aa

对选项B，ab0，1，所以aab，

abb

aba

因为1，所以abb，即aabb，故B正确；

bb

11

对选项C，令a2，b3，满足，不满足a0，b0.

ab

对选项D，因为ab0，c0，

aacabcbaccab

所以0，故D正确.

bbcbbcbbc

故选：ABD

11．ACD

根据分母不为0，即可求函数的定义域，判断A；首先分离常数，根据函数的特征和性质，即可判断BC；根

据两个函数的对称性相同，可判断出两个函数图象交点的对称性，即可求解，并判断D.

axa1

【详解】对于A，要使函数f(x)有意义，则x20，即x2，

x2

∴f(x)的定义域为(,2)(2,)，所以A正确；

axa1a(x2)2aa113a

对于B，∵f(x)a，

x2x2x2

∴f(x)的图象关于点(2,a)成中心对称，

当函数f(x)的图象关于点(2,3)成中心对称时，a3，所以B不正确；

13a1

对于C，由选项B知f(x)a，当a时，13a0，

x23

13a

∴f(x)a在(2,)单调递减，2,2,,所以C正确；

x2

13a5

对于D，∵a2，f(x)a2，

x2x2

∴f(x)的图象关于(2,2)对称，又函数g(x)的图象关于(2,2)对称，

∴f(x)与g(x)图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)对称，

x1y1x2y2x2026y2026x1x2x2026y1y2y20261013410134

405240520，所以D正确.

故选：ACD

5

12．

2

根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，得到判别式的值和a的正负，从而解出a和m的值，得到ma

的值.

【详解】因为关于x的一元二次不等式ax23xa0的解集为xxm，

所以对应的一元二次方程ax23xa0有且仅有一个解，且a0，

2

Δ34a203

所以，解得a，

a02

33

代入一元二次方程得x23x0，解得x1，所以m1，

22

35

所以ma1，

22

5

故答案为：.

2

13．4052

x20254052xx20254052x

化简函数fx2026，设gx3x3，可得函数gx在3,3上为奇函

x21x21

数，进而得到，进而求解即可.

gxmaxgxmin0

2

2026x1x2025x20254052x

【详解】fx20263x3，

x21x21

x20254052x

设gx3x3，定义域关于原点对称，

x21

2025

x4052xx20254052x

由gx22gx，知函数gx为奇函数，

x1x1

，

gxmaxgxmin0

因为，，

M2026gxmaxm2026gxmin

所以.

Mm4052gxmaxgxmin4052

故答案为：4052.

17

14．,

18

2x2x2x2x

利用函数奇偶性性质和定义可以得到h(x),g(x)，代入不等式后，利用换元法

22

23152

t2x2x将不等式化为3at在t[,]上恒成立，再借助双勾函数的图像性质可以得到t

t24t

17

的最大值，进而得到a.

18

【详解】由已知得gxhx2x，gx为奇函数，hx为偶函数，

所以gxhxgxhx2x，

2x2x2x2x

联立解得h(x),g(x)，

22

xx

3a2222x22x

代入不等式3agxh2x0得：0在1，2上恒成立．

22

x-x315

令t=2-2,tÎ[,]，则22x22xt22，

24

3att222315

则不等式可化为0，即3at，t[,]恒成立．

22t24

22t22t2t2

令s(t)t，则s(t)10，

tt2t2t2

315332217

所以s(t)在[,]单调递增，所以s(t)s()，

242236

21721717

所以，ts(t)，即t，即有a．

t6tmax618

17

故答案为：,．

18

151

15．（1）；（2）.

85

（1）根据指数幂运算性质计算即可；

（2）根据立方和公式计算即可求解.

2

1111

【详解】（1）3440

(64)(3)(21)431

88

15

；

8

xxaxax

aa

（2）xx2x2x

a3xa3xaaa1a

1

1

2，

a2x1a2xaxax3

ax21，

1

ax21，

21

1

11

2

axax3(2121)235

1

16．(1)Aaa

2

5

(2)bb

6

（1）由Δ0即可求解；

（2）由BA，通过B和B分别讨论即可.

【详解】（1）由题意知p:xR,x22x2a0为真命题，

Δ48a0，

1

Aaa.

2

xx

（2）1bb1b，

33

33bx33b，

即B{x∣33bx33b}.

"xA"是“xB”的必要条件，

BA.

当B时，33b33b，

b0.

33b33b,

5

当B时，0b.

16

33b.

2

5

综上可知，实数b的取值范围为bb.

6

17．(1)9平方米.

(2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元.

（1）由ab2ab，结合一元二次不等式求解即可；

（2）由题意得到y12003a4b5800，再结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）abab3，且ab2ab，

ab32ab，

即ab2ab30，

解得ab3或ab1（舍），

ab9，当且仅当ab3时，等号成立.

所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米.

（2）由题知ab192，

总造价为ya312002b38005800

3600a4800b5800

12003a4b5800

1200212ab5800

12002121925800

121000

3a4b,a16,

当即时，上式等号成立，

ab192.b12.

所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元.

18．(1)fxx24x1

(2)答案见解析

(3)a1,2

（1）根据待定系数法求fx的解析式；

（2）根据分段函数画出函数fx的图象即可；

（3）将方程的根转化为图像交点个数，结合（2）所化图像，列出不等式组，解不等式即可.

【详解】（1）设二次函数fxax2bxca0，

f01，

c1，

fx1fx2x3，

a(x1)2bx11ax2bx12x3，

2axab2x3，

2a2,a1,

fxx24x1

ab3.b4.

x24x1,x0,

（2）2

fxx4x12

x4x1,x0.

（3）若fxa2a1有四个不同的实数根，

等价于yf(x)与ya2a1的图像有四个交点，

由图可知3a2a11，

a2a20,

即

2

aa20.

1a2，

a1,2.

故实数a的取值范围为a1,2.

19．(1)m1

(2)fx在R上单调递增，证明见解析

32

(3)a

22

m2x1

【详解】（1）因为函数fx为奇函数，且定义域为R，

2x1

m1

f00，

2

m1，

2x1

当m1时，fx，满足fxfx，故m1.

2x1

2x12

（2）由（1）知fx1，fx在R上单调递增.

2x12x1

证明：x1,x2R，且x1x2，

xx

2222122

fx1fx2xx，

2212112x212x11

x

y2在R上单调递增，2x12x2