考研数学一（高等数学）模拟试卷90

考研数学一(高等数学)模拟试卷90

一、选择题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

1、设f(x)在R上连续，且f(x)翔，(p(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述

确的个数是()①帼⑻］必有间断点。②忤⑻/必有间断点。③你(刈没有间

wf点%o

A、0©

B、lo

C、2o

D、3。

标准答案：A

知识点解析:①错误。举例：设岭尸LjwO，f(x)=eX,则颂x)］=l在R上处

5连番②里误。举例：设小尸回则［(P(x)『=9在R上处处连续。③错误。举

例：设(p(x尸在x=0处间断。因此选Ao

2

,f(x)=IxIsinx,则使导数存在的最高阶数n=()

B.io

C、2o

D、3o

标准答案：C

知识点解析:

sm%,%才°'因为/'(0)=1而x|—=lim=0,所以

/(X)

x-0««ox

xsinx.x<0o…

sin、+xsin2r,力才0,

广⑴=

(sin2x+xsin2x),

x<0o

Isin*x+xsin2xI-0

又因为/"(0)=lim=0,所以

x-0

2sin2x+2xcos2x,420,

/”(*)

-(2sin2x+2xcos2x),x<0,

从而/?>(0)=X"(3=lim2s必，铝3=6,

一(2sin24+2欠cos2z)-0__6

/中(0)=

…一X-。17・x-0

故封)(0)不存在。因此『2,选C。

12x

arccos-----z

3、设f(x)=aretanx-21+X(X>1),贝|J()

A、fx(x)在［1,+oo)单调增加。

B、f(x)在［I,+8)单调减少。

IT

+8)为常数不

C、f(X)在［1,

D、f(X)在［1,+8)为常数0o

标准答案：C

知识点解析：按选项要求，先求「(x)。

(1+f)-2/

-2

22

2%(1+X)

+x

=0(x>1),

又f(x)在［1,+00)

连续，则f(x户常数=f(l)=4。故选C。

4、若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为］)

A、l+sinxo

B、l-sinxo

C、1+COSXo

D、1-cosx。

标准答案：B

知识点解析：由「(X尸sinx,得J(x尸Jr(x)dx=Jsinxdx=-cosx+Ci，所以f(x)的原函数

SF(x)=ffi(x)dx=f(-cosx+C1)dx=-sinx+C।X+C2,令。=0,C2=l得F(x)=l-sinx。故选

Bo

5、在曲线x=t,y=-t2,z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()

A、只有一条。

B、只有两条。

C、至少有三条。

D、不存在。

标准答案：B

知识点解析：曲线x=t,y=“2,z=f3在点t=t()处的切向量为匚(1,-2t(),34)。平面

z+2y+z=4的法向量为n=(l,2,1)。由题设知nJLt,即l-4to+3=0,则to=l或,

故选Bo

6、交换积分次序1dxl为。।

(A)(dy1/(x,y)cko(B)[dy]/(i:,v)d0

(C)pdyJ/(x,y)dx0(D)(旺f(4,y)ck。

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

｛也［f(x9y)dy=^dy£/(x,y)(ko

知识点解析：交换积分次序得

i(an+6J收敛,则级数£4与£“

7、如果级数”()

A、都收敛。

都发散。

C、敛散性不同。

D、同时收敛或同时发散。

标准答案：D

知识点解析：由于ab=Qn+bb)-bn，且

£收敛，当£bn收敛时，£4必收敛;而当近£4

"**发散时，黑必发

散，故选D。

二、填空题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

8、设函数y=f(x)由方程y-x=ex(】-y)确定,则如一"

标准答案：1

知识点解析：当x=0时，y=l。对方程两边求导得y'-l=eX(Ly)(l_y-xy，),

y=l代入上式，可得y'(O)=l,所以

r11人9T

r

-1]=——=/(0)=10

/fITx

9、对数螺线p=e°在点(p,0)="'爹'处切线22.的直角坐标方程为,

标准答案：X+y=J

知识点解析：螺线方程「=©°可以化为隐函数方程，即1n“可=arclan”,

利用隐函数的求导法则，得到在点0处的导数为y'(O)=・l,因此所求的切线方程

为化简为

10、已知Jr(x3)dx=x3+C(C为任意常数)，则f(x)=o

、…泞+C

标准合案：5

知识点解析：对等式Jr(x3)dx=x3+C两边求导，得r(x3)=3x2。令g?,则「(t尸

3次故/(又)=+Co

11、设2=*8/+丫)+丫中依丫)，其中g、(P具有二阶连续导数，则打打二

标准答案：g，(x+y)+xg"(x+y)+(xy)+xy2(p(zy)

也a2z

知识点解析：dx=g(x+y)+xg,(x+y)+y2(p,(xy),dxdy

=g'(x+y)+xg''(x+y)+2yq)'(xy)+xy2(pyxy)。

IImin!x,y|dxdy

12、设D为不等式gxS3,OgyW所确定的区域，则当=

£

标准答案：?

Jmin(x,y)dxdy=(d“ydX+(dyjfxdx4

3

知识点解析：由题干可知。

、..「

13、设£是锥面z='4+V(OWzgl)的下侧，则1，xd\,dz+2ydzdx+5(z-l)dxdy=___。

标准答案：2兀

知识点解析：设£：z=Lx2+y2<l,取法向量方向朝上，则Z与〉围成的区域为

Q,那么

jprdydz+2ydzdx+3(z-1)dxdy

=，xdydz+2ydzdZ+3(z-1)dxdy-Jxdydz+2ydztk+3(z-1)dxdy0

i'l

而

/xdydz+2ydzdx+3(z-1)dxdy=6dV=dd]rdrj

dz=2IT,

n

Jxdydz+2ydzclx+3(z-1)dxdy=0o

所以jprdydz+2ydzcbe+3(z-1)dxdy=21To

y.A,

14、级数31的和为

9

标准答案：4

知识点解析：令S(X)=“M,IxIVl,那么有

S(x)=(£户’=(占卜

则

£/=5(")=首彳=弓

15、微分方程y'=1+x+y2+xy2的通解为

标准答案一二tanl^+x)2+C]

知识点解析：将已知方程变形后，并整理得

¥二(1++)(1+儿

ax

则

二(1+x)dx,

i+y两边积分可得

arctany=­(1+x)2+C,

因此

y=lan[y(1+x)：+小

三、解答题(本题共〃题，每题1.0分，共〃分。)

1-cosxcos2x,••cosnx

lim

16、求ix

incott.IM»2X♦•••♦inrmmr

原式=lim।二e

w-0

I_sinx2sin2xnimx

-cosxcos2x***cosnxsr

'coaxco»2x

lim----------------------------cosnx

M-02x

%]加(皿・」_22»in2xnsinax1\

2,71xco&xnxcosnx'

=，+2?♦・・•+Y)

■♦1)(2n+1)

标准答案：12

知识点解析:暂无解析

17、设a>l,f(t)=Jat在(-8,+oo)内的驻点为t(a)。问a为何值时，t(a)最小?并求

出最小值。

IInina

标准答案:令r(t)=a[na-a=0,解得f(t)的驻点为t(a厂lna对1(a)关于a求导,

可得回令t'(a)>0,解得a>e。。则当a>e，0寸，t(a)单调递增：当IVaVe。

时，t(a)单调递减。所以当a二时，t(a)最小，且最小值为td尸

知识点解析：暂无解析

fl+?—/2

18、求不定积分J/。+/)ln(1+x)dx

1+/+♦_J_4

标准答案：由"i+f)=LFT7,则

原式=f":4[吗L/d4

JXJI4-X

=-yjln(1x2)d(Ji)+yjln(1+x2)dln(l+/)

=-/[*(j?)7严卜"n"+，疔

22

=—^—yln(1+x)+Inx|——ln(1+x)+~~ln*(1+x")+Co

知识点解析：暂无解析

19、设曲线y=a&Q>°)与y=ln石在a。,yo)处有公切线(如图L3・4所示).求

这两条曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V。

图1-3-4

［京吱,叱扃八

标准答案：由两曲线在(xo,yo)处有公切线得.宿:必扃，InA-l，解

得x0=e2,a=e/。所求的旋转体体积等于曲线口分别与x轴及直线x=e?所围成

平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积之差，即

知识点解析：暂无解析

J4+y+6=0,

20、设直线L：L+Q-Z-3=°在平面”上，而平面口与曲面z=x，y2相切于点

(1,-2,5),求a,b的值。

22

标准答案：令F(x,y,z)=x+y-z,则有Fx=2x,Fy=2y,Fz=-1,在点(1,・2,5)处

曲面的法向量为n={2,4・“,于是切平面的方程为2(x-l)-4(y+2)-(z-5)=0,即

L：「+i=0,

2x-4y-z-5=0o根据'%"一工-3=°，得至“丫7上，z=x-3+a(-x-b),将其代入平

面方程有2x+4x+4b-x+3+ax+ab-5=0.因此有5+a=0,4b+ab-2=0,解得a=-5,b=-

2o

知识点解析：暂无解析

2

az铲z2t

21、设函数f(u)具有二阶连续导数，而ztfdsiny)满足方程afd/"，求

f(u)。

兴=/'(u)e、iny,$=/'(u)e'cosy,

oxoy

彗=/*(u)e*siny+/*(uje^sin27,

dx

立^=-/'(u)e*siny+/"(“'e”cos、，-^-4+=e"z

标准答案：力代入方程a—a/中,

得到「(u)-f(u)=0,解得f(u尸Cd+Cze-u,其中Ci，C2为任意常数。

知识点解析：暂无解析

22＞计算曲线积分"sin2dx+2(x2-l)ydy,其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(兀,

0)的一段。

标准答案：按曲线积分的计算公式直接计算。

Jsin2xdx+2(x2-1)ydy

L

=[[sin2xdx+2(y-1)sinxcosx]dx=[fsin24dx

=-，c；s2"+(xcos2xdr=-^-+xcos2xdx

7T2xsin2x”广sin2x.

。-]L

2°

知识点解析：暂无解析

23、计算曲面积分IGZx'dydz+Zy为zdx+sW-Ddxdy,其中Z是曲面z=l-x2-y2(z>0)

的上侧。

标准答案：取Z1为xOy平面上被圆x2+y2=l所围部分的下侧，记。为由E与*围

成的空间闭区域，则

1232

=f2ddydz+2/dzdx+3(z-l)dxdy-^2xdydz+2/dzdx+3(z-l)dxdyo

，♦Ax,

由高斯公式知

J2%'d)也+2y3dzcLt+3(z2-1)ckdy

=$6(6+y2+z)drdyd2=6/drj(z+r2)rdz

二127Tl[f(]一产)2+r11_/)]dr=2TT,

而J2x3d>dz+2/dzdx+3(z2-1)(hdy=-IT(-3)dxdy=3ir,

故1=2兀-3兀=-兀。

知识点解析：暂无解析

24、将函数f(x)=2+x-x2展开成x的基级数。