考研数学三（微积分）模拟试卷92

考研数学三(微积分)模拟试卷92

一、选择题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

/一

1、当x-1时，函数f(x)=4-1的极限()

A、等于2

B、等于0

C^为oo

D、不存在，但不为co

标准答案：D

lim4•二;I淌=lim(x+1)e==2-0=0,

lim------士=lim(%+1)e七=<x,

知识点解析：因为”-1・7・故当XT1

时，函数极限不存在，也不是8,应选D。

2、设f(x)=3x3+x?冈，则使f'M(0)存在的最高阶数n为()

A、0

B、1

C、2

D、3

标准答案：C

知识点解析•：由于3x3任意阶可导，本题实质上是考查分段函数冈在x=0处的最

J2?,x<0,

/(x)=

高阶导数的存在性。事实上，由4,，”三°，可看出，f(x)在x=0处的

二阶导数为零，三阶导数不存在，故选C。

3、设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内可导，则()

A、当f(A)f(b)<0,存在年(a,b),使f鱼)=0

lim

B、对任何3(a,b),有*一(任(x)—f(4)]=0

C、当f(a)=f(b)时，存在孝E(a,b),使？([)=0

D、存在年(n,b),使f(b)—f(A)=f(b—a)

标准答案：B

知识点解析：因只知fix)在闭区间［a,b］上有定义，而A、C、D三项均要求f

(x)在［a,b］上连续，故三个选项均不一定正确，故选B。

4、设f(x)=|x(1—x)I，则()

A、x=0是f(x)的极值点，且(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点

B、x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点

C、x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点

D、x=0不是f(x)的极值点，且(0,0)也不显曲线y=f(x)的拐点

标准答案：C

-x(1-x),-1<4W0,

/(*)=

%(1-%),0<x<1,

(一1+2xt-1<xCO,

广⑴11-2x

t0<x<1,

知识点解析：因为J2,0<Z<\t可见F(x)与F(x)均

在x=0两侧附近变号，即x=0是f(x)的极值点，(0,0)也是曲线y=f(x)的

拐点，故选C。

积分/=

(1+?)/TT7

(A)亨宣。(B)会。

(C)&。(D)72iro

5、6

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：这是无界函数的反常积分，x=±l为瑕点，与求定积分一样，作变量

替换x二sint,其中TV2,

/=f2-------------dt=2/a"2=>/2arctan(72tanr)'=

c”z

J-于(1+sin/)cosfJ01+2tanto2故选

Bo

6、考虑二元函数f(x,y)的四条性质：①f(x,y)在点(xo,y0)处连续，

②f(x,y)在点(xo，yo)处的两个偏导数连续，③f(x,y)在点(xo，yo)处

可微，④f(x,y)在点(xo，yo)处的两个偏导数存在。则有()

(A)②"③•①。(B)③①。

(C)加④=①。(D)③=①n④。

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：由于f(x,y)的两个偏导数连续是叮微的充分条件，而f(x,v)

可微是其连续的充分条，’牛，因此正确选项为A。

7、设Dk是圆域D={(x,y)*+丫2勺}位于第后象限的部分，记(y—x)

dxdy(k=l,2,3,4),则()

A、I|>1

B、I2>0

C、I.3>0

D、I4>0

标准答案：B

知识点解析：根据极坐标系下二重积分的计算可知

(sin。-cos0)r2dr

-cos^)d0=--r-(sin^+cos。)

°所以Ii=h=0,12=

2j_____

3'"3应该选B。

fl/(u,v)dudv,

8、设f(x,y)连续，且f(x,y)=xy+%其中D是由y=0,

x=l所围区域，则f(x,y)等于()

A、xy

B、2xy

2

C^xy+8

D、xy+1

标准答案：C

dy2

知识点解析：原方程可化为七一工y二一1,其通解为

2

y=e伊1[(-e/*dx+C]=x+Cx09

7J曲线y=x+Cx2与直线x=l及x轴所

围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

V(C)—(x+Cx)2dx=”(++苧+专)。

令V(C)=引=0,得c=-1o

2

r(C)=y>r>0,

故C=-搭是唯一的极值点,则为最小值点，所以y=%-工/。

44

二、填空题(本题共〃题，每题1.0分，共〃分。)

」im1(0十一=Ina,贝Up=__________°

II、设a>0,a/1且一”

标准答案：2

知识点解析：

由于Q；-a*=a**7(/-*-1)=a*(一1),且

当/—►+»时,。《工”-1-----万!吧;r,

x(x+1)

所以

原式=limda**7(a>(,，*,>-1)=lim必a*/地八

x(x+】)

=Ina・lim-=】na(当p=2时成立)。

故取p=2O

arctan%

9X#0,

X

12、设函数f(x)=1，欠=0,则f(X)=

x-(1+/)arctanx

{x#0,

怀徒自杀：°，x=0

-------jx-arctanx

、1+x____，一(l+42)arctanx

f\x)=2=2/i2\■

知识点解析：当x/)时，/%(1r)当x=0

arctanx1

广(0)=lin/S)~/(°)=lim-............

ixx

j~77-1

1.arctanx-x

lim-------；------lim-------------

i2x

lim-------------=0。

时,—2x(1+/)

13、设产y(x)是由方程，%+)'=确定的隐函数，则y”二，

2(丁+f)

标准答案：(*-y尸

知识点解析：在方程两边对X求导得

2+.2J7,_.____].H7

2/T77]+(犷/，

即方号一却=叩•野

化筒可得>'=山,进而可得

*-y

丁*-2y=2”,号2,=2(3)

y(x-y)2(x-y)2(x-/)'

14、函数y=x?x在区间(0,1]上的最小值为o

.X

标准答案：e・

知识点解析：由于y'=(e2x,nx)=x2x.2(lnx+1)="°'1<”<八所以x在

—

e上取得最小值，最小值为丫=。'。

15、

标准答案：P

e7dx=[-

令?=匕则/7

知识点解析:

-4

16、由曲线广7和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为

标准答案：41n2

S=1(44-R)d%+x^dx

1.3,

=2—二-+41n2--=41n2°

知识点解析：22

/=J/(rcosd,rsind)rdr.

17、已知极坐标系下的素次积分其中a>0为常

数，则y在直角坐标系下可表示为o

,_/（X.y）dy

w世目宋：・R

/=他%y）d。,

知识点解析：先将、表示成方用D的极坐标表示

-3W0这票,OWrWQCOSO,D\（x-3）+）。W（多）o

22，因此可知区域I2/121如图

图

1—4一10所示:1-4-10如果按照先y后x的积分次序，则有

。：0W%WQ,-Vax-x2WyW-Jax-x2,

因此可得//(%,y)dy。

为i

1加/(明♦)-2-+y-2

18、设连续函数z二f(x,y)满足4+(…)=0,则dz|o])

标准答案：2dx一dy

lin/a)-2-+y-2

知识点解析：根据二?&+GT)2=0以及函数z的连续性可知f(0,1)

欠

linJ(4,y)-/(0,1)-2+y-I=0(

=i,从而已知的极限可以转化为；二或者f

(x,y)—f(0,1)=2x—(y—1)+o(J：+6-1尸)根据可微的定义,f

(z,y)在点(0,1)处是可微的，且有fx‘(0,1)=2fy'(0,1)=—1,dz|(0.

I)=2dx―dyo

*z1

£1臼/

19、无穷级数小的收敛区间为

标准答案：'e'e'

(1+n)，根据收敛半径的判断方法，有

知识点解析：塞级数的系数为an二

(2

1+d1u)\**D,Uzdi),2n*I

vv—肃]

hm---------------

2I.|»2.2“+]

1+B1\"(T)

=lim(1----5-------------

\n+2n+1fl•\H/

因此，募级数£(1+5)”/的收敛半径为《，收敛区间为(-十口。

20.微分方程嚏一听满足初始条件y⑴二1的特解是尸

标准答案：xe!-x

亚=ur半

知识点解析：此方程为一阶齐次微分方程，令广UX,则有adx所以原

du

u+x—=u\nu9uIXB|=lo

方程可化为公解此微分方程得In|lnu—l|=ln|C|x|,

去绝对值可得hw=Cix+l,u=eCIx+1,将u|x=i=l代入，得C]=—1,u=e*-x,因此

原方程的解为y=xe1-Xo

21、微分方程y"一2y'+2k的通解为。

标准答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex,C\,C2为任意常数

知识点解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是口，「2二l±i,因此特征方程

为（r—门）（r—12）4一（口+「2）r+nr2=r2—2r+2=0,故所求微分方程为y"—

2y'+2y=0。

三、解答题（本题共8题，每题分，共8分。）

(I)Hm(——-+；

iVn+IVn+2

(II)lim(——L==i+

-J#+?

2n

(UI)+於3）；

n+n3+2

上

VF

+2+

3

cos—COS-2cos—

nn

(v)i±+七+•・

・+2）；

(VI)limln/(I^-)2(1+-)2-(1+—)\

22、求下列极限:n-•ynnn

标准答案：（I）因为

lim—=1,所以由夹逼准则可知

一+1

lim(--+.-+…+----)1。

"-*x，+1，几2+2♦fl

（U）利用定积分的定义可得

lim（L.+L

=ln(l+0)。

/(n+1)

（皿）因为由+总+M•…2(1+〃)

■2〃3n/%+2口+…+1_/(n+1)

n3+1n3+2/+3n+nn5+n2(n3+n)

且也;（C：，=!呜£：3，，所以由夹逼准则可知

9"Oa

且lim------丁=lim-------=1,所以由夹逼准则可知

a—•»1r»—I

cos-cos-r

nn*

cos-ycos-rcos-ycos

nnn

（V）利用定积分的定义可得

)

则r/1+1+…+7717\)=也•4k77n?

i.Y»11f1dx.宣

=hmZ-------------：=-------j=arctanx।=7。

n

i占i+(l.\Jo1+与o4

〃(VI)利用定积分的定义

limln]+：'([+2)2…+2)?=limV—In(1+上)

-Gnn

0]I

=2limV—ln(1+—)=2fln(l+x)dr

nnJo

可得=2[(#+l)ln(x+1)-x]=41n2-20

知识点解析：暂无解析

23、设a>l,f(t)"a1一at在(-8,+oo)内的驻点为t(a)。问a为何值时，t

(a)最小？并求出最小值。

Inina

标准答案：令「(t)=a'lna—a=0,解得f(t)的驻点为l(a)=1—,na°对l

(a)关于a求导，可得

r----•Ina——Inina---------InIna.

、InaaaaaInIna-1

t[a)--------------------=--------------------------j—=---------r,

(Ina)-(Ina)a(Ina)令「(a)>o,解得a

>eeo则当a>°e时，t(a)单调递增；当1VaV时，i(a)单调递减。所以当

1

a=e，时，t(a)最小，且最小值为t(ee)=1一c°

知识点解析：暂无解析

24、设f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且「(x)翔。证明：(I)对于

任意的X6(―1,0)U(0,1),存在唯一的e(x)G(0,1),使f(x)=f

(II)lim0(%)=。。

(0)+xf(9(x)x)成立;*-«o2

标准答案：(I)由拉珞朗日中值定理，对任意XE(―1,1),x^O,存在06

(0,1)使f(x)=f(0)+xf(Ox),(8与x有关)。又由f(x)连续且「

(x)#0,故F(x)在(一1,1)不变号，所以广(x)在(一1,1)严格单调，0

唯一。(口)由(I)中的式子，则有

r(Ox)=Axl.zA9)

那么/'(你)-/'(o)=』(")一〃°)W⑼，则

X

--广⑼°/⑴-/(0)一步(0)

以’,由上式

可得。的表达式，并令X-0取极限得

广(砒)-广(0)_N"⑼

/⑴-/(O)-炉'(0)1

-7lim

2i-»O以■广(0)2

知识点解析：暂无解析

25、设函数f(x)在［0,兀］上连续，且Jo'f(x)dx=Jo"f(x)cosxdx=0,试证明：

在(0,71)内至少存在两个不同的点号,及，使f(0)=f(及)=0o

标准答案：令F(x)dl,0<x<7r,则有F(0)=0,F(兀)=0。又因为

0H(x)cosxdx=foncosxdF(x)=F(x)cosx+|o'+Jo"F(x)sinxdx=Jo“F(x)

sinxdx,所以存在年(0,兀)，使F(自)s怵=0,不然，则在(0,兀)内F(x)

sinx恒为正或恒为负，与(T(x)sinxdx=O矛盾,但当年(0,兀)时sin导0,故

F(4)=0o由以上证得，存在满足0V4V兀的&，使得F(0)=F(1)=F(兀)

=0o再对F(x)在区间［0,可，［0兀］上分别应用罗尔定理知，至少存在白£

(0,,feG(。7c),使得F(言)=F'(及)=0,即f(言)=f(及)=0o

知识点解析：暂无解析

26,设z=z(x,y)是由方程x?+y2—z=<p(x+y+z)所确定的函数，其中tp具有二

，僧一巧，求普，

阶导数且中竽一1。(I)求dz；(口)记u(x,y)=”一力”

标准答案：(I)对方程两端同时求导得2xdx+2ydy―dz=(p,

(x+y+z).(dx+dy+dz),整理得

因此dz=(->♦2%)dx,+(一,Y纪居因为夕，向_]).

(P+1

(U)由第(I)问可知之打，齐手毕

所以心，)=士管谭人士("一-卜士・亨冲

2

=.，+］，

肉砂加-2”(1+舞2*1+纤*2@"(1…2…)

一2一Q辿

■(…>。

知识点解析：暂无解析

27、计算二重积分号(x+y)3dxdy,其中D由曲线x=,1♦>与直线”+后=()及

x一历=0围成。

标准答案：积分区域如图1—4—16所示，D=D】UD2,其中

仇=I(a)10WyW1，历W#W+尸｝,