河南省南阳市2025-2026学年高二数学上学期9月第一次月考试题含解析

一、单选题(每小题5分，共40分）

1．（教材p13）经过点1,2，且在x轴和y轴上截距相等的直线方程是（）

A、xy30B、xy30或2xy0

C、xy10D、xy10或2xy0

2.（教材P35改编）已知直线l：yxb，圆C：x12y122，当直线l与圆C有交点时，b的

取值范围是（）

A、0，4B、1，3C、，4D、0，4

3．（教材P19改编）已知两条不重合直线和，若，则的

l1:ax3y30l2:x(a2)y10l1//l2a

值为（）

3

A、3B、C、1D、3或1

2

4．直线l经过A2,1，B1,m2mR两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（）

ππππππππ

A．,B．0,,πC．0,D．,,π

42424422

5．已知A8,4，B6,6，直线l1：kxy2k40与直线l2：xky2k40相交于点M，则ABM

的面积最大值为（）

A．10B．14C．18D．20

x2y2

6.已知椭圆C：1(ab0)的左右焦点分别是F1，F2，椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为4，

a2b2

过焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB的长为3，则椭圆C的方程为（）

y2x2x2y2x2y2

A．x21B．y21C．1D．1

334332

7．（教材P27改编）若点A（2，1），点B为曲线C：xy1上一点，则直线AB的倾斜角取值范围是（）

3

A、，0B、，

44

3

C、，D、以上三项都不对

4

8．三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，

给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在

平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A0,2，B1,0，则“ABC的欧拉线方程为x=1”是“点C的

坐标为2,2”的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

二、多选题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，

部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9．（教材P27）（多选）已知三条直线的斜率分别为，倾斜角分别为，，，且，

l1,l2,l3k1,k2,k3k1k2k3

则倾斜角，，的大小关系可能是

A、B、

C、D、

10．下列结论正确的是（）

1

A．若直线l：axby1与圆O：x2y2相交，则点a,b在圆O的外部

4

22

B．直线kxy3k10被圆x2y24所截得的最长弦长为22

222

C．若圆xyr上有4个不同的点到直线xy20的距离为1，则有r21

D．若过点P1,3作圆O：x2y2r2的切线只有一条，则切线方程为x3y40

11．已知圆x2(y1)21与y轴交于O（原点）,C两点,点A是圆上的动点,B2,0,则（）

A．AB的最大值为51

B．xR,OBxBC的最小值为1

C．2OAOB2

D．令OAOBOC,则存在两个不同的点A,使1

三、填空题（每小题5分，共15分）

y2x2

12．若1表示椭圆，则实数k的取值范围为

4k1k25

13．（教材P23改编）已知是直线上的两点，若，且，

Ax1,y1,Bx2,y2l:ykx1x1x24AB5

则直线l的一般式方程为

14．已知点P2,1到动直线axaby5b0的投影点为Q，若点R3,3，则QR的最大值是．

四、解答题（共77分）

15．（13分）已知圆C过点1,1，圆心在y轴正半轴上，且与直线yx4相切.

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知过点P1,4的直线l交圆C于A,B两点，且AB2，求直线l的方程.

16．（15分）已知的顶点B3,4，AB边上的高所在直线为l1：xy30，BC边上的中线所在直

∆𝐴�

线为l2：x3y70，E为AB的中点.

(1)求点E的坐标；

(2)求过点E且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程.

17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l1:2xy20和l2:x(a1)y30.

(1)若l1//l2，求a的值及l1与l2之间的距离；

1

(2)若a2，过点P(3,0)作直线l与直线l，l分别交于点A、B，且满足APAB，求直线l的方程.

122

18．（17分）已知圆O:x2y2r2(r0)与圆C:(x4)2(y3)216

(1)若圆O与圆C有两个不同的交点，求的取值范围;

(2)若r2，且圆O与圆C有两个不同的交点D,E,求线段DE的长;

(3)若r=1，求圆O与圆C的公切线方程.

19.（17分）已知方程：x2y22t3x214t2y16t490（tR）表示的图形是圆.

(1)求t的取值范围；

(2)求圆心的轨迹方程；

(3)求其中面积最大的圆的方程.

一、单选题(每小题5分，共40分）

1．B2.D3．C

4．B

π

【详解】因为A,B两点横坐标不同，故倾斜角不为2，

m21

tan1m2,1

由题意得12，

ππ

0,,π

因为0,π，所以42.

故选：B

5．B

6.C

依题意，由椭圆定义得2a4，即a2，

x2y2

1(ab0)

令椭圆C：a2b2的半焦距为c，则F2(c，0)，直线AB：x=c，

xc

222

xyb2b2

1|y||AB|3

由a2b2得a，于是得a，则b23，

x2y2

1

所以椭圆C的方程为43.

故选：C

3

0，

7．D，应为4

a1b2a1b2

(,)(,)

8．A【详解】若ABC的欧拉线方程为x=1，设点C(a,b)，则ABC的重心为33，显然点33

在直线x=1上，于是得a2，

1113

(,1)y1(x)x2y0

直线AB的斜率为2，线段AB的中点2，则线段AB的中垂线方程为22，即2，

x=1

3555

x2y0222

O1(1,)(21)(b)()

由2得ABC的外心4，即有|CO1||BO1|，因此44，

11

b(2,)

解得b2或2，于是得点C的坐标为2,2或2；

45

(1,)(1,)

当C的坐标为2,2时，ABC的重心为3，外心为4，因此ABC的欧拉线方程为x=1，

所以“ABC的欧拉线方程为x=1”是“点C的坐标为2,2”的必要不充分条件.

故选：A

9．ACD

10．AD

11

221

22ab4

【详解】对于A项，由题意可得ab2，所以4，从而点a,b在圆O的外部，故A项正

确；

22

对于B项，直线kxy3k10恒过定点3,1，32124，

点3,1在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错；

2

21

对于C项，圆心到直线的距离为2，如图，直线xy20与圆相交，

r21

l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误；

P1,3222

对于D项，过点作圆O：xyr的切线只有一条，则点P在圆O上，

11

又kOP3，故切线的斜率为kOP3，

1

y3x1

所以切线方程为3，即x3y40，故D项正确.

故选：AD.

11．ACD

22

22M0,1，MB215,ABMBr51,

【详解】圆x(y1)1的圆心为半径r1,max

故A正确；

由题知

2

22211

OBxBC22x2x22x2x122x,

C0,2,OBxBC22x,2x,22

11

xOBxBC22,

当2时,取得最小值为2故B错误；

1,1,OB2,

根据向量投影的几何意义,知OA在OB方向上的投影的取值范围为OAOB2,2,故C正

确；

若OAOBOC,且1,则A,B,C三点共线.

121

r,

直线BC的方程为xy20,圆心M到直线BC的距离为12122

所以直线BC与圆相交,故存在两个不同的点A,使1,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题（每小题5分，共15分）

1

5，222222，

12．4

13．3x4y40或3x4y40

14．6

【详解】axaby5b0变形为ax1by50，

x10x1

令y50，解得y5，

故axaby5b0恒过点A1,5，

设点Qx,y，则PQ⊥AQ，

即PQAQx2,y1x1,y50，

2

1225

xy3

整理得24，

15

B,3

所以Q点轨迹为以2为圆心，2为半径的圆，

2

1225

333

又24，即R3,3在圆外，

2

5125

BR3336

则QR的最大值为222.

故答案为：6

四、解答题（共77分）

15．（13分）

22

(1)x(y2)2

(2)x=1或3x4y130.

（1）解：设圆心为C0,t,t0，

t4

(01)2(t1)2

依题意有2，解得t2或t6（舍去），

22

C0,2，则r01212，

22

故圆C的标准方程为x(y2)2

22

（2）若l斜率不存在，则l:x1，代入圆C方程得1(y2)2，

解得y3或y1，AB2，符合题意；

若l斜率存在，设斜率为k，则直线l:y4kx1，即kxyk40，

2

AB

dr21

由圆心C到直线l的距离为2，

k2333

1kl:xy40

即k21，所以4，44，即3x4y130

综上，所求直线l的方程为x=1或3x4y130.

16．（15分）

(1)解：因为ABl1，而直线l1：xy30的斜率为1，

所以直线AB的斜率为1，即直线AB的方程为：y41x3，即xy10，

x3y70

所以点A在直线AB与BC边上的中线的交点，xy10，解得x1，y2，

1342

E,

所以顶点A的坐标(1,2)，而E为线段AB的中点，所以22，即E的坐标

2,3；

(2)解：当直线l经过原点时，设直线l的方程为ykx，将E的坐标2,3代入可得

33xy

k=yx1

32k，解得2，这时直线的方程为2；当直线l不过原点时，设直线l的方程为aa，

23

1

将E2,3代入可得aa，解得a5，这时直线l的方程为xy50，

3

yx

综上所述：直线l的方程为2或xy50.

85

17．（15分）(1)5

(2)8xy240

【详解】（1）直线l1的斜率k12，

因为l1//l2，所以直线l2的斜率存在，设为k2，且k22.

111

k22a

即a1，所以a1，解得2.

11

al2:xy30

将2代入直线l2得2，即l2:2xy60，

CC|26|885

d12

2222

所以l1与l2之间的距离为AB2155.

（2）若a2，则l2:xy30，

1

APAB

由2可知，点P是线段AB的中点，

设Bx0,3x0，所以点B关于P(3,0)的对称点A6x0,3x0，

因为点A在直线l1上，

A6x,3x26x3x20

把点00代入l1方程2xy20，即00，

7

x0

解得3，

716

B,

所以33，

16

0

k38

l7167

3y8x

可得直线斜率3，所以直线l的方程为33，即y8x24，

所以直线l的方程为8xy240.

18．（17分）(1)1r9；

231

(2)5；

(3)4x3y50，y1，24x7y250.

222

【详解】（1）圆O:xyr(r0)的圆心O(0,0)，半径为r，

22

圆C:(x4)(y3)16的圆心C(4,3)，半径为4，

由圆O与圆C有两个不同的交点，得|r4||OC|r4，而|OC|5，

因此|r4|5r4，解得1r9，

所以r的取值范围是1r9.

22

（2）当r2时，圆O:xy4，此时圆O与圆C相交，两圆方程相减得直线DE方程8x6y130，

|13|13

d

点O到直线DE的距离826210，

169231

|DE|2r2d224

所以1005.

（3）当r1时，|OC|r4，即圆O与圆C外切，圆O与圆C有1条内公切线l，2条外公切线l1,l2，

t

1

k21

4k3t

4

2

显然切线l,l1,l2的斜率存在，设方程为ykxt，则k1，

4

k

3