考研数学二(矩阵)模拟试卷23(题后含答案及解析)

考研数学二(矩阵)模拟试卷23(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设n维行向量Q=(,0,…，0,),A=E-aTa,B=E+2aTa,则

AR为().

A.0

B.-E

C.E

D.E+aTa

正确答案：C

解析：由QQT=,得AB=(E—aTQ)(E+2QTa)=E,选

C.知识模块：矩阵

2.设A,B为n阶矩阵，则下列结论正确的是().

A.若A,B可逆，则A+B可逆

B.若A,B可逆，则AB可逆

C.若A+B可逆，则A-B可逆

D.若A+B可逆，则A,B都可逆

正确答案：B

解析：若A,B可逆，则|AIWO,IBIH0,又IAB|=IAIIB|,

所以IABI关0,丁是AB可逆，选

B.知识模块：矩阵

3.设A,B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是().

A.AB为对称矩阵

B.设A,B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵

C.A+B为对称矩阵

D.kA为对称矩阵

正确答案：A

解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B,得A+B为对称矩阵；由(A-1+B-1)T

=(A-1)T+(B-1)T=A-1B-1,得A・l+B・l为对称矩阵;由(kA)T=kAT=kA,得

kA为对称矩阵，选A.知识模块：矩阵

4.设A,B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是().

A.AB=O的充分必要条件是A=O或B=O

B.ABHO的充分必要条件是AWO旦BWO

C.AB=O且r(A)=n,则B=O

D.若ABHO,贝JIAIW()或IBIW()

正确答案：C

解析：取A=WO,B=WO,显然AB=O,故A、B都不对，取A=,B

=,显然AB=，但IAI=0且IBI=0,故D不对；由AB=O得r(A)+r(B)

Wn,因为r(A)=n,厅以r(B)=0,于是B=O,所以选

C.知识模块：矩阵

5.n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B,贝U().

—

-AI=—B

A.-

—

AIwB——

B.若

—

IA-o则Bo

C.若-

则

IA—>oB

D.

正确答案：C

解析：因为A经过若干次初等变换化为B,所以存在初等矩阵Pl,…，Ps,

Q1,…,Qt,使得B=Ps…P1AQ1…Qt,而Pl,…，Ps,Qs,…，Qt都是可逆

矩阵，所以r(A)=r(D),若IAI=0,即r(A)Vn,则r(B)Vn,即IBI=0,选

C.知识模块：矩阵

6.设A为mXn阶矩阵，C为，2阶矩阵，B=AC,且r(A)=r,r(B)=rl,

则().

A.r>rl

B.r<rl

C.r^rl

D.r与rl的关系依矩阵C的情况而定

正确答案：C

解析：因为rl=r(B)=r(AC)Wr(A)=r,所以选

C.知识模块：矩阵

填空题

7.设A为n阶可逆矩阵(n22),则[(A*)*]-l=(用A*表示).

正确答案：

解析：由A*=IAIA-1得(A*)*=IA*I.(A*)・l=IAIn-l.(IAI

A-l)-l=IAIn-lA,故=.知识模块:矩阵

8.设a=(l,-1,2)T,8=(2,1,1)T,A=aBT,贝ljAn=.

正确答案：

解析：PTa=3,A2=a3T.apT=3aBT=3A,则An=3n-1A=3n-1

知识模块：矩阵

9.A=,且n22,则An—2An-l=.

正确答案：O

解析:由A2=2A得An=2n-1A,An-l=2n-2A,所以An—2An-l=0.知

识模块：矩阵

1().设A=,贝lJ(A+3E)-l(A2-9E)=.

正确答案：

解析：(A+3E)・1(A2-9E)=(A+3E)・1(A+3E)(A-3E)=A-3E=知识

模块：矩阵

11.A2—B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是_____.

正确答案：AB=BA

解析：A2—B2=(A+B)(A—B)=A2+BA—AB—B2的充分必要条件是AB

=DA.知识模块：矩阵

12.设A是三阶矩阵，且IA|=4,则=.

正确答案：2

解析：=I2A-II=23IA-lI=2.知识模块：矩阵

13.设A为三阶矩阵，且IA1=4,则=.

正确答案：

解析：由A*=IAIA-1=4A-1得知识模块：矩阵

14.设A为四阶矩阵，IA*I=8,则I—3A*I=.

正确答案：8

解析：因为A为四阶矩阵，且IA*I=，所以IA*I=IAI3=8,于是I

AI=2.又AA*=IAIE=2E,所以A*=2A-1,故I(A)-1=3A*I

4A-1-6A-1I=(-2)A-lI=(-2)4IA-lI=16X=8.知识模块:矩阵

15.设A为三阶矩阵，且IAI=3,则I(-2A)*I=.

正确答案：576

解析：因为(-2A)*=(—2)2A*=4A*,所以I(一2A)*I=I4A*I=43I

AI2=64X9=576.知识模块：矩阵

16.设A=,贝ijA-l=.

正确答案：

解析：知识模块：矩阵

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.设求⑴I-2B|；(2)AB-BA.

正确答案：(1)I-2BI=(-2)3IBI=-8；则AB-BA=涉

及知识点：矩阵

18.设A,B为n阶矩阵，且A2=A,B2=B,(A+B)2=A+

B.证明：AB=O.

正确答案：由A2=A,B2=B及(A+B)2=A+B=A2+B2+AB+BA得

AB+BA=O或AB=—BA,AB=-BA两边左乘A得AB=-ABA,再在AB

=—BA两边右乘A得ABA=-BA,则AB=BA,于是AB=O.涉及

知识点：矩阵

19.设AX=A+2X,其中A=,求X.

正确答案：由AX=A+2X得(A—2E)X=A,其中A—2E=因为IA—

2E|=-1WO,所以X=(A-2E)-1A,涉及知识点：矩阵

2().设A=,且AX+IAIE=A*+X,求X.

正确答案：由AX+IAIE=A*+X得[A—E)X=A*=IAIE=A*-

AA*=(E-A)A*,因为IE-AI=-3工0,所以E-A可逆，于是X=-

A*,由IAI=6得X=-6A-I,得A-l=，于是X=-6A-1=涉

及知识点：矩阵

21.设四阶矩阵B满足(A*)-1BA-1=2AB+E,且A=,求矩阵

B.

正确答案：IAI=4,(+A*)-lBA-l=2AB+E(IAIA-1)-1BA-1=2AB

+EABA-1=2AB+EB=2BA+EB=(E-2AAi=涉及知识点：

矩阵

22.设A,B满足A*BA=2BA—8E,且人=，求

B.

正确答案：由A*BA=2BA—8E得AA*BA=2ABA—8A,即一2BA=

2ABA