考研数学三(线性代数)模拟试卷126(题后含答案及解析)

考研数学三(线性代数)模拟试卷126(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设A是n阶矩阵，下列结论正确的是().

A.A.R都不可逆的充分必要条件是AR不可逆

B.r(A)<n,r(B)Vn的充分必要条件是r(AB)<n

C.AX=O与BX=O同解的充分必要条件是r(A)=r(B)

D.A~B的充分必要条件是入E—A~入E—B；

正确答案：D

解析：若A〜B,则存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,于是P-1(入E—

A)P=XE—P-1AP=E-B,即入E-A〜入E=B：反之，若入E—A〜入E-B,

即存在可逆矩阵P，使得P-1(入E—A)P二入E—B,整理得入E—P-1AP二入E

—B,即P1AP-B,即A〜B,选(D).知识模块：线性代数

2.设A为n阶可逆矩阵，人为A的特征值，则A*的一个特征值为().

A.

B.

C.X|A|

D.X|A|n-l

正确答案：B

解析：因为A可逆，所以入r0,令AX—人X,贝I」A*AX—人A*X,从而有

人**=选很).知识模块：线性代数

3.设三阶矩阵A的特征值为入1=一1,入2=(),入3=1,则下列结论不正

确的是().

A.矩阵A不可逆

B.矩阵A的迹为零

C.特征值一1,1对应的特征向量正交

D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量

正确答案：C

解析：由入1=一1,入2=0,X3=1得|A|=0,贝ljr(A)贝ij|4A*+3E|二.

正确答案：A*的特征值为4A*+3E的特征值为5,1,2,于是

|4A*+3E|=10.涉及知识点：线性代数

6.设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值入0,则(A*)2+3A*+2E有特征值

正确答案：因为A可逆，所以入OWO,A*对应的特征值为于是(A*)2+3A*+2E

对应的特征值为涉及知识点：线性代数

7.已知有三个线性无关的特征向量，则a=.

正确答案：由得入1=1,入2=人3=2,因为A可对角化，所以r(2E

一A)=l,由得a=-10.涉及知识点：线性代数

8.设A为三阶实对称矩阵，且为A的不同特征值对应的特征向量，则

a=.

正确答案：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+3

一6a=0,a=3.涉及知识点：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.求矩阵的特征值与特征向量.

正确答案：由|入E—A=(X-1)2(X-4)一0得入1二人2=1,入3=4.当

入=1时，由(E—A)X=O得属于特征值人=1的线性无关的特征向量为全部特征向

量为klQl+k2al(kl,k2不同时为0)；当入=4时，由(4E—A)X=0得属于

特征值X=4的线性无关的特征向量为全部特征向量为ka3(k#0).涉及

知识点：线性代数

设为A的特征向量.

10.求a,b及A的所有特征值与特征向量.

正确答案：由A。二入a得即解得a=l,b=1,人=3.由得入1=(),

入2=2,入3=3.涉及知识点：线性代数

11.A可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.

正确答案：因为A的特征值都是单值，所以A可相似对角化.将X1=0

代入(XE—A)X=0得入1=0对应的线性无关特征向量为将X2=2代入(入E—

A)X=()得X2=2对应的线性无关特征向量为将入3=3代入(入E—A)X=()得人

3=3对应的线性无关特征向量为涉及知识点：线性代数

12.设求A的特征值，并证明A不可以对角化.

正确答案：由得人二2(三重)，因为r(2E-A)=l,所以入=2只有两个线性无

关的特征向量，故A不可以对角化.涉及知识点：线性代数

13.设已知A有三个线性无关的特征向量，且入=2为矩阵A的二重特征

值，求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.

正确答案：由人1二入2=2及入1+入2+入3=tr（A）=10得入3=6.因为矩阵

A有三个线性无关的特征向量，所以r（2E-A）=l,由得a=2,b=-2.将

X1=X2=2代入（XE—A）X=0,由得X1=X2=2对应的线性无关的特征向量

为将入3=6代入（入E—A）X=O,由得入3=6对应的线性无关

的特征向量为令则P可逆且涉及知识点：线性代数

14.设ATA=E,证明：A的实特征值的绝对值为

正确答案：设AX=XX,则XTAT=XXT,从而有XTATAX=XXTAX=X

2XTX,因为ATA=E,所以（入2—l）XTX=0,而XTX=X|2W0,所以入2=1,

于是I入1=1.涉及知识点：线性代数

设入为A的特征值.

15.证明：AT与A特征值相等；

正确答案：因为|入E—AT|=|（入E—A）T|=|入E-A|,所以AT与A的特征值相

等.涉及知识点：线性代数

16.求A2,A2+2A+3E的特征值；

正确答案：因为Aa=X0a(a工0),所以A2a=X0Aa=X02a,

(A2+2A+3E)a=(X02+2X0+3)a,于是A2,A2+2A+3E的特征值分别为人

02,X02+2X0+3.涉及知识点：线性代数

17.若|A|W（）,求A-l,A*,E—A-7的特征值.

正确答案：因为|A|二人1入2…入n#0,所以入0W0,由AQ二入0Q得由

A*Aa=|A|Q得于是A-1,A*,E—A-1的特征值分别为涉及知识点:

线性代数

18.设XI,X2分别为A的属于不同特征值入1,入2的特征向量.证明：

X1+X2不是A的特征向量.

正确答案：反证法不妨设X1+X2是A的属于特征值人的特征向量，则

有A（X1+X2）—入（X1+X2）,因为AX1二入1X1,AX2二入2X2,所以（入1

X）X1+（X2-X）X2=0,而XI,X2线性无关，于是入厂入2二人，矛盾，故

XI+X2不是A的特征向量.涉及知识点：线性代数

19.求A的全部特征值，并证明A可以对角化.

正确答案：令QTB二k,则A2=kA,设AX二入X,则A2X=入2X=kAX,

KPX(X—k)X=O,因为XWO,所以矩阵A的特征值为入=0或人=k.由

入1+…+入户tr(A)且tr(A尸k得入1二…二入n-l=O,Xn=k.因为r(A)=l,所以

方程组(OE—A)X=O的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，B|J人二0有

个线性无关的特征向量，故A可以对角化.涉及知识点：线性代数

设向量a=(al,a2,…，an)T,其中alWO,A=caT.

20.求方程组AX=O的通解；

正确答案：因为r(A)=l,所以AX=O的基础解系含有n—1个线性无关的特

征向量，其基础解系为则方程组AX=O的通解为kla1+k2a2+…+kn-l

an-l(kl,k2,…，kn.l为任意常数).涉及知识点：线性代数

21.求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量.

正确答案：因为A2二kA,其中所以A的非零特征值为k,因为A。二a

aTa=ka,所以非零特征值k对应的线性无关的特征向量为Q.涉及

知识点：线性代数

22.13：A=aaT,求|6E—An|.

正确答案：方法一由得|6E—An|=62(6—2n).方法二A=aaT,

由|入E一A|=入2(入一2)=0得入1=入2=0,入3=2,因为6E—An的特征值为

6,6,6一2n,所以|6E—An|=62(6—2n).方法三因为A是实对称矩阵且

Xl=X2=0,入3=2,所以存在可逆阵P,使得An〜P-lAnP,则|6E

An|=l6E—P-1AnP|=62(6—2n).涉及知识点：线性代数

23.设A为三阶矩阵，A的特征值为入1=1,入2=2,入3=3,其对应的线

性无关的特征向量分别向量求AnB.

正确答案：方法一方法二令B=xl；l+x2g2+x3g3,解得

xl=2,x=2—2,x3=l,则涉及知识点：线性代数

24.设A是n阶矩阵，入是A的特征值，其对应的特征向量为X,证明：

人2是A2的特征值，X为特征向量.若X2有特征值X,其对应的特征向量为X,

X是否一定为A的特征向量?说明理由.

正确答案：由AX=入X得A2X=A(AX)=A(入X)=入AX=入2X可知入2是A2

的特征值，X为特征向量.若A2X二入X,其中A