实数全章六类必考压轴题七年级数学下册举一反三（沪科版）

专题6.5实数全章六类必考压轴题

【沪科版】

必考点1N算术平方根的双重非负性

1.若有理数x,y满足y=斐%—3+'3—工+1,贝k+y的值是()

A.3B.±4C.4D.±2

【分析】根据算术平方根的非负性，计算得出％=3,从而得出y=l,然后把％、y的值相力口,

即可得出答案.

【详解】解：根据题意，可得：仁一31,

解得x=3,

•*«y=1，

:・x+y=3+l=4.

故选：C.

2.当x等于()时，—3——4—12有最()值.

A.2,小B.2,大C.±2,小D.±2,大

【分析】根据算术平方根的非负性得到-3-7^中W-3即可得到答案.

【详解】解：・・・WT三20,

—V4—x2<0，

A-3-<-3,

，当4一32=0,即％=±2时，-3-，4一七有最大值,

故选D.

3.在实数范围内，代数式盯一(％+5)2-2|-3|的值为()

A.1B.2

C.3D.以上答案都不对

【分析】根据算术平方根的非负性，化简绝对值即可求解.

【详解】解：由二次根式被开方数大于等于0可知：-。+5)2=0,

・••原式=||0-2|-3|=|2-3|=|-1|=1.

故选:A.

4.已知〃、b、。满足da+)-4+|Q-C+2|='b-c”c-b,则a+b+c的平方根为

【分析［利用非负数的性质求出a，b,c的值，根据开平方，可得答案.

【详解】解：由题意得，b-cNO且c—bNO,

:.b>c且c>b,

:.b=c.

/.Va+b—4+\a—c+2\=\jb—c+7c-b=0,

,,,_Aa+b=4

由非负数的性质，得fa+b=t，即Q—C=—2,

⑦一c=-2,

b=c

(a=1

解得［b=3>

(c=3

a+b+c=7,

，Q+b+c的平方根是土、厅.

故答案为：土夕

5.若|2022-a|+Va-2025=a,则a-20212的值为

【分析】根据算术平方根的非负性求得a的范围，进而化简绝对值，根据算术平方根的意义

即可求解.

【详解】解：V|2021-a\+Va-2025=a,a-2025>0,即aN2025,

/.12021-a|=a-2021,

:.a—2021+Va—2025=a,

BPVa-2025=2021,

/.a-2025=202",

Aa-20212=2025,

故答案为：2025.

6.若>^7力+匹-12|=0,求同的平方根是.

【分析】根据非负数的性质列出方程求出“、y的值，代入所求代数式计算即可.

【详解】解：根据题意得：2x-6=0,y-12=0,

解得：x=3,y=12,

:.yfxy=>J3x12=V36=6,

信的平方根是土灰.

故答案为：士布

7.已知实数〃、b、。满足-4+|a+1|=\!b-c+&-b

(I)求证：b=c；

(2)求一a+b+c的平方根.

【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；

(2)根据(I)的结论，以及非负数之和为()，求得Q,4c的值，进而求得—Q+b+c的平方

根.

【详解】（1）证明：*.*y/b-c>0,>!c—b>0,b-c>0,c-b>0,

b=c；

（2）解：,:7b—4+|a+1|=7b—c+Vc-b,b=c,

y/b-4+|a-1|=0,

•••a=-l,b=4,

c=b=4,

•••一Q+6+C=l+4+4=9,

9的平方根是±3.

必考点2q无理数的估算

1.已知43?=1849,442=1936,45?=2025,462=2116.若n为整数且n<V2021<n+1,

则n的值为（）

A.43B.44C.45D.46

【分析】由题意可直接进行求解.

【详解】解:V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

A442<2021<452,

A44<V2021<45,

.*.n=44；

故选B.

2.若无理数%=q+75,则估订无理数x的范围正确的是（）

A.2Vxe3B.3<x<4C.4cxe5D.5<x<6

【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大）解决此题.

【详解】解：xvsvg

••-y/4<y/5<y/9

.-.2<V5<3

•••V?+2<V?+后vV5+眄

•.,"=2

.,•4<2+V5<5

vx=V4+x^5

••.4<x<5

故选：C.

3.已知〃?是整数，当d而|取最小值时，〃?的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】根据绝对值是非负数，所以不考虑机为整数，则m取最小值是0,又0的绝

对值为0，令m-"5=0,得出m=/而，再根据〃?是整数，找出最接近V55的整数可得:

m=6.

【详解】解：因为|m-同|取最小值，

•••\m-V40|=0»

:.m—V40=0,

解得；加=同，

vm*2=40,

6<m<7,且m更接近6,

.•.当m=6时,\m-有最小值.

故选：B.

4.3表示不大于x的最大整数，如[3.15]=3,[-2.7]=・3,[4]=4,则

[6②+[>/7右]+…+W2021X2022]的值为,）

A.1011B.2021C.2022D.1012

【分析】根据㈤表示不大于x的最大整数可得至=1,[V2V3]=2,|V3V4]=3,...,

[V2021x2022]=2021,然后计算即可.

【详解】解：V[^/TX2]=1,[VTX3]=2,[V3V4]=3,…，[V2021x2022]=2021,

.+…+[12021X2022]

•.lOM

1+2+3+-+2021

二1011

2头（1+2021）x2021

1011

=2021

故选：B.

5.对于实数a,我们规定，用符号[份]表示不大于6的最大整数，称[a]为a的根整数，例

如：[西]=3,[x/10]=3.我们可•以对一个数连续求根整数，如对5连续两次求根整数：卜同=

2T[@=1.若对％连续求两次根整数后的结果为1,则满足条件的整数》的最大值为（）

A.5B.10C.15D.16

【分析】对各选项中的数分别连续求根整数即可判断得出答案.

【详解】解：当x=5时，[网=2—[&]=1,满足条件；

当x=10时，[VI可=3-[遮]=1,满足条件；

当x=15时，[“可=3-[遮]=1,满足条件；

当x=16时，[A/T同=4—[V5]=2,不满足条件；

••・满足条件的整数工的最大值为15,

故答案为：C.

6.我们在初中已经学会了估算近的值，现在用乐表示跖离返最近的正整数.（〃为正整数）

比如：%表示距离VI最近的正整数，邪的=1；Q2表示距离遮最近的正整数，.・・。2=1；%

表示距离逐最近的正整数，・・・。3=2……利用这些发现得到以下结论：

①。6=2；②即=2时，”的值有3个；③—。2+。3--+。9—。10=0；④止+*+…

+—=20；⑤当三+工+…+工=100时，〃的值为2550.

fl100ala2an

五个结论中正确的结论有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【分析】①根据%表示距离连最近的正整数，进行判断；②根据册=2,确定〃的值；③分

别求出进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进

行计算即可；⑤根据规律进行倒推，即可得解.

【详解】解：①。6表示距离乃最近的正整数，

.*.a6=2；故①正确；

②的=2时，n=3,4,5,6,

・•.〃的值有4个；故②错误；

==

^3）.Q]—1,Q?=1,2,Q4=2,2,Q6=2,CLy=3,CLQ=3,Q9=3,Q]0=3,

.*.1—1+2--+3-3=0；故③正确；

=

（5）•CZ[—1,a21,。3=2,CI4=2,。5=2,。6=2,。7=3,CLQ—3,CI9=3,Cljo=3,

工2个1,4个2,6个3,8个4,...»

/.—+—+,,,H---=1x2+4x^+6x^+8x-+<»*+18x^4-10x-^-=19；故④错

。100234910

误；

@^-+—+­­•+—=100=50x2=2x1+4x-+6x-+­­•+100x―,

%a2an2350

An=2+4+6+-+100=x50=2550；故⑤正确；

综上：正确的是①③共3个：

故选B.

7.若整数x满足3十遍Sx二房十2,则入的值是.

【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数很和体的大小，进而得出3+归和

很+2的大小即可.

【详解】解：•.•43=64,53=125,而64V65Vl25,

/.4<V65<5,

7<3+V65<8,

又：•••82=64,92=81,而64V65V81,

8<V65<9,

10<x/65+2<11,

又•,•整数％满足3+V65<x<V65+2,

：,x=8或％=9或%=10,

故答案为：8或9或10.

8.对于任何实数小可用⑷表示不超过〃的最大整数，$n[4]=4,[V3]=1.现对72进行

如下操作：72第一次N元]=8次二次[遮]=2第三次[夜]=1,类似地，只需进行3次操

作后变为1的所有正整数中，最大的是.

【分析】根据规律可知，最后的取整是1,得出前面的一个数字最大的是3,再向前一步推取

整式3的最大数为15,继续回得到取整是15的最大数为225：反之验证得出答案即可.

【详解】解：v[V3]=1,[>/15]=3,[V225]=15；

所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是225

故答案为:225

必考点3N探究平方根和立方根的规律O

1.如卜.表，被开方数。和它的算术平方根G的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律

可得〃?，n的值分别为（）

a0.06250.6256.2562.5625625062500625000

0.250.791mn2579.1250791

A.m=0.025,n»7.91B.m=2.5»n«7.91C.m«7.91,n=2.5D.m=2.5,

n«0.791

【分析1根据算术平方根的定义解决此题.

【详解】解：由题意得：从00625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10

倍，

从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，

・•.可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91,

故选B.

2.观察被开方数。的小数点与立方根正的小数点的移动规律，填空：

a0.00111000IC00000

0.1110100

已知泥«1.817,贝x.

【分析】根据题中所给规律可.直接进行求解.

【详解】解：由题意得：

VV6«1.817,

/.V6000«18.17；

故答案为18.17.

3.我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如四等，有些数则不能直接求得，如巧,

但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观

察下表：

a•••0.04440040000•••

8

•••X2yz•••

(I)表格中的三个值分别为：x=；y=；z=；

(2)用公式表示这一规律：当4=4x100〃(〃为整数)时，；

(3)利用这•规律，解决下面的问题：

已知75^^2.358,则G/0.0556P：@V55600^.

【分析】(1)直接利用算术平方根定义计算填表即可：

(2)归纳总结得到一般性规律，然后求出G的值即可；

(3)利用(2)得出的规律即可解答.

【详解】(1)解：根据算术平方根定义可得：x=0.2；y=20；z=200.

故答案为0.2；20；200.

(2)解：当Q=4xl(H)n(〃为整数)时，赤=2x10。

故答案为2x10、

(3)解：若遥获42.358,则①40.055670.2358；②石筋而4235.8.

故答案为：0.2358；235.8.

4.为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并

将结果填在了下表中.

⑴请你帮助闫老师将表格内容补充完整；

表1.

第1组第2组第3组第4组第S组第6组第7组

.......A/0.01VolVIV107100VToooTioooo.......

.......0.10.316—3.16—31.6—.......

(2)请你仿照表1中的规律，将表2补充完整.

表2.

第1组第2组第3组第4组第5组第6组

.......10.03V03V3V30V300》3000.......

.......0.17320.5477—5.477——.......

⑶通过表1和表2,你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现.

（提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，

再观察第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果）.

【分析】（1）根据表中的数据，可以发现数字规律，即可求得答案

（2）观察第1组、第3组、第5组中的被开方数和结果以及第2组、第4组、第6组中的被

开方数和结果，可得出答案

（3）根据（1）（2）中发现的规律解答即可

【详解】（1）解：根据题意，得=1,4155=10,4^55=100.

故答案为:1；10；100.

（2）解：已知V5诟=0.1732,

V3=1.732,7^=17.22.

•.•已知同=5.477,

•••V3000=54.77.

故答案为:1.732；17.32；54.77.

（3）解:通过观察表1和表2可发现，被开方数的小数点向左或向右移动2几位，算数平方根

的小数点就随之向左或向右移动n位.

5.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如的，有些数则不能直接求得，妇V5,

但可以通过计算器求.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们

观察下表：

n160.16().001616001600(M)・・・

瓜4X0.04y400・・.

（1）表格中x=；y=：

（2）从表格中探究〃与近数位的规律，并利用这个规律解决卜.面两个问题：

①已知VZU^l.435,则V20600P:

②已知，3.3489=1.83,若收=0.183,贝ijx=.

【分析】（1）把n=0.16代入求解即可；把n=1600代入y=＞万求解即可：

（2）①根据被开方数小数点向右移动了4位，则算术平方根小数点向右移动两位求解;

②根据算术平方根小数点向左移动I位；则被开方数小数点向左移动了2位求解.

【详解】（1）解：当n=0.16时，x=Vn=V0.16=0.4,

当n=1006时，x=Vn=Vl600=40,

故答案为：0.4,40；

(2)解：①已知丽学.435,则V20600K43.5：

故答案为：143.5；

②已知/3.3489=1.83,若正=0.183,则x=0.03489.

故答案为：0.03489.

6.【初步感知】

(1)直接写出计算结果.

©'/P=:

②也3+23=:

③3+23+33=;

④V13+24+33+43=；

【深入探究】观察下列等式.

©14-2=

②1+2+3="警：

③1+2+3+4=

④1+2+3+4+5=

根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容.

_(1+zuzz)x/uzz

')-------------2，

(3)1+2+3+…+几+5+1)=,

【拓展应用】计算：

(4)43+23+33+…+993+1003.

(5)113+123+133+…+193+203.

【分析】(1)直接计算即可；

(2)根据前4个式子的规律填空即可：

(3)根据规律可得1+2+3+,,•+〃+(〃+1)=(n+D("+2)；

2

(4)根据(1)的计算可得原式=1+2+3+…+100；

(5)根据规律可得原式二(13+234-33+-H-193+203)-(P+?+S^-H-^+lO3),再根据规律计算

即可.

【详解】(1)解：@VP=I；

②41.3+23=3；

③，13+23+33=6：

④“3+24+33+43=10；

故答案为：①1②3③6@10

(2)解：由规律可得：1+2+3+...+2022=把空等*,

故答案为：1+2+3+...+2022；

(3)解：1+2+3+・­〃+(〃+1)=(〃+ign+2).

故答案为：吗，2)；

(4)解:原式=1+2+3+...+100=咄"1"=5050；

2

(5)解:原式=(13+23+33+-+193+203)-(13+23+33+--+93+103)

=(Vl3+23+-+203)2-(Vl3+23+...+103)2

=(1+2+...+20)2-(1+2+...+10)2

21X20?11X107

=(z-----)x*-(z-----)x/

22

=2102-552

=41075.

7.数学家华罗庚在•次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志.上有道智力题：求

59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙.你知道怎

样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试.

第一步：・・・yi丽=10,V1000000=100,且1OOOV59319V1000000

A10<V59319<100,即59319的立方根是一个两位数.

第二步：•・,59319的个位数字是9,而93=729.

:,能确定短两百的个位数字是9.

第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59,而27V59V64.

/.V27<V59<V64,可得30VV59319<40.

.••59319的立方根的十位数字是3.

A59319的立方根是39.

根据上面的材料解答下面的问题：

(1)填空：1728的立方根是一个位数，其个位数字是；

(2)仿照上面的方法求157464的立方根小并验证a是157464的立方根.

【分析】(I)根据上面的材料所给的方法确定1728的立方根的位数及个位数字即可.

(2)仿照上面材料所给的方法先确定。的位数，再确定个位数字，再确定十位数字即可求出

。的值.

【详解】(1)解：vV1000=10,V1000000=100,且1000VI728VI000000

.,.10<V1728<100,即1728的立方根是一个两位数.

V1728的个位数字是8,而23=8,

・•・能确定旧正的个位数字是2.

故答案为：两，2

（2）解：VV1000=10,V1000000=100,且1000VI57464VI000000

A10<V157464<100,即157464的立方根是一个两位数.

V157464的个位数字是4,而43=64,

,能确定V157464的个位数字是4.

如果划除157464后面的三位数，得到数157,而125V157V216.

/.V125<V157<V216,可得50<V157464<60.

:.157464的立方根的十位数字是5.

/.157464的立方根是54.

即〃二54

经过验证543=157464

8.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，4,有些数则不能直接求得，M5,

但可以通过计算器求.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们

观察下表：

n160.160.00161600160000•・•

40.40.0440400•・•

（I）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）

（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知上鱼林标1.435,求下列各数的算术平方根：

①迎.0206x；；

⑶根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知好x1.260,则倾而*.

【分析】（1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解；

（2）根据（I）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解：

（3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解.

【详解】（1）解：探究发现：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以的得到：被开

方数的小数点向左或向右移动2九位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动几位.

（2）解：@VVZO6«1.435

AV0.0206x0,1435

（2）VVZ06«1.435

・••尤丽«14.35；

故答案为：0.1435；14.35；

（3）解：*/V2«1.260

•••V2000«12.60,

故答案为：12.60.

必考点41利用“夹逼法"求整数部分和小数部分

1.对于任意实数X,X均能写成其整数部分印与小数部分（灯的和，其中团称为"的整数部分，

表示不超过无的最大整数，{无}称为％的小数部分，即％=[制+{灯上匕如1.7=[1.7]+{1.7}二

1+0.7,[1.7]=1,{1.7}=0.7,-1.7=[-1.7]+{-1.7）=-2+0.3,[-1.7]=-2,{-1.7）=

0.3,则下列结论正确的有（）

①{一3②04{%}v1；③若{%-2}=0.3,则为=2.3；④{行+{y}=[x+y]+1对一

切实数x、y均成立；⑤方程"}+{》=1无解.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据x=[%]+{%}，{灯称为X的小数部分依次判断即可.

【详解】解：①、•・•{%}称为％的小数部分，{一§=1一：二全故①正确；

②、•・•{%}称为％的小数部分，・・・04{灯VI,故②止确;

③由题中条件可知{—1.7}=0.3,即当工=0.3时・，{0.3-2]={-1.7]=0.3,答案不唯一，

故③错误；

④、当％=1.3,y=0.3时，[x]+{y}=0.3+0.3=0.6,{x+y}4-1={1.6}+1=1.6,即㈤+

{y}H{x+y}+1,故④错误；

⑤、当x=2+g时，{%}+{3=1,方程有解，故⑤错误

综上，正确的有①和②，

故选：A.

2.我们知道国是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写

出来，但是由于1<百<2,所以目的整数部分为1,小数部分为V5-1.根据以上的内容,

解答下面的问题：若近的小数部分为Q,后的整数部分为从贝IJa+b-夕的值是.

【分析】先求出近的整数部分，进而得出小数部分，即"的值，再通过计算得出面的整数

部分，最后代入计算即可.

【详解】解：V2<V7<3,

工夕的整数部分为2,

•••小数部分为夕一2,

即a=V7—2,

V5<V26<6,

•••班的整数部分为5,

：,b=5,

/.a+b-V7=V7-2+5-V7=3,

故答案为：3.

3.观察：因为"〈遮〈眄，即2c花<3,所以花的整数部分为2,小数部分为花一2.

请你观察上述规律后解决下面的问题：

(1)规定用符号[7词表示实数m的整数部分，例如:[|]=0,[时=2.按此规定，那么[同+1]

的值为.

(2)若，TT的整数部分为用小数部分为b,©=E,求C(Q-匕-6)+12的值.

【分析】(1)根据二次根式大小的估算方法，估算和+1的范围，即可求出答案：

(2)根据题意分别写出力的值，然后带入代数式求值即可；

【详解】(1)解：9<10<16

A3<710<4,

A4<A/10+1<5

故答案为：4：

(2)解：V9<11<16

A3<g<4

/.[V1T]=3

Aa=3,b=VTl-3

v|c|=VTT

:.c-+VTT

当c=g时，c(a-b-6)+12=Vli(3-g+3-6)+12=-11+12=1

当c=一VTT时，C(Q-b-6)+12=-VTT(3-VTl+3-6)+12=11+12=23

综上所述：c(a-b-6)+12的值为：1或23.

4.如图，每个小正方形的边长均为1.

(I)图中阴影部分的面积是______;阴影部分正方形的边长Q是.

(2)估计边长a的值在两个相邻整数与之间.

(3)我们知道"是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此兀的小数部分我们不可能全部写

出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用(加-3)表示它的小数部分.设边长a的整数部

分为“，小数部分为y,求(％y)的相反数.

【分析】(1)阴影部分的面积=总面积-4个直角三角形的面积，再根据正方形的面积公式以

及算术平方根的定义可得躬影部分正方形的边长；

(2)根据无理数的估算方法解答即可；

(3)结合(2)的结论解答即可.

【详解】⑴解：图中阴影部分的面积是：5x5-4x；x2x3=25-12=13；

阴影部分正方形的边长a是旧，

故答案为：13：713；

(2)v9<13<16,

3<V13<4；

故答案为：3；4：

(3)v3<^13<4：

•••a的整数部分为％=3,小数部分为y=(V13-3),

•••x-y=3—(V13—3)=6—X^13,

•••(%一y)的相反数VI5-6.

5.阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负

实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：

①对于正实数，如实数9.23,在整数9~10之间，则整数部分为9,小数部分为9.23-9=0.23.

②对于负实数，如实数一9.23,在整数一10-一9之间，则整数部分为一10,小数部分为-9.23-

(-10)=0.77.

依照上面规定解决下面问题：

(I)已知近的整数部分为m小数部分为b,求a、8的值.

⑵若“、y分别是10-旧的整数部分与小数部分，求+西的值.

(3)设％=遥+1,。是%的小数部分，b是一%的小数部分，求(a+b)2的值.

【分析】(I)先估算行，继而求得a,b的值；

(2)先估算g,继而求得的值，代入代数式进行计算即可求解；

(3)先估算遍+1,一石-1的大小，然后根据题意写出的值，代入代数式即可求解.

【详解】(1)解：V2<V7<3,

.*,a=2,b=V7—2；

(2)解：V4<^<5,

.,.5<10-V17<6,

：.x=5,y=10-717-5=5-717,

：.x(y+/17)=5x(5-V17+717)=25；

(3)*/x=V5+1,a是X的小数部分，b是一刀的小数部分，

V2<V5<3,

.,.3<V5+1<4,

:.a=V5+1—3=V5—2»

*/2<V5<3,

A-3<-V5<-2,

A-4<一V5-1<-3,

.1•b=—\/5—1—(—4)=3—V5»

:.(a+b)2=(V5—2+3—V5)2=1.

6.先阅读下面材料，再解答问题：

材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积

为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若a+b标=0,其中。，“为有理数，而是

无理数，则Q=0,b=0.

证明：•；Q+b标=0,a为有理数

工匕布是有理数

•・“为有理数，标是无理数

/.b=0

a+Os/m=0

Aa=0

(1)若a+b6=3+V3,其中a、b为有理数，请猜想a=,b=,并根

据以上材料证明你的猜想；

⑵已知ar的整数部分为〃，小数部分为4且工，)，为有理数，工，)，，〃满足iiy+ai(y—

VTlx)=(b+2)A/T1+aVTl,求x,y的值.

【分析】(1)猜想有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，根据若。+〃而=0,其中

〃为有理数，标是无理数，则。=0,"0进行证明；

(2)估算无理数的大小，代入方程，化简即可得出答案.

【详解】(1)解：猜想a=3,b=l；

证明•・•〃十以后二3十四，其中〃、〃为有理数，

"3+(b-1)V3=0,

Aa-3+(b-l)V3=0,

•.z为有理数，

・・・。一3为有理数，

・•・(b-1)百是有理数，

又・・・力一1为有理数，V5是无理数，

/.b-1=0即b=1,

/.a—34-0V3=0»

.,.a-3=0即a=3,

/.a=3,b=1；

故答案为：3,1；

(2)解：V9<11<16,A3<V11<4,・・・a=3,b=VH-3,

代入得lly+VTT(y-TlTx)=(Vil-3+2)VTT+3«1,

lly+VTly-llx=11-V1T+3VTl,

整理得lly-llx-ll+(y-2)g=0,

rily-llx-ll=O解得俨=1

y-2=0，=2'

7.下面是小李同学探索M而的近似数的过程：

•••面积为107的正方形边长是d而，且

，设J而=10+x,其中0<工<1,画出如图示意图，

•.•图中S^-^=102+2X10-X+.?,S七力-107

/.102+2xl0-x+.?=107

当『较小时，省略/，得20工+100=107,得至ljxaO.35,即同7=10.35.

（1W元的整数部分是；

⑵仿照上述方法，探究彷的近似值.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

【分析】（1）估算限即可求解；

（2）仿照例题，画出示意图，标明数据，即可求解.

22

［详解［（1）v8<76<9A8<V76<9

故答案为：8

（2）•・•面积为76的正方形边长是风，且8〈风<9

•••设召=8+x,其中画出如图示意图,

8

;图中5正方彩=82+2*87+/,S正方日6

A82+2x8-x+.r2=76

当W较小时，省略x2,得16+64*76,得到x-0.75,即限r8.75.

必考点5N与实数运算相关的规律题

1.计算下列各式:

(1)(13+23=；

(2)Vl3+23+33=；

(3)Vl3+23+33+43=；

(4)Vl3+23+33+43+53=；

(5)(13+23+33+…+203=.

(6)猜想“3+23+33+...+兀3=.(用含n的代数式表示)

【分析】(1)利用立方运算及算术平方根运算即可；

(2)利用立方运算及算术平方根运算即可；

(3)利用立方运算及算术平方根运算即可；

(4)利用立方运算及算术平方根运算即可；

(5)利用立方运算及算术平方根运算即可；

(6)通过前五个计算可发现规律结果为专义.

【详解】解：(1)1洋+23=75=3,故答案为3；

(2)Vl3+23+33=V36=6,故答案为6；

(3)V13+23+33+43=<100=1(),故答案为1()；

(4)V13+234-33+43+53=V225=15,故答案为15；

(5)313+23+33+...+203=210,故答案为210；

(6)V13+234-33+-+n3=^y^,故答案为吟2

2.观察下列各等式及验证过程：

=验证bl=底==■；

Jl-Ji孱相之』;

Jew小

针对上述各式反映的规律，写出用〃(〃为正整数)表示的等式.

【分析】归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可.

【详解】解.：观察卜.列各等式及验证过程：

=验哇三=后=^^=呆

庭一》=非'验证标4=忌工=T&

战一>=忠，验证_A==幕・

用〃(〃为正整数)表示的等式为：&岛-+)=品就

验证等式左边=』扁诉'

(71+1)2-Jn(n+l)(n+2)

右边=

n+1-Jn(n+l)(n+2)

_1_I〃+1,

故答案为：R岛-+)n+1yjn(n+2)

3.观察下列等式，并回答问题:

0|1-V2|=V2-1；

®|V2-V5|=V3-y/2；

@|V3-V4|=V4->/3；

@|V4—V5|=V5-④;

(i)请写出第⑤个等式：，化简：|755-6|=；

⑵写出你猜想的第〃个等式：;(用含〃的式子表示)

(3)比较W二与I的大小.

【分析】(1)根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于而-6|=|任一碗可

以根据规律得到结果：

(2)由前4个等式可以猜想第〃个等式为I诉-V^TT|=而不！-VH；

(3)利用作差法比较大小.

【详解】(1)解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：|A/5-76|=V6-V5,

|V35-6|=|V35-V36|=>/36-V35=6-V35.

故答案为：=V6—花；6—V35.

（2）解：由前4个等式可以猜想第〃个等式为|乃-仍7不可=

故答案为：|近一“71+1|=+1一伤.

（3）解.：・.・华一1=旦一士=%=^^<0,

44444

・・.坦<1.

4

4.先观察下列等式，再回答问题：

①口1^1=1+;a=W；

②J+专+*=i+A击=G

③J+卷+《=i+：a=4・

⑴根据上而三个等式提供的信息，请你猜想小+»）一•

（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用〃的式子表示的等式：.

对任何实数。可⑷表示不超过。的最大整数，$ll[4]=4,[V3]=l,计算：J1+.+日+

J1+3+++J"专+3+…+J1+磊+点的值

【分析】（I）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；

（2）先总结规律可得11+^+-^-=1+--47=1+再利用规律进行计算即可•

■Jn2（n+1）2nn+1n（n+l）

【详解】⑴解：J1+四+2=1+;±=1，

（2）由题干信息归纳可得：

111111

1+---+1+--•-1+--

1224950.

11

49+——

50.

491

49—

50.

=49.

5.【观察】请你观察下列式子.

第1个等式：6=1.

第2个等式：V1+3=2.

第3个等式：71+3+5=3.

第4个等式：VI+3+54-7=4.

第5个等式：31+3+5+7+9=5.

【发现】根据你的阅读回答下列问题：

（1）写出第7个等式.

（2）请根据上面式子的规律填空；（1I3I5I…I（2”―1）-.

（3）利用（2）中结论计算：“4+12+20+28+…+44+52.

【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；

（2）所给+3+5+…+（2n+1）是〃+1个式子，根据规律即可得；

（3）根据得出的结论可知J4+12+20+28+36+44-52=

J4（l+3+5+7+8+9+11+13）,利用规律即可得，

【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13,

,第7个等式为：71+3+5+7+11+13=7,

故答案为：71+3+5+7+11+13=7：

（2）解：根据材料中给出的规律可知：+3+5+…+（2几+1）==n+1,

故答案为：n+1；

（3）解：根据（2）中的规律知，

、4+12+20+28+36+44+52=/4（1+3+5+7+8+9+11+13）=«x等

14.

6.已知一列数：Qi，Q2,Q3,。4,…册，满足对为一切正整数n都有

111,111.1,11

a=cr9"，a=+-，=a=cf，"=+-=+=cf，

vi2因逆2\i\z2（a2a3«外2JQ3a4

京+盍+/+高=点’意+意+总+意+…亢=品聿成立'且%=1.

⑴求电，。3的值；

（2）猜想第n个数（用n表示）；

（3）求阿互+4a2a3+Ja3a4+…+Ja2021a2022的值•

【分析】（1）根据所给公式进行求解即可；

（2）先计算出a,即可发现，册=G）2=*；

（3）先推出5斯•的+】=；-W据此求解即可.

【详解】（1）解：•・•%=1,三二：^,

、，石2Va?aI

.j__1

••五一漏'

••

・.•】I1=1

vWV访2Ja2a3

(2)解：*.*=o/

vaiva2Va32Ja3a4

/.Vaifl2+J。2a3+Ja3a4+…+Ja2021a2022

11111

=1------+------------+•••+--------------------------

22320212022

1

=1------

2022

_2021

"2022'

7.观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律:

(1)VIX5+4=V9=3,

(2)(2x6+4==4,

(3)V3X7+4=V25=5,

(4)(4x8+4=V36=6.

(1)观察算式规律，计算V5X9+4=719x234-4=

(2)用含正整数九的式子表示上述算式的规律：.

(3)计算：V1x5+4-V2x64-4+V3x7+4-V4x8+4+-+V2021x2025+4.

【分析】(I)从数字找规律，即可解答；

(2)从数字找规律，即可解答；

(3)从数字找规律，进行计算即可解答.

【详解】(1)V5x9+4=V49=7,V19X23+4=V441=21,

故答案为：7,21；

(2)解.：用含正整数九的式子表示上述算式的规律：571(71+4)+4=J(7l+2尸=n+2；

故答案为：yjn(n+4)+4=y/(n+2)2=n+2；

(3)解；(1x5+4-72x6+4+N/3x7+4-"x8十4十…十(2021k2025+4

=3-4+5-6+…+2023

=(-1)x1010+2023

=-1010+2023

=1013.

必考点6N与实数有关的应用O

I.如图①，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积

为2的大正方形.由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法.

图③图④

（1）图②中力、8两点表示的数分别为,；

（2）请你参照上面的方法：

把图③中5x1的长方形进行剪裁，并拼成一个大止方形.在图③中回出裁剪线，并在组④

的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长。=.（注：小正方形边长

都为1，拼接不重叠也无空隙）

【分析】（1）根据图①得出小正方形对角线长即可；

（2）根据长方形面积即可得出正方形面积，从而求出正方形边长；

【详解】解：（1）设边长为1的小正方形沿对角线长为x,由图①得：/=2,

・••对角线为%=V2,

图②中力、8两点表示的数分别一Via,

故答案为：-鱼，企，

（2）•.•长方形面积为5,

二正方形边长为花，如图所示：

图③图④

故答案为：V5.

2.如图1,有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形.

（1）拼成的正方形的面积是，边长是：

（2）仿照卜.面的做法，你能杷下面这十个小iF方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大旧方形

吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由.

图1图2

【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5,边长为5的算术平方

根；

（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10,边长为10的算术平方根，

在所给图形中截取两条长为4U的且互相垂直的线段，进而拼合即可.

【详解】（1）拼成的正方形的面积是：5,边长为：V5.

（2）如图所示，能，正方形的边长为VTU.

3.观察图形，每个小正方形的边长为1.

（I）则图中阴影部分的面积是,边长是.

⑵已知阴影正方形的边长为X,且QVX<b,若。和人是相邻的两个整数，那么Q=,

b=.

⑶若设图中阴影正方形的边长为x，请在下面的数轴上准确地作出数/所表示的点，若还有

一个点B与它的距离为1,则这个点B在数轴上所表示的数为.

1JI1」[I»

-1012