考研数学三线性代数(向量组的线性关系与秩)模拟试卷1题后含答案及解析

考研数学三线性代数(向量组的线性关系与秩)模拟试卷1(题后含

答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.a1,a2,…，ar线性无关().

A.存在全为零的实数kl,k2,kr,使得klal+k2a1+…+krar=0.

B.存在不全为零的实数kl,k2,…，kr,使得klal+k2a1+…+krarWO.

C.每个ai都不能用其他向量线性表示.

D.有线性无关的部分组.

正确答案：C

解析：(A)不对，当kl=k2=・・・=kr=0时,对任何向量组a1,a2,ar,

klal+k2a2+…+krai-0都成立.(B)不对，a1,a2,…，ar,线性相关

时，也存在不全为零的实数kl,k2,…，kr,使得klal+k2a2+…+krarWO；

(C)就是线性无关的意义.(D)不对，线性相关的向量组也可能有线性无关的

部分组.知识模块：线性代数

2.设A是4X5矩阵，a1,a2,a3,a4,a5是A的列向量组，r(a1,

a2,a3,a4,a5)=3,贝l」()正确。

A.A的任何3个行向量都线性无关.

B.a1,a2,a3,a4,a5的一个含有3个向量的部分组⑴如果与口1,

a2,a3,a4,a5等价，贝lj定是al,a2,a3,Q4,a5的最大无关组.

C.A的3阶子式都不为0.

D.a1,a2,Q3,Q4,Q5的线性相关的部分组含有向量个数一定大于

3.

正确答案：B

解析：r(a1,a2,a3,a4,a5)=3,说明al,a2,a3,a4,的

一个部分组如果包含向量超过3个就一定相关，但是相关不一定包含向量超过3

个.(D)不对.r(a1,a2,a3,a4,a5)=3,则A的行向量组的秩也是3,

因此存在3个行向量线性无关，但是不是任何3个行向量都线性无关.排除

(A).A的秩也是3,因此有3阶非零子式，但是并非每个3阶子式都不为0,

(C)也不对.下面说明(B)对.⑴与a1,a2,a3,a4,a5等价，则⑴的

秩二r(Ql,a2,a3,a4,Q5尸3二⑴中向量的个数，于是(I)线性无关，由定义

⑴是最大无关组.知设模块：线性代数

3.设al,。2,…，as是n维向量组，r(a1,a2,…，as)=r,贝lj()

不正确.

A・如果r=n,则任何n维向量都可用Q1,a2,…，as线性表示.

B.如果任何n维向量都可用a1,a2,…，as线性表示，则r=n.

C.如果r=s,则任何n维向量都可用a1,。2,…，as唯一线性表示.

D.如果rVn,则存在n维向量不能用Q1,a2,…，as线性表示.

正确答案：C

解析：利用“用秩判断线性表示”的有关性质.当r=n时，任何n维向

量添加进al,a2,…，as时，秩不可能增大，从而(A)正确.如果(B)的

条件成立，则任何n维向量组81,82,…，6t都可用a1,a2,…，as线

性表示，从而r(61,B2,…，Bt)4r(。1,。2,…，as).如果取B1,B2,…，

Bn是一个n阶可逆矩阵的列向量组，则得n=r(P1,B2,…，3n)^r(a1,

a2,…，as)Wn,从而…，as)=n,(B)正确.(D)是(B)的逆否

命题，也正确.由排除法，得选项应该为(C).下面分析为什么(C)不正

确.r=s只能说明al,a2,…，aS线性无关，如果r〈n,则用(B)的逆否

命题知道存在n维向量不可用a1,a2,…，as线性表示，因此(C)不正确.知

识模块：线性代数

4.n维向量组⑴al,Q2,…，ar可以用n维向量组(H)B1,B2,…，

Bs线性表示.

A.如果(I)线性无关,则rWs.

B.如果⑴线性相关，则r>s.

C.如果(II)线性无关,则r〈s.

D.如果(II)线性相关，则r>s.

正确答案：A

解析：(C)和(D)容易排除，因为(II)的相关性显然不能决定「和s的大小关

系的.(A)当向量组⑴可以用(II)线性表示时，如果r>s,则⑴线性相关.因

此现在⑴线性无关，一定有rWs.(B)则是这个推论的逆命题，是不成立

的.也可用向量组秩的性质来说明(A)的正确性：由于⑴可以用(II)线性

表示，有r⑴Wr(H)Ws乂因为⑴线性无关，所以r(I)=r.于是rWs.知

识模块：线性代数

5.已知n维向量组al,a2,…，as线性无关，则n维向量组Bl,B2,…,

Bs也线性无关的充分必要条件为

A.a|,a2,—,as可用Bl,B2,…，Bs线性表示.

B.Bl,B2,…，Bs可用al,a2,­­•,as线性表示.

C.a1,a2,・・♦,as与Bl,(32,…，Bs等价.

D.矩阵(al,。2,…，QS)和(Bl,B2,…，Bs)等价.

正确答案：D

解析：从条件(A)可推出Bl,32,…，Bs的秩不小于a1,a2,…，Qs的

秩s,Pl,P2,…，Bs线性无关.即(A)是充分条件，但它不是必要条件.条

件(C)也是充分条件，不是必要条件.条件(B)既非充分的，又非必要的.两

个矩阵等价就是它们类型相同，并且秩相等.现在(al,a2,…as)和(81,3

2,…，Bs)都是nXs矩阵，(a1,。2,…，Qs)的秩为s,于是Bl,62,…,

Bs线性无关(即矩阵(BLB2,…，Bs)的秩也为s)(aLa2,…,as)和(81,

B2,…，Bs)等价.知识模块：线性代数

6.设A是mXn矩阵，B是nXm矩阵，则()

A.当m>n时、|AB|WO.

B.当m>n时，|AB|二O.

C.当n>m时，|AB|WO.

D.当n>m时，|AB|二O.

।卜确答案：B

解析：本题考察AB的行列式|AB|,而条件显然是不能用来计算|AB|.而利

用方阵“可逆满秩”，转叱Mr(AB)是否二AB的阶数m”的判断则是可行的.有

不等式r(AB)^min{r(A),r(B)}Wmin{m,n}.如果m>n,则r(AB)

Wmin{r(A),r(B)}Wmin{m,n}=n<m,于是r(AB)Vm,从而AB不可逆，

|AB|=().因此(B)成立.(如果mVn,r(AB)Wmin{r(A),r(B)}Wmin{m,n}=m.不

能断定r(AB)与m的关系，(C),(D)都不一定成立.)知识模块：线性代数

7.A是mXn矩阵，B都nXm矩阵.AB可逆，则

A.r(A)=m,r(B)=m

B.r(A)=m,r(B)=n

C.r(A)=n,r(B)=m

D.r(A)=n,r(B)=n

正确答案：A

解析：AB是m阶矩阵，AB可逆，则m=r(AB)Wr(A)Wm,得r(A尸m.同

理得r(B)=m.知识模块：线性代数

8.n阶矩阵的秩为n—1,则a=().

A.1.

B.1/(I—n).

C.-1.

D.1/(n—1).

正确答案：B

解析：用初等变换化A为阶梯形矩阵来求秩.(这里第一步变换是把第2〜n

列都加到第1列上；第二步变换是把第2〜n行都减去第1行.)如果l+(n-l)a

#0并且1—aWO,则r(A)=n.如果1一a=0,则r(A)=l.当l+(n—l)a=0时r(A)=n

一1,即a=l/(l—n).知识模块：线性代数

填空题

9.设al,Q2,Q3,都是n维向量.判断下列命题是否成立.①

如果al,a2,a3线性无关，a4不能用a1,口2,a3线性表示，则al,a

2,a3,线性无关.②如果al,a2线性无关，a3,。4都不能用al,

a2线性表示，则Ql,a2,a3,a4线性无关.③如果存在n阶矩阵A,

使得Aal,Aa2,Aa3,Aa4线性无关，则a1,a2,a3,a4线性无关.④

如果al=ABl,a2=AB2,a3=AP3,Q4=AB4,其中A可逆，Bl,22,

B3,B4线性无关，则】1,。2,a3,a4线性无关.其中成立的为.

正确答案：①，③，④.

解析：②明显不对，例如a3不能用Ql,a2线性表示，而Q3=a4时，a

3,a4都不能用al,a2线性表示但是a1,a2,a3,a4线性相关.③

容易用秩说明：Aa1,Aa2,Aa3,Aa4的秩即矩阵(Aa1,Ao2,A。3,A

a4)的秩，而(AQ1,Aa2,Aa3,Aa4)=A(a1,Q2,a3,a4),由矩阵秩

的性质④，r(Aa1,Aa2,Aa3,Aa4)Wr(a1,a2,a3,a4).Aa],

Aa2,Aa3,Aa4无关，秩为4,于是Ql,Q2,Q3,Q4的秩也一定为4,

线性无关.④也可从秩看出：A可逆时，r(al,a2,a3,a4)=r(Aa1,

Aa2,Aa3,Aa4)=4.知识模块：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10.设al,。2,…，as是一个n维向量组，B和丫也都是n维向量.判

断下列命题的正确性.①如果B,Y都可用al,Q2,…，Qs线性表示，

则B+丫也可用al,a2,…，as线性表示.②如果B,丫都不可用

a2,…，as线性表示，则B+Y也不可用al,a2,…，as线性表示.③

如果B可用al,a2,QS线性表示，而丫不可用Ql,Q2,…，QS线性

表示，则B+Y可用Q1,a2,…，as线性表示.④如果B可用Q1,a2,…，

as线性表示，而Y不可用al,。2,…，as线性表示，则B+丫不可用

a2,…，as线性表示.

正确答案：正确的是①和④，②和③都不对.①显然.②不对，可

用一个反例说明.取B不可用al,a2,…，Qs线性表示，Y二一B,则

丫也不可用al,a2,­­•,as线性表示，但是B+Y=O,可用。2,…，

as线性表示.用反证法说明③不对④对.如果B+Y可用al,Q2,…，Qs线

性表示，则因为8可用Ql,Q2,…，as线性表示，所以Y=(B+Y)-B也可

用al,a2,…，as线性表示，与条件矛盾.涉及知识点：线性代数

11.设AB二C,证明：(1)如果B是可逆矩阵，则A的列向量和C的列

向量组等价.(2)如果A是可逆矩阵，则B的行向量组和C的行向量组等价.

正确答案:⑴由上面的说明,C的列向量组可以用A的列向量组线性表示.当

B是可逆矩阵时，有CB-1=A,于是A的列向量组又可以用C的列向量组线性表

示.(2)C的行向量组可以用B的行向量组线性表示.当A是可逆矩阵时，

A-1C=B,于是B的行向量组又可以用的C的行向量组线性表示.涉及

知识点：线性代数

12.(1)如果矩阵A用初等列变换化为B,则A的列向量组和B的列向量

组等价.(2)如果矩阵A用初等行变换化为B,则A的行向量组和B的行向

量组等价.

正确答案：(1)利用初等变换与初等矩阵的关系，当矩阵A用初等列变换化

为B时,存在一系列初等矩阵PLP2,…，Ps,使得AP1P2…Ps=

B.由于P1P2…Ps是可逆矩阵，A的列向量组和B的列向量组等

价.(2)当矩阵A用初等行变换化为B时，存在一系列初等矩阵Pl,P2,…,

Ps,使得Ps…P2P1A二

B.由于PS-P2P1是可逆矩阵，A的行向量组和B的行向量组等

价.涉及知识点：线性代数

13.设a1=(2,1,2,3)T,a2=(-1,1,5,3)T,a3=(0,一1,一4,

一3)T,a4=(1,0,-2,一1)T,a5=(1,2,9,8)T.求r(Ql,Q2,a3,

a4,a5),找出一个最大无关组.

正确答案：以02,a3,a4,a5为列向量作矩阵A,用初等行变

换把A化为阶梯形矩阵：于是r(al,a2,a3,Q4,a5)=3.a1,a2,a4

是Ql,a2,a3,a4,a5的一个最大无关组.涉及知识点：线性代

数

14.设a1=(1,—1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a

4=(1,—2,2,0),a5=(2,1,5,10).①求r(al,a2,a3,a4,a

5).②求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示.

正确答案：①构造矩阵A=(alT,a2T,Q3T,a4T,a5T),并对它作初

等行变换：记B和C分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵.Bff3

个非零行，则r(a1,a2,a3,Q4,a5)=3.②B的台角在1,2,4

列，则a2,。4是al,a2,a3,a4,a5的一个最人无关组.设C的

列向量组为Yl,y2,y3,y4,y5,则al,a2,a3,a4,a5和Yl,y2,

丫3,y4,丫5有相同线性关系.显然丫3=3Y1+72,y5=2yl+y2,于是。3=3

a1+a2,a5=2a1+a2.涉及知识点：线性代数

15.设al=(l+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2),a3=(3,3,3+a,3),

a4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时a1,a2,Q3,。4线性相关?在Ql,a

2,a3,a4线性相关时求出一个最大线性无关组.

正确答案：a=0或一10.a=0时，每个向量都构成最大线性尢关组.a=-10,

其中任何3个都构成最大线性无关组.涉及知识点：线性代数

16.设Q1=(1,—1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a

4=(1,-2,2,0),«5=(2,1,5,10),它们的下列部分组中，是最大无关组

的有哪几个？(l)al,a2,a3.(2)a1,a2,a4.(3)a1,口2,

a5.(4)a1,a3,Q4

正确答案：部分组是最大无关组的条件是个数达到秩，并且线性无关.计算

得r(Ql,u2,a3,a4,a5)=3,这4个部分组都包含3个向量，只要线性无关

就是最大无关组.因为al,a2,a3,a4,a5和丫1,丫2,丫3,丫4,丫5

有相同线性关系，只要看对应的Y1,丫2,丫3,Y4,丫5的部分组的相关性.丫

1,丫2,丫3和丫1,丫2,丫5都是相关的，YI,丫2,丫4和丫1,丫3,丫4

都无关.于是(1)和(3)不是最大无关组，(2)和(4)是.涉及知识点：线性

代数

17.已知r(a1,a2,as)=r(a1,。2,…，as,8)=k,r(a1,Q2,…，

as,8,Y)=k+1,求r(a1,a2,…，as,B—Y).

正确答案：由条件知，B可用al,a2,…，as线性表示，Y不能用。1,

a2,…，as,B线性表示，从而也就不能用al,a2,…，as线性表示.于

是8—丫不能用al,J2,…，as线性表示.从而r(a|,a2,…，as,P—

Y)=k+1.涉及知识点：线性代数

18.已知求r(AB—A).

正确答案：如果先求出AB-A,再求它的秋，计算量比较大.注意到AB

一A=A(B一E),而B—e是可逆矩阵，则根据矩阵秩的性质，r(AB一A)=r(A),

直接计算r(A)就简单多了.得r(AB—A)=r(A)=2.涉及知识点：线性代

数

19.3阶矩阵,已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和r(AB).

正确答案:条件r(AB)小于r(A),说明B不可逆.类似地r(AB)小于r(B),

说明A不可逆.于是|A|二|B|二O,求出|A|=-4a+8b—12,|B|=a+b—3,则a,

b满足解得a=l,b=2.r(AB)<r(A)<3,则r(AB)Wl.再由AB不是零矩

阵(如它的(2,3)位元素为4),得r(AB尸1.(说明AB不是零矩阵也可用反证法得

到：如果AB=O,则r(A)+r(B)W3,而显然r(A)=r(B)=2.)涉及知识点：

线性代数

20.设Q,B都是3维列向量，A=aaT+PPT.证明(l)r(A)W2.(2)如

果Q,B线性相关，则r(A)V2.

正确答案：(l)r(A)〈r(aQT)+r(BBT),而r(aQT)<r(a)<l,同理r(B

BT)W1.(2)不妨假设P=ca,则A=aaT+ca(caT)=(l+c2)aaT,于是r(A)

Wr(QaT)WlV2.涉及知识点：线性代数

21.设al=(1,0,2,3)T,a2=(1,1,3,5)T,a3=(1,一1,a+2,1)T,

a4=(1,2,4,a+8)T,3=(1,1,b+3,5)T.问：⑴a,b为什么数时,B

不能用al，a2,a3,a4表示？(2)a,b为什么数时，B可用al,a2,a

3,Q4表示，并且表示方式唯一？

正确答案：构造矩阵(al,a2,a3,a4|B),并用初等行变换化阶梯形矩

阵：⑴当a+l=O,而bW()时，r(a1,a2,a3,a4)=2,而r(al,a2,

a3,a4,P)=3,因比B不能用Ql,a2,a3,a4线性表示.(2)当a+1

#()时(b任意)，r(a1,a2,a3,a4)=r(a1,a2,Q3,a4,P)=4,B可用

al,a2,a3,a4表示，并且表示方式唯一.(如果a+1=0,而b=0,则r(al,

a2,a3,a4)=r(a1,Q2,a3,a4,B尸2,因此B能用al,a2,Q3,Q

4线性表示，但是表示方式不唯一.)涉及知识点：线性代数

22.给定向量组(I)a1=(1,0,2)T,a2=(1,1,3)T,a3=(1,—1,a+2)T

和2,a+3)T,B2=(2,1,a+6)T,63=(2,1,a+4)T.当a为何值

时⑴和(n)等价?a为何值时⑴和(H)不等价？

正确答案：⑴和(II)等价用秩来刻画，即r(a1,a2,a3,Bl,B2,

P3)=r(a1,a2,a3)=r(31,B2,P3).当a+l=0时，r(a1,a2,a3)=2,

而r(al,a2,a3,Bl,B2,33)=3,因此⑴与(II)不等价.当a+1W0时，

r(a1,a2,a3,Bl,82,33)=r(a1,a2,a3)=3.再来计算r(81,32,

B3).则r(Bl,P2,B3)=3(与a无关).于是a+1WO时⑴与(H)等价.涉

及知识点：线性代数

23.求常数a,使得向量组a1=(1,1,a)T,a2=(1,a,1)T,a3=(a,1,

1)T可由向量组B1=(1,1,a)T,B2=(—2,a,4)T,B3=(—2,a,a)T线性表

示，但是Bl,62,B3不可用al,a2,a3线性表示.

正确答案：本题的要求用秩来表达就是r(BL32,B3)=r(al,a2,a3,

Bl,32,P3)>r(a1；a2,Q3).当a#1和一2时，r(a1,a2,a3)=r(a

1,a2,a3,Bl,B2,B3)=3,不符合要求.当a二一2时，r(a1,a2,

a3)=2,r(Bl,82,P3)=2,不符合要求.当a=l时，r(a1,a2,a3)=1,

r(P1,B2,63)=3,必有r(a1,a2,a3,81,B2,B3)=3,符合要求，得

a=I.涉及知识点：线性代数

24.已知B可用Ql,a2,…，as线性表示，但不可用al,a2,…，

as-1线性表示.证明(l)as不可用al,a2,…，as-1线性表示；⑵

as可用al,a2,…，as-1,B线性表示.

正确答案：方法一由于B可用a