考研数学二（解答题）模拟试卷87

考研数学二（解答题）模拟试卷87

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

lima,,

_

1、设ai=l,<12=2,3an+24an-iIan=0,n=1,2,...»求”■*”.

标准答案：由3an+2—4an+i+an=0,得3(an+2—an+i)=an+i—an(n=1,2,...).令

1

bn—3n+1—3n>则bn+1/bn~1/3(n—1,2,...),illb|-1»得bn=3(n—1,

a2-ai=1，

1

I-2=•1'

*

13/1\

2,…)，即3解得an=i+2'3/，所以

5

rlimu,=-T-.

Jf—84

知识点解析：暂无解析

lim（COST2）

2、…

标准答案：

[2

lim(cosjr2)Hwu-i-tMi=]im{[1+(COST2-1)那”")

而lim—7^--------r=lim!lim.

x-oxCsiru*-taar)Dz(siru—taar)ZDsirtr-tanr

jZ1.x2

-----：—=—T-limcoRr•-------；=1

1I2COSJT-I

1----------

COSJ-

知识点解析：暂无解析

3、在天平上重复迎一重为a的物品，假设各次称量结果相互独W/服从正态分

布N（a,0.22）,”表示n次称量结果的算术平均值，则为使P{IaI<

0.l}>0.95,n的最小值应不小于多少？

标准答案：由已知条件

£（元）=Q,D（三）=里无服从N（Q,手）,

由独立同分布中心极限定理

PI|无句<0」川湍后悬^册+20件》0.075,

即亨才1.96,〃N15.36,故。的最小值为16.

知识点解析：暂无解析

4、设A是n阶实反对称矩阵，x,y是实n维列向量，满足Ax=y,证明x与y正

交.

标准答案：因为人丁二一A,Ax=y,所以(x,y)=xTAx=(ATX)TX=(—Ax)Tx=(—y,

X）,得（x,y）=0.

知识点解析：暂无解析

flU-fl+012^2+…+ai・2・Z2・=0

021+022工2++.2.21/2,=0

(I)

la”i.J-Q2+…+°・,2■工2“=°的—•个基础解

5、己知线性方程组

T

系为：(b]|,bi2，...»bl.2n)»(b21»b22，…，b2,2n)T，…，(bnl，bn2，…，bn.

仇I"+6121yz++仇.=0

621yl-Hbyz-\----1-^.JZ,=0

(fl)〈u22B

2n）T.试写出线性方程组【仇+…+鼠2・»2・=0的通解,

并说明理由.

标准答案：记方程组（I）、（II）的系数矩阵分别为A、B,则可以看出题给的（I）的

基础解系中的n个向量就是的n个行向量的转置向量.因此，由（I）的基础解系可

知ABr=O转置即得BAT=0因此可知A,，的n个列向量——即A的n个行向量的

转置向量都是方程组（I）的解向量.由于B的秩为n（B的行向量组线性无关），故

（U）的解空间的维数为2nr（B）=2nn=n,所以（II）的任何n个线性无关的修就

是（n）的一个基础解系.已知（I）的基础解系含n个向量，即2n—r（A）=n,故r（A）

=n,于是可知A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（口）的一个基

础解系，因此（口）的通解为y=C]（au，a[2，...，ai,2n）T+c2（a21，a22，…，a2.2n）T

+…+Cn（an],3n2»…,^n,2n）其中C|>C2>…，Cn为任意吊数.

知识点解析：暂无解析

6、求功：(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1,现将球从水

中取出，问要做多少功。(口)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的

水全部取尽需做多少功。

标准答案：(I)以球心为原点，5c轴垂直向上，建立坐标系(如图

3.5).v取下半球中的微元薄片，即v取小区间

[%，],0],相应的球体小薄片，其重量(即体积)为，n(l-%2)dx，在水

中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+不，故需做功d⑼

=(1+劝兀(1—%)2(1%.因比，对下半球做的功O)1=L|°兀(1+%)(1—/)故.V取上半

球中的微元薄片，即V取小区间以，x+dx]C|0,I],相应的小薄片，其重量为，

兀(1一劝2d戈，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1.所受力为重力，故需做功

(132=兀(1一£)蚁.因此，对上半球做的功S2=Jo，(l—疥故.于是，对整个球做

的功为W=O)1+(02—1+%)(1—1—x2)dx=J，兀(1-£)dX+L°碌(1

=27r

4113

、=-TT--丁宣=—1T・

2

-X)dZ3412(口)建立坐标系如图3.6.取％

为积分变量，R|.V[%,/+d%]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为兀(R?

—X2)dXj又比重p=l，于是把这层水抽出需做功d(o=软(R?-£)d%.因此，所求

.,、伽,长一0二心

的功0=6’砍(e一/)泣=兀124/4

知识点解析：暂无解析

7、设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f⑴=0,证明:存在砥0,1),使

得PR)si优+f(4)cos《=0.

标准答案:令(p(%)=f(x)sin%,(p(0)=(p(l)=0,由罗尔定理,存在年(0,1),使得

8(9=0,而(pz(X)=f(X)sin%+f(%)cosv,故「(排哨+解)cos1=0.

知识点解析：暂无解析

22

8、设n元实二次型f(xi，…，xn)=(xi+aiX2)+(X2+a2X3)+...+(xn—i+an-

22

ixn)+(xn+anxi),其中ai，…，an均为实数。试问：当ai,…，an满足何种条件

时，二次型f是正定的。

标准答案：依题意知，对任意的XI，…，Xn，均有色0，易知当且仅当下列齐次线

+a,x2=0,

X

X2+«23=0,

力”-l+an-lx»-°，

ax,+x

性方程组只有零解时，二次型是正定的。"-=°'而当旦仅当系数矩

阵的行列式非零时，此齐次线性方程组只有零解，即

000

000

00100按第।列

+(-1广&…Q.限°,

陵开

0001

00

0所以，当a1…an#—

»时，二次型f为正定二次型。

知识点解析•：暂无解析

记T122232n

cos^xsinnxdx=nJ,其中n为

9、证明0

自然数.

标准答案:

n2f'ncos^'xsinxcosaxdx

“W部积分…-—cosxcosnX

nonJo

V

1T

cos"-xsinxcosnxdx.

0

利用被积函数的结合性，原式改写成，1=,°cosn"%cos%sirm%d%,两式相加得

TnJ

2,=cosn~x(cosxsinnx-sinxcosnx)dz

"70

cosn'Ixsin(n-1)xdx=—

n现得递推公式2In=〃+ln.

2“T

nn，

1，2In=n+2-In.|.令Jn=2%,得Jn=九+Jn-1，由此进一步得

知识点解析：暂无解析

10、设3阶实对称矩阵A的特征值猫=1,入2=2,入3=-2,ai=(l,—1,1)丁是A

的属于特征值Q的一个特征向量，记B=A5—4A3隹，其中E为3阶单位矩

阵.(1)验证四是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(2)求矩

阵B.

标准答案：(I)由Aai=ai得A2(X]=Aai=a],依次递推，则有人3⑴=013，A5ai=ai，故

Baj=(A5-4A3+E)ai=A5ai-4A3ai+ai=-2ai,即aj是矩阵B的属于特征值一2的

特征向量.由关系式B=A5-4A3+E及A的3个特征值左二1,九2=2,九3=2得B的3

个特征值为用=2,卬=1,汨=1.设。2,。3为B的属于阳=冉=1的两个线性无关

的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此为与a2、a3正交，即

TT

aia2=0,aia3=0.因此a2,(13可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，

即

X,=0.

r-r

得其基础解系为：1.0,故可取，

即8的全部特征值的特征向髓为人1o，其中匕於0.4,人不同时为零.

.।」I。」1

知识点解析：暂无解析

rAC-

11、设Dnlc18」为正定矩阵，其,—▲■—Im阶，n阶对称矩阵，C为

匕■AL

.O£..

mxn矩阵.（1）计算MDP,其中P=,（Ek为k阶单位矩阵）；（2）利

用⑴的结果判断矩阵B-CTA"C是否为正定矩阵，并证明你的结论.

■A0[

标准答案：（l）p「DP=LoB-CA^cl；（2）矩阵B—C「AC是正定矩阵.证明：由

⑴知D合同于矩阵又D为正定矩阵，所以M为正定矩

阵.因M为对称矩阵，故B—CTA"C为对称矩阵.由M正定，知对m维零向量为

=（0,0,…，0）「及任意的n维非零向量y=（yi，义，…，yn）’，有

卬炉味工网：5一黑』；]

TT,

=j（B-C4-C）jr>0故对称矩阵B=C「A"C为正定

矩阵.

知识点解析：暂无解析

12、设5（%）=%呜（£+0出，求（/（%）,其中a>0,b>0.

Cx-

标准答案:<P(X)=Jabln(x-l-t)d(x-l-t)=J，Indu,<pf(X)=2%ln(£+b)—2如(1/+a)=

x2+b

2%ln（%2+a）=2/1n1a

知识点解析：暂无解析

13、利用代换y=c°s*将方程ycosx一2ysinx+3ycosx=©x化简，并求出原方程的

通解。

标准答案：由y=CO^URSCCX,Wy=pisccx+psccxtanx,

y=口secx+2psecxtanx4-p（secxtan-x+secx）,代入原方程ycosx一

2ysinx+3ycosx=ex,得n+4p=eXo（*）先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方

程为好+4=0,则特征方程的根为入=±2i。所以通解为U（”）=Cicos2x+C2sin2x（Ci，

C2为任意常数）。再求非齐次方程的特解。设其特解为「（X）=Aex,代入（*）式，得

,,因此〃•（4）=4-

xxxxxxx

（Ae）+4Ae=Ae+4Ae=5Ae=e,解得55eo故（*）的通解为

1

p(x)=Cicos2x+C2sin2x+ex(Ci,C2为任意常数)。所以，原微分方程的通解为y二

C=.-c-o-s-2-r+.2rc2-sg+.-e-*--

cosx5cosxo

知识点解析：暂无解析

14、n维向量a=(a,0,…，0,a)T,a<0,A=E-aaT»A"=E+a/aa【，求a.

标准答案：(E-aaT)(E+a/aaT)=EE+a_1aaT-aaT-a-1aaTaaT=Ea-1aaT-aaT-a-

'aaTaaT=0,(aTa=2a2)(a-l-l-2a)aaT=0,a"-l-2a=0，(因为口/不是零矩阵.)1-a-

2a2=0,a=-l.

知识点解析：暂无解析

15^设a”az，…，an是互不相同的实数,且

求线性方程组

AX=b的解.

标准答案：因⑴，a2,…，an互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|/0,根据克

工,=图，1=1,2,・・・，〃,

拉默法则，方程组AX二b有唯一解，且其中Ai是b

代换A中第i列所得矩阵，则|A||二|A|,|Ai|=0,i=2,3,…，n.故AX=b的唯一

解为X=[l,0,0,0]T.

知识点解析：暂无解析

设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为Si，它们与直线x=l所围成的图

形面积为S2，且a<l.

16、确定a,使S1+S2达到最小，并求出最小值；

标准答案：直线产ax与抛物线丫=乂丫的交点为(0,0),(a,a2).SOl+S2=foa(ax-

13_a..1

223

x)dx+Ja'(x-ax)dx=23令

3=/-}=0得a=%,因为S*(*)=&>0,所以a.时

S1+S2取到最小值,此

时最小值为3"2)•当agO时，S=fa°(ax-x2)dx+f()1(x2-ax)dx=6"2'3因为

5'--4(u2H1)<0

2,所以S(a)单调减少，故a=0时S1+S2取最小值，而

s⑹7,因为s©)=Tv行所以当51时SZ最小.

知识点解析：暂无解析

17、求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

标准答案：旋转体的体积为匕=/传力卜'一52乌

知识点解析：暂无解析

18、设A为n阶正定矩阵.证明：对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵.

标准答案：首先人丁二A,S^(PTAP)T