考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷53

考研数学三(解答题)高频考点模拟试

卷53

一、解答题(本题共万题，每题1.0分，共15分。)

1、求微分方程y"-2y'-e2x=O满足条件y(O)=l,y'(O)=l的解.

标准答案：齐次方程y"・2y，=0的特征方程为f-2人=0.由此求得特征根入产0,b=2.

对应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x.设非齐次方程的特解为y”=Axe2x,则

(y*)=(A+2Ax)c2x,°*)”=4人(1+*把2'代入原方程，可得A=1/2,从而

y*=l/2xe2x.于是，原方程的通解为y=y+y*=C]+(C2+l/2x)e2x.将y(0)=l和*0)=1

代入通解，求得Ci=3/4,C2=l/4.从而,所求解为y=3/4++l/4(l+2x)e2x.

知识点解析：暂无解析

2、设f(x)€C[a,b],在(a,b)内可导,f(a尸f(b)=l.证明:存在。r)e(a,b)»使得

2e2^n=(ea+eb)[f(n)+f(n)].

标准答案：令(p(x)=eXf(K),由微分中值定理，存在n6(a，b),使得

叫一=/[,«)+/(,)],1一一

一a再由f(a)=f(b)=l,得

=en[f(n)+f(n)],从而方一。=(ea+eb)en[r(n)+f(n)],令(p(x尸e2x,由微分中值定

e"e=2e”，

理，存在乐(a,b),使得〃一。即2©2、3%净”?(铲耳初，或2/

Mea+eb)[f(n)+f(n)].

知识点解析：暂无解析

limg”.

3、设曲线y=x”在点(1,1)处的切线交x轴于点&,0),求—8

标准答案：ynx11在点(1,1)处的切线方程为y—l=n(x-l),令y=0得片1一

上，于是limg”=lim(l-;)

Tli»f8\71/—_2

-e•

知识点解析：暂无解析

4、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，拉力与弹簧的伸长量成正比，已知弹簧拉

1cm需要的力是3N,如果把弹簧拉伸3cm,计算要作的功.

标准答案：设拉力与伸长量之间的关系为y=kx,所以有k=3,则dW=3xdx.

W=「3xdx=4^=(cm•N=0.135J.

JoLL

知识点解析：暂无解析

5、已知二次型2xJ+3x22+3x32+2ax2X3(a>0)可用正交变换化为yJ+2y2?+5y32,求

a和所作正交变换.

标准答案：原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相

-20O-100

A—03a,B=020

似.-0a3--005-于是|A|二|B|二10.而|A|=2(9—a2),得

a2=4,a=2.A和B的特征值相同，为1,2,5.对这3个特征值求单位特征向

100'1001

A-E=02201

量.对于特征值1：-022--000」得(A—E)X=0的同解方程

Pi益°，

组J—3=0,

得属于I的一个特征向量n尸(O,I,—1)T,单位化得Y尸

000-010-

。手考T4-2E=012001

对于特征值2：-021-000-得(A-2E)X=0

产2=°，

的同解方程组“3=°，得属于2的一个单位特征向量、/2=(1，0,0)T.对于特

-300100.

4-5E=0-2201-1

征值5：-02-2--000-得(A—5E)X=0的同解方程组

产=0.

I町-43=0，'得属于5的一个特征向量r|3=(0，1，I),，单位化得丫3二

(0,29T.

'22/令Q=(w，丫2,丫3)，则正交变换X=QY把原二次型化为

yi2+2y22+5y32.

知识点解析：暂无解析

6、求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：(I)f(x)=2%2+%-1

(H)f(x)=xln(l-x2)

/(x)=———=----------i----------=上+

标准答案：(I)因为2/r-l(2”-1)(4+1)313f.i2x-l/从

而f(0)=0,且回令x=0即得(D)把t=-x2代入已知的麦克劳林公式

知识点解析：暂无解析

7、试用行列式的性质证明：(axb)xc=(bxc)xa=(cxa)xb

标准答案：设a=axi+ayj+azkb=bxi+byj+bzkc=cxi4-cyj4-czk

ata,a,

(aXd)•c=bt%bt

由行列式的性质.进行两次行变换值不变，有

6.b,b.

(aX^)•c=Qc,ct=(dXc)-a

a,a,aK

同理可证(6Xc)•a=(cXa)•b

证毕.

知识点解析：暂无解析

8、求二元函数f(x,y)=x4+y4—2x2—2y?+4xy的极值.

J；=4x3-4x>4y=0,

标准答案：为求函数f(X,y)的驻点，解如下方程组匕”4丁-4y+4#=0.

得

到三个驻点(xi，yi)=(0,0),(勺，力)=(「，-々)，(与，%)=(-々，&)♦

为判定上述三个驻点是否是极值点，再计算

为6。)

4(x)=必*=12/-4,8(7)=4

Oa*My

C(x,y)=也与2=12y2-4.

力在点(0,0)处，由

于A(0,0)=-4<0,8(0,0)=4,C(0,0尸一4,且AC-B2、。,故无法用充分条件

判断点(0,0)是不是f(x,y)的极值点.但由于在直线y=x上，f(x,y)=2x“在x=0

取极小值；而在直线y二一x上，f(x,—x)=2x‘一8x?在x=0取极大值，所以点(0,

0)不是函数f(x,y)的极值点.在点("，-々)处，由于A=20>0,B=4,C=20,

AC-B2=384>0,故人0，-々)=7是函数my)的极小值.在点(-反々)

处，由于A=20>0,B=4,020,AC-B2=384>0,故/(-"，々)=-8也是函

数f(x,y)的极小值.

知识点解析：暂无解析

-xcos4-y

—-dx.

9、求Jsinx

标准答案：

NCOS，y「

』一也=用14cos尹SC，fdx

=-1jxd(cscJf)=-1xcsc2f+|jcscJfd(f)

=-1JCSC21_|cot1+C.

知识点解析：暂无解析

ITv/-xydxdy

10、计算二重积分当其中D是由直线丫=乂，y=l,x=0所围成的平面

区域.

标准答案：为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x后y”积分较容易，所以

JJy-xydxdy=(dy[-zydx

D

=y(y2-_打=fpdr=1

-Ko

知识点解析：暂无解析

--4-10O-

130

11,已知A=L3xI」可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵A,使「

1AP=A.

A+4100

-1A-30

标准答案：由特征多项式I九E-AI二——A-1=(X-l)2(X+2),知矩阵A

的特征值为九1=址=1,22因为矩阵A可以相似对角化,故r(E・A)=l.而」

T

所以x=6.当入=1时，由(E-A)x=0得基础解系R二(-2,1,0),a2=(0,0,

1)T.当九=-2时，由(-24A)x=0得基础解系a3=(-5,1,3)二那么,令P=(ai，

012，a3)=

知识点解析：暂无解析

lim-4D(£X,)=0，

12、若随机变量序列X|,X2,…，Xn满足条件一”-证明：｛Xn｝服

从大数定律.

标准答案：由切比雪夫不等式，对任意的£>0有

“然X,-甘⑶川

P£9—9•

r1所以对任意的£>0,

0.

故｛Xn｝服从大数定律.

知识点解析：暂无解析

0,X41V_aX42

设随机变量X服从参数为2的指数分布，令U=LX>1'11,x>2

求：

13、(U,V)的分布;

标准答案：因为X服从参数为2的指数分布，所以X的分布函数为

F(x)=

0，(U,V)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),

(1,1).P(U=0,V=O)=P(X<1,X<2)=P(X<1)=F(1)=