考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷6

考研数学三(函数、极限、连续)模拟

试卷6

一、选择题(本题共〃题，每题i.o分，共”分。)

/­/X_IX»8in(j-2)

1、函数(一2)在下列哪个区间内有界().

A、(―1,0)

B、(0,1)

C、(1,2)

D、(2,3)

标准答案:A

知识点解析：由函数f(x)的表达式知，它在实数轴上除点x=0,x=l及x=2外处处

有定义，在它的定义域上有

I*1疝1(—2)____1sin(x-2)一I

x(x-l)(x-2)2=RX-1)(A2)|•i-24|(一1)(4・2)|由此可

f(x)在区间(一1,0)内有界，而在任何以x=l或x=2为端点的开区间内无界，故应

选(A)

2、设函数f(x)=x.tanx.em，则f(x)是().

A、偶函数

B、无界函数

C、周期函数

D、单调函数

标准答案：B

=oo

知识点解析：由于，故f(x)无界，或考察f(x)在Xn二

2/HT♦字(〃=1,2.…)的函数值，有有呵(4)=9呼5=+啊nJ见f(x)是无界函

数，故应选B.

3、设IXnI是无界数列，则下列结论中正确的是().

A、若IynI是有界数列，则IXn-ynI一定是无界数列

B、若IynI是无界数列，则IxnynI一定是无界数列

C、若IynI是有界数列，则IXnynI一定是无界数列

D、若IynI是无界数列，则IXn+ynI必是无界数列

标准答案：A

①无当n为偶数时,_10当〃为偶数时

知识点解析：'-〃为奇数时-卜«为奇数时则xnHIynI都

无界，但Xn.yn=O，IXnynI有界，故B不正确.②若设丫产0，名。如①，则

ynI有界，xn.yn=O,xnynI有界，故C不正确.③Xn=n,yn=n,IXnI和ynI都

无界，但Xn+yn=O，IXn+ynI有界,故D不正确.

4、下列各式中正确的是().

・1^1

标准答案：A

左n、n上匚,lim(1+—)=lim(1=limJ、'"=lime七=e。=]一去.一中

知识点解析：由I，“一。…9…。，应选A,这里

I',、才》lim(l-L)=lim[(I---)]=r'1#-r

M注总«-XX

lim(I+—)=lim[(I+~)]=e1#e

«••X・0X

5、命题①f(X),g(X)在Xn点的某邻域内都无界,则f(X),g(X)在Xn点的该邻域内一

定无界；@limf(x)=x,limg(x)=oo,则lim[f(x)g(x)]=8；③f(x)及g(x)在Xn点的某

邻域内均有界，则f(x),g(x)在X。的该邻域内一定有界;f(x),g(x)是当X—Xn的无

穷小量，则XTXo时f(x)和g(x)中至少有一个是无穷小最.”中正确的是().

A①②

、

B②③

、

c③④

、

D①④

、

标准答案：B

设*为有理数Jl〃，X为有理数，且—0

知识点解析：为无理数K110.其他则

f(x)g(x)=O,当x—时，f(x)g(x)-0,但x->时，f(x)及g(x)都不是无穷小,命题④

不正确；且本例中f(x)及g(x)在x=0的任何邻域内都无界，但f(x)g(x)=O,在与前

相同的邻域内有界，即命题①不正确.

6、设外)=2'+3*—2,则当x->0时().

A、f(x)是x等价无穷小

B、f(x)与x是同阶但非等价无穷小

C、f(x)比x更高阶的无穷小

D、f(x)是比x较低阶的无穷小

标准答案：B

小四=所四工=而维呼=In2+In3।

知识点解析:因为,9X…X««IIn2+In3^1,所以

应选B.

7、当x->时，下列四个无穷小量中，()是比其他三个更高阶的无穷小量,

A、x2

1-cosx

C/1-J-I

D、x—tanx

标准答案：D

知识点解析：是于XT)时，故*2,

1-C皿，是同阶无穷小，可见应选D.

8、设f(x)满足乙胃一,当x-0时，Incosx?是比x/x)高阶的无穷小量，而

xnf(x)是比e®n2x一]高阶的无穷小，则正整数n等于().

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：A

知识点解析：由阿I’.।知，当X—>0时，f(x)=・x?,于是x?f(x)~—xn+2.又当

JL

x—>0时，lncosx2=In[l+(cos2-1)]-^cos2一1〜一2工土再根据题设有：2

9、设对任意的x,总有(p(x)<f(x)<g(x),且lim[g(x)—(p(x)]=O,则limf(x)().

A、存在且等于零

B、存在但不一定为零

C、一定不存在

D、不一定存在

标准答案：D

知识点解析：用排除法.令“⑴=|-7'"")=|'，")="了显然？3H以)赵仁)

且阿g⑷m⑷下桔此时度"L故A和C都不正确.为排除B,再

令山)⑴"‘小)显然由⑵，忖，的)满足题设全部条件,

但㈣於8故应选D.

...a(ewn'-1)+6(*-sinx)_。

10、若玛ctanx+(/(I-cosx)",则().

A、a=b,b/0,c、d不同时为0

B、arb,6=0,c、d为任意常数

C、c=0,d#0,a、b为任意常数

D、c#)，d=0,a、b为任意常数

标准答案：A

知识点解析：原式：u黑ctanx+J(l-COKX)0-黑cscc'.dsinx当存0

时，原式#),故选A.

11、设⑸｝，｛、｝,｛5｝均为非负数列，且啊?=%则”,则必有().

A、ann对任意n成立

B、Ln对任意n成立

C、极限""人不存在

D、极限则4不存在

标准答案：D

知识点解析：A,B显然不对，因为由数列极限的穴等式性质只能得出数列“当n充

分大时”的情况，不可能得出“对任意n成立”的性质.C也明显不对，因为“无穷小.

无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在.故应选D.

12、设函数y=f(x)在(0,+8)内有界且可导，则().

A、当烘个)二°时，必有阿/⑺

B、当则/⑺存在时，必有㈣'⑴二°

C、当上咱小。时，必有，呵〃幻=°

D、当上?/'(")存在时，必有上?/'⑴=°

标准答案：B

知识点解析：排除法.由于当XT+8时f(X)—O可能是无穷振荡的，f'(x)可能没有

2

Iu7jII/(x)=—sinxJ』sinx，om.Iim/(x)=0,

极限，如*,f(x)=—+2COSX,贝…W,但，…不存

在.故A不对；例如f(K)=sinx-0(x—>()+),但f(x)=cosx—>1和，故C、D不对.应

选B.

13、下列函数在其定义域内连续的是().

A、f(x)=lnx+sinx

[Hinz,xWO

/(x)=

[co&x,x>0

，+I,x<0

/(x)=0,x=0,

x-1,x>0

/(x)=/Ixl

D、।°，*=°

标准答案：A

知识点解析：由基本初等函数的连续性及连续函数的四则运算法则知f(x)=lnx+sinx

在其定义域0

14、设f(x)为不恒等于零的奇函数，Rf'(O)存在，则函数g(x)=x().

A、在x=0处左极限不存在

B、有跳跃间断点x=0

C、在x=0处右极限不存在

D、有可去间断点x=0

标准答案：D

知识点解析：由f(x)是奇函数有f(0)=0.又因为f'(0)存在，所以

/，(0)=呵空*=啊号=网6(”)又因为产。是以、)的间断点，且

J*(*)=/，(0),所以户0是g(x)的可去间断点故应选D。

I+%

15、设可K讨论函数f(x)的间断点，其结论为3.

A、不存在间断点

B、存在间断点x=l

C、存在间断点x=0

D、存在间断点x=-l

标准答案：B

1+%

I4-X

~2

知识点解析：易计算得I。I”>1讨论即知由题设得极限为

L+x

T*

10.Ixl>1可知k一1,x=l为函数的分段点。作为函数图形可知x=l

为f(x)的间断点，x=—I为f(x)的连续点，因此应选Bo

/（；）,x#0

W(x)=«,g(x)=

16、设f(x)在(-8,+00)内有定义，且一o.x=0,则（）。

A^x=0必是g(x)的第一类间断点.

B、x=0必是g(x)的第二类间断点.

C、x=0必是g(x)的连续点.

D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.

标准答案：D

知识点解析：因为呵⑷d那J哽y)从而，当a=o=g(o)时g(x)在点

x=0处连续,当a#)时g(x)在点x=0处间断,即g(x)在点x=0处的连续性与11的取

值有关，故应选D.

17、函数/(彳)=cos*'在点x=0处()。

A、不可导且f(0)#8

B、不可导且f(0尸8

C、可导且f'(0)=0

D、可导且f'(0)=2

标准答案：C

..CO8泞=1n

知识点解析：！吧—7—”即f'(o)=o.

二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共72分。)

3〉-+—5•su.n—2:

18、■••5x+3X

6

标准答案：5

2

,j-«m-.

..3x+5.._x6

=hm,-5-—-,lim=

**«5x+3*«,•15

知识点解析：原式7

lim（sin-+cos-1=

19、•7xxI

标准答案：e

原式=lim（I+sin:+cos，一1）

知识点解析：［解法一］

x故原式=e.［解

£1,„出

法二］设“则当XT8时，UTO,于是原式==则信初.8^)・=61*而由

1.^ln(»inu♦cosu)_1.^co8u-sinu_1

洛必达法则,得黑”.,明irm+cos「故原式:

20、nI,其中n为给定的自然数.

标准答案：。于

原式二山髀口｛：|11/**尸二±支力

知识点解析：此极限是严型未定式.［解法一］葭卬1黑J

0

其中大括号内的极限是6型未定式，因此由洛必达法则，有

an,4,v

..In(1e*+e'++e)-Inn..e'+2e"+…+ne'i+2+••,+nn+I

lim-------=hm-z—=------a—T—ul

…«，o/+e+-+e~n2于是原式：=2

(♦+/+・・・—-广/♦(苫-l)♦…♦(Z-D)•

［解法二］由于用于2Y〜nJ又因

..(e'・l)+(/-1)+…(小-1)

lirrr---------------:------0----------------------

…nx

=—(I+2+…+n)=5(n+I)

n2故原式

1.sinx

..lim----c-o-ax-6)=5r।

21>右，虫a-a则a=,b=

标准答案：I,-4

I加等

知识点解析：不难得出I©U-6,”1,任何〃从而,

sinx

lvirn——以**')一5则必须且只需a=l,1—b=5,即a=l,b=-4.

cosX

lim)~Ti~

22>>»m*xX

4

标准答案：3

..x-sinx..x•¥»inx.

=lim----：—+hm----------.1

•«ox，Qx

....I-cow.1..sinx4

=I+n2lim~、=1+_lim-----=v

［解法二］73#3z3

23、已知!唠向二姐痴六则|呵伴1=——,

标准答案：了

知识点解析：\

并扁斗扁二2

故lin/^=+

..VOX-X+2+x+Ic

lim--------；・•.-------------------=3

24、***Vx2-COM则a=.

标准答案：16

知识点解析：_____

rjrr<»,令％=T..y0^4t,f2-t+1..-J(1^\/1^l./V-I+1//Ja—1\

J

原式…lim-----；：---------=lim----------；■■—.........=z—=3

L.9y?-c——8八一%)〃1故a=16

(3+幻'-3,

lim

25、…

1

标准答案：y

1加冷・江

知识点解析:

26、极限㈣而访

标准答案：2

n+Nn-n+4