考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷26

考研数学三(函数、极限、连续)模拟

试卷26

一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)

g(j-)=-------().

1、设f(x)是不恒为零的奇函数，且F(0)存在，则z

A^在x=O处无极限

B、x=0为其可去间断点

C、x=O为其跳跃间断点

D、x=O为其第二类间断点

标准答案：B

知识点解析：因为？(0)存在，所以f(x)在x=O处连续，又因为f(x)为奇函数，所以

「(0)=0,显然x=0为g(x)的间断点，因为

「/、「八工)/<x)-/(0)/小

lim^(j)=lim-------=lim-----------------------f(0)♦

L。L。XLQX所以X=0为g(x)的可去间断

点，选(B).

/(jr)=lim----...-,

2、设-91+M“贝I」f(x)().

A、无间断点

B、有间断点x=l

C、有间断点x二一1

D、有间断点x=0

标准答案：B

知识点解析：当|x|Vl时,f(x)=l+x；当冈>1时,f(x)=0；当x=-*l时，f(x)=0；

1+l•|«z|V1,

0.|x|>1,

/(x)=<

0,z=-1,

当x=l时，f(x)=l.于是h・J=b显然x=l为函数f(x)的间断

点，选(B).

3、设」里(心+1―f'其中a,b为常数，贝U().

A^a=l,b=l

B、a=l,b=一1

C^a=一1,b=l

D、a=一1,b=-1

标准答案：B

..31

hm3=8,lim------=oo,

知识点解析：因为LT1+1所以LTOM+I即a=l,又

lim(-7-7-----3：,)=lim7—,二、，:-----------=glim(x-2)=-1

.一】+1x+1，，-i(i+l)(7—N+1)3x-i

(B).

4、f(x)在［一1,1］上连续，则x=0是函数/"一工的().

A、可去间断点

B、跳跃间断点

C、连续点

D、第二类间断点

标准答案：A

知识点解析：显然x=O为g(x)的间断点，因为

limg(x)=lim----------=lim/(x)=f(0),

L0…X…所以x=0为g(x)的可去间断点，选A.

二、填空题(本题共70题，每题1.0分，共10分。)

Ji+tanx,-/1+sin。

lim

,72

5、x-xin(l+z)

由ln(l4-x)=x—§+0(12)得

x1-xln(14-x)=--Fo(x3)

乙2

*/14-tanr-+sinxc..vl4-taaz-vl+sinr

则lim=2hm----------------：--------------

jr-0x-xln(1+n)

taru?—siaz..taaz—siru?

=hm----------------

x3(-rtanx++sinx)j-oT

.———1

sinxcosx..1-cosx1

---•-----；---=lim—=—

2,

标准答案：

知识点解析:暂无解析

11

lim+,,,+

6、■rn+4Jn”+16

标准答案:

如心4+//+16++J/+41

…十11

14-4(-

\n

,=4n(2+石).

oZ

知识点解析：暂无解析

lim、叼(cosz-6)=5,

7、若L。e-a则a=b=

sinx,,,,

lim-3------(cosx-〃)=5=>a=1,

JT*0e‘-a

lim?吐（COST-6）==-4・

标准答案：Loe'-l

知识点解析：暂无解析

8、设x—0时，incosax-2xb(a>0),则a=,b=

limFGr)=limf(*)+as应

=lim3二四+〃皿］=八0)+…+仇

标准答案:…LX］」因为

F(x)在x=0处连续,所以A=a+b.

知识点解析：暂无解析

x2门

F(r)=-------/(/)dr♦limF(x)=

13、设f(x)连续，且x-aJ.贝卜・・

limF(jr)=lim-------\f(/)dz—a'lim-------------

x-•x-*«x-aJuX-ai—a

z

=alim/(J)~a2f(a).

标准答案:

知识点解析：暂无解析

.rjf(x—t)d/

!吵号=2,又g(x)=幺；_a_n才1手°

14、设f(x)可导且[•]=°在x=0处连

续，贝Ia=.

标准答案：由

.4)=3Hm小普=3lim色必2=力(。)=3.

一…2]2因为g(x)在

x=0处连续，所以a=3.

知识点解析：暂无解析

三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

,lim(x5sin3x-*ax2-r6)—

15、设n一。求a,b的值.

..sin3j-+ax+bx'

lim（.r'sin3j+“才+/，）=lim--------：-------

标准答案:由麦克劳林公

（3-r）.9

34----Ti—+”（/）=3/——x'+。（？）.

J!/

于是sin3_r+a/+6/3=（3+a）z+（〃募）/+。（才），

.-3,

g.sin3/+ar+4r八!

而hm-------1------=0.所CC1以M19

…工口=豆・

式得I2

知识点解析：暂无解析

../X2-2x4-5\

limI-----------ax6I=0»

16、（1）设，…\z+1）求a,b的值.（2）确定常数a,b,使得

ln（1+2工）+=x++o（zD.

1+3（3）设b>0,且

..ln（ae-J+J+sinz）

lim-一-’---=2,

…gVbx2-i-xcosj-1求b.

标准答案:

.x'_2_r4-5(1—u)jr:—(2+a+b)jr-4-5—/>

(1)由....-----ax—b-得

•r+1•r+1

..(1—a—(2+a++5—%

，射----------7TFo.

1-a=0*

于是解得“IJr=3.

2+a+/，=0

z

(2)ft]ln(14-2J-)=2r—7+〃(]’)一2r—2.r-o(/)・

丁强一=ax•[1-+o(x>]=ax-abxz+。(/)得

1-f-ox

m（1+2G+卷=如+2）/一。+2"+。（，），

_a4-2=1,4，口

于是解得a=-1,6=3.

ab2——1

2

x2i-J.J4-sinx\

.八4].ln(ae-+x4-sinx)t,腕(e"，

(3)由lim—二.——=lim——-----

工-8JbW+jccow-]w-q《b—+4COW-1

…岫+宁)

得

lim-----^z=z^zz=26=J.

•Jbx24-xcoscr—14

知识点解析：暂无解析

..ln(1—2z+3/)+ai+Az?_

lim--------------------：------------------=2,,一

17、设…储求a，b的值.

标准答案：山

37

ln(l-2工+3/)=(-2x+3x2)--~~&枳?')+。(工2)=-2JC4-X24-O(Z2)

..Ind—2x+3x?)-\-bx2..(a—2)x4-(64-l)x2

lim-------------------：-----------------=iim---------------：-------------=2,

得l。x…x则

a=2,b+l=2,即a=2,b=l.

知识点解析：暂无解析

1QLm（：/2+以”+6+CN+d）=0,力/古

18、设L+，求a,b,c,d的值.

标准答案：由

lim(v?+or+6+cz+d)=

11+土+与7+6

1+土+刍+卜+今=limM——

X

/7"+;-a-t--+r仅.z2-1i+.4j-2(a/-r)+dz

-------------------=lim---------------

LO3所以

a,b,c,d满足的条件是a=-2d,c=­I,b取任意常数.

知识点解析：暂无解析

)=|imb+』」+一

19、设’7一“川――+1是连续函数，求a,b的值.

ax24-bx«|n|V1,

\/x,|x|Z>1»

-^-(a—b—I),x=­I,

标准答案:y(a+6+l),x=l,因为f(x)是连续函数,所以

/(-1—0)=-1=/(—1)=—6—1)=f(-]+0)=

乙

/(l-O)=a+6=/(1)=~(a4-6+1)=/(1+0)=1,

4解得

a=O,b=l.

知识点解析：暂无解析

『"7Jd

2。、确定正数a,b的值，使得啊US=2.

X

rd/

lim-----：---

标准答案：…“一皿&LOb-cosx

显然b=l,

且故a=l.

知识点解析：暂无解析

A

..-r-mx+w

lim---------：--=--3--.---

21、(1)求常数m,n的值，使得…sm(i-1)(2)设当x-0时，x

/(x)=|ln(14-/)dz设当X—O时,

g(x)=JCa(cr—1).

求a,b.

.z2+mz+n_3

标准答案：⑴由，巴sin(/-D得m+n+l=O,再由

..x'4-mi4-nx2+mx-Fn1..x2-f-mx4-n

hm:；2TV=hm------i~~~；-=yhn}---------1------

LIsin(x-1)*-1x-1NLI］一」

=glim(2x+)="子=3,

2I2得m+2=6,解

得m=4,n=一5.(2)x一(a+bcosx)sinx(x—>0)

b

=x-usinj——sinZx

1-言十壶+。（/）6+。（，）

23!5!

（尹妙:岛+匐x5+。（1’），

1-a-b=0,

则

>ka+.2bL，

,41

解得Q=q，b=——

JJ⑶由

ln(l4-/)d/

271n(1+J)

------：---------=lim万得“1）~万”'再由g（x尸x%ebx

一…xa”得a=3「W

知识点解析：暂无解析

A/6+J6+…+而,,

a---------------*--------------11ma.・

22、设（"幻证明：｛an｝收敛，并求--

标准答案：显然｛an｝单调增加，现证明：an<3,当n=l时，/=痣<3,设产k

时，akS3,当户1<+1时，A+I&'6+3=3,由归纳法原理，对一切

的自然数n,有anW3,所以18"存在.令

lima«=A，由=J6+a.,彳导A=v6+A,：lima„=3.

-8解得A=3,即Lg

知识点解析：暂无解析

23、设ai=l,"…十'二一。’证明：数列｛an｝收敛，并求「产""’

标准答案：先证明｛a"单调减少.a2=0,a2l；设ak+i〈勺」二？=-4=即+i，

由ak+ik得1-ak+i>1一ak，从而一一。二<八不'即ak+2k+l,由归

°>1+痣

纳法得数列｛an｝单调减少.现证明明“十.

1+解沿>1+齐*1<1I1-FV5,(1+V5)2

ai=1)------------•设a.>--------~，则1一。S1十2—4

H---------1+店口而R------、1+75Hn、1+75

八一Q*<-5-，从而一Ji—a.2------------，即a*.1)-------------,

4cL

°>1+后

由归纳法，对一切n,有*/2由极限存在准则，数列｛an｝收敛，没

研f,对…+许7=。两边求极限得A+LX=。,解得

1+V5

hrma=------------・

・9E>1t4

知识点解析：暂无解析

“=2+,，1而“

24、设xi=2,“"求…

标准答案:

令limz.=/，则/=1+々，现证明limz.=1+72.

因为OWIz.—，|=2d-----2—j-&}||-7^-1

“LIILI

且lim-^7IZi-/=0,所以由夹逼定理得lim/"=1+72.

Hf8IQ—8

知识点解析：暂无解析

lima”.

25、设a1=l,a2=2,3an+2—4an+i+an=0,n=l,2,…，求

标准答案：由3an+2—4an+i+an=0,得3(an+2-an+i)=an+i—aMn=l,2,...).令

bn=an+i~an，则bn+i/bn=l/3(n=l>2,…),由b]=l,得

,2,…),

即

a2-a]=1»

1

。3=彳，

1.解得。・=1+一白),所以lima.=擀,

1

a"一―3丁2,

知识点解析：暂无解析

求lim「鲁哼业.

26、.—-Jo]+e

一e'sin"z/•,/.

04--<sin工<彳•

标准答案：当x曰0,1]时，由1+/积分得

,pexsin"x„1..1

°《J~Y"一/也(zdz==----r»lim—―=0,

九1+eJ。〃+1而iB，+l由灾逼定理得

LHOJo1+e

知识点解析：暂无解析

27、讨论函数〔】，工=0的连续性.

标准答案：当好0时，函数f(x)等续，

/(0-0)=lim/(x)=lim(―吧竺)=-1,/(04-0)=limfCr)=lim=1,

jr—0一工一丁1•*-><>♦『-*O*"

f(0)=l,x=0为函数f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点.

知识点解析：暂无解析

/(x)=limln(C—>0)

28、讨论函数〃的连续性.

lnS+/)n+ln(1+7

/(z)=lim--------------=lim-------------------

标潴答案:当x€(0,e)时，-a，—VO

当x=e时,f(e)=l,当x>e时，

zilrw+ln(l+J)

、..ln(e"+x")

f\x)=hm---------------=livm-------------------------=Inx•

nf|f8故

1,0<j<e,

/(x)=

Irv.z>e・因为f(e-O)=f(e)=f(c+O)=l,所以f(x)在x>0处处连续.

知识点解析：暂无解析

29、设1一£1求f(x)的间断点并判断其类型.

标准答案：显然函数f(x)的间断点为x=0和x=l.因为x-0时，

X

]eI，——^―.11VY^f(J")ss—1

1-1所以，灯’即x=0为f(x)的第一类间断点中的

X

/(1-0)=lim—■■；­=0»/(1+0)=lim——f=1,

可去间断点；因为-「1—el一/1一e一所

以x=l为f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点.

知识点解析：暂无解析

1—产1

/(X)=---------arctan—,

30、设1+。口”求f(x)的间断点，并判断其类型.

标准答案：显然x=0,x=l为f(x)的间断

点.

7t1-*C7tl-C

/(0-0)=lim/(X)=~~・-------77»/(04-0)=lim/(j-)=­・------；

z*o~21+e~j—o*21+e

因为f(0—0)加0+0),所以x=0为f(x)的跳跃间断

点.

/(1-0)=limf(jc)=~♦/(14-0)=limf(.JT)=；lim-------=0.

i4I*41/口+产

因为f(l—0)/f(l+0),所以x=l为f(x)的跳跃间断点.

知识点解析：暂无解析

(一十”)户

(x2—Darctanr

31、求的间断点并判断其类型.

标准答案:x=­l,x=0,x=l,x=2为f(x)的间断点,

e1

由limf(1)=一lim2---=8得1=-1为第二类间断点,

lt1(X*-1)arctartr

，+l

一丁’得工=0为可去间断点.

由】imf(1)=limx2-Ie

LO一oarctan-r由

limf(x)=oo得x=l为第二类间断点，

由/(24-0)=lim/(x)=4-oo得才=2为第二类间断点.

,一「

知识点解析：暂无解析

11

/(j)=e'arctan----,

32、设/-1求f(x)的间断点并判断其类型.

标准答案：当x=0及x=±l时f(x)间断.由f(0-0尸0,f(0+0)=—8得x=0为f[x)的

第二类间断点.由」22得x=l为f(x)的第一类间断点

中的跳跃间断点，同理x二一1也为f(x)的跳跃间断点.

知识点解析：暂无解析

11

/(J)=—试补充定义使得

33、设"sinrcrK(1—x)3)'

/C