考研数学二（向量）模拟试卷7

考研数学二（向量）模拟试卷7

一、选择题（本题共75题，每题1.0分，共万分。）

1、设A为mxn矩阵，B为nxm矩阵，则【】

A、当m>n时，必有IABI#）.

B、当m>n时，必有IABI=0.

C、当n>m时，必有IABI翔.

D、当n>m时，必有IABI=0.

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

2、n维向量组山，ct2，…，otm（3WmWn）线性无关的充要条件是【】

A、存在一组不全为零的数ki，k2，…，km，使kiai+k2a2+…+kmam=0.

B、ai，（12，…，am中的任意两个向量都线性无关.

C、ai,a2,...»am中存在一个向量不能由其余向量线性表示.

D、ai，。2,…，am中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

3、设n维列向量组（I）：ai，...»am（mVn）线性无关，则n维列向量组（H）：

他…，pm线性无关的充分必要条件为【】

A、向量组（I）可由向量组（II）线性表示.

B、向量组（U）可由向量组（I）线性表示.

C、向量组（I）与向量组（口）等价.

D、矩阵A=［ai...am］与矩阵B=［「i…际］等价.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

4、设向量组四，a2,a3,04线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】

A、ai+a2，012+（13，013+04，014+ai

B、aj—a2»a2一（13，013—04,04—ai

C、ai+a2»（12+03,013+04,04-ai

D^ai+a2»012+013,013—04,04—ai

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

5、设有向量组d[=(l,—1,2,4),a2=(0，3,1,2),。3=(3,0，7,14),04=

(1,-2,2,0),a5=(2,1,5,10),则该向量组的极大线性无关组是【】

A、ai,ct2，a3

B、a],a2，04

C、aj,g,(15

D、ai,(X2，04，(X5

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

6、设矩阵Amxn的秩为r(A)=mVn,3为m阶单位矩阵,则[]

A、A的任意m个列向量必线性无关.

B、A的任意一个m阶子式都不等于零.

C、若矩阵B满足BA=O,则B=O.

D、A通过初等行变换，必可以化为(3，O)的形式.

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

7.设A是mxn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵AC的秩为，

n，则【】

A、r>ri

B、r<ri

C、r=n

D、r与门的关系不定.

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

X、向量组四，。2，…，am线性相关的充分条件是【】

A、aj,a2，…，am均不为零向量.

B、矩阵[aiaz…am]的秩为m.

C、ai，a?,…，am中任意一个向量均不能由其余m—1个向量线性表示.

D、ai，a2，…，am中有一部分向量线性相关.

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

9、设A、B都是n阶非零矩阵，且AB=O,则A和B的秩【】

A、必有一个等于零.

B、都小于n.

C、一个小于n,一个等于n.

D、都等于n.

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

10、设有任意两个咒维向量组a”a2,am和m，的，…，Bm，若存在两组不

全为零的数Q,入2，…,金和ki，k2，…,km，使Ql+ki)ai+...+Qm+km)am+

=

(Xj—ki)Pi+...4-(Xm—km)Pm0,则[]

A、ai，am和P1，…阮]都线性相关.

B、aj,...»am和0i，…，都线性无关.

C、…，CtmPn>Ct]-Pl,...»ttrn—0nl线性无关.

D、囚+Pi，…，am+Pm，(”—Pl，…，(如1一Pm线性相关.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

11、设向量组为，。2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】

A、ai+a2>012+013，a?—ai.

B、a]+(X2，012+(13,aj+2a2+a3.

C、a]+2ct2，2a2+3013,3013+a].

D、ai+az+cn，2ai-3a2+22a3，3ai+5a2-5a3.

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

-1aa•••a-

a1aa

aa1a

••••

♦•♦•••

12、设n(n23)A=Laaa…1」若r(A)=n-l,贝Ua必为【】

A、1

B、1-

C、-1

D、"-1

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

13、若向量组(11，a2,线性无关，向量组川，(12，04线性相关，则【】

A、ai必口J由C12，(X3，04线性表示.

B、a2必不可由ai，as，04线性表示.

C、04必可由囚，口2，。3线性表示.

D^04必不可由四，012，(13线性表示.

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

14、设向量0可由向量组ai,a2,…，口3线性表示，但不能由向量组（I）：ai-

。2，…，（Xm-1线性表示,记向量组（D）：aj,。2，…，am-1»0，则【】

A、am不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示.

B、am不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示.

C、am可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示.

D、am可由（I）线性表示，但不可由（II）线性表示.

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

15、设内，a2，…，as均为n维向量，下列结论不正确的是【】

A、若对于任意一组不全为零的数ki，kz，…,ks，都有k]d]+k2a2+…+

ksas^0,则ai，C12，…，出线性无关.

B、若囚，。2,…,as线性相关，则对于任意一组不全为零的数ki,k2，…，ks,

都有k1a1+k2Ct2+…+ksas=0.

C、ai，3…,as线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

D、ai，。2,…，as线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

二、填空题（本题共6题，每题1.0分，共6分。）

16、若向量组6=（八_0，_彳）,％=（一彳"'一彳）皿=（一2.一2

线性相关，则九=.

1

标准答案：九=—2或九=].

知识点解析：3个3维向量a,a,a3线性相关㈡行列式IaaaI=（1-1）

（1-F-）:=>A=--

2=0,2或人=1.

TT

17、向量组ai=(l,-a,1,1),a2=(L1，-a,l),a3=(l,1,1,—aj的

秩为_______.

[3,当aW-l,

标准答案：L，当。=一1.

知识点解析：对下列矩阵作初等变换:[aiQ2底3]=

-111--111-

-a110a+10

1-a100a+1

.11-a..000.由阶梯形矩阵可见，r=（ai，。2，a3）=

[3,当aX-1»

\1»当a=-1.

TT

18、若向量组（I）：ai=(l,0,0),a2=(l,l,0),a3=(l,1,1)丁可由向量组

（口）：Pi，02，饱，饱线性表示，则向量组（口）的秩为

标准答案：2.

知识点解析：由条件知方程组系数矩阵A的秩小于3,而由A的初等变换:

21、设向量组四（2,1,1,1),a2(2,1,a,a),as=(3,2,1,a),04=(4,3,

2,1）线性相关，且则@=

1

标准答案：2

知识点解析：以ai，。2,。3,以为行向量组构成4阶方阵A,则有IA|=（a-

1

l）（2a—1）=0,又故a=2，

三、解答题（本题共9题，每题7.0分，共9分。）

22、设向量组a1，az，013线性相关，而a2，。3，线性无关，问：（l）ai能否用

C12，a3线性表示?并证明之；（2）04能否用四，。2，线性表示?并证明之.

标准答案：（l）ai可由a?,（X3线性表示，由a2，a3线性无关，而ai，012，013线性相

关即可证明.（2）如不能由a1，a2,a3线性表示，否则，因如可由。2,。3线性表

示，得04可由。2，线性表示，这与C12，。3，q4线性无关矛盾.

知识点解析：暂无解析

23、设A是nxm矩阵，B是mxn矩阵（nVm）,且AB=E.证明：B的列向量组线

性无关.

标准答案：设B按列分块为B=“［02…外］，设有一组数十，％2，…，Xn使％的

+%2。2+…+XnBn=0,即BX=0,其中X=%，X2,…，Xnl’，两端左乘A,得

ABX=0,即X=0.故0］,02，…，Bn线性无关.

知识点解析：暂无解析

24、设A为n阶方阵，k为正整数，线性方程组人仅=0有解向量a,但A%

'a^O.证明：向量组a,Aa,...»人匕卜线性无关.

标准答案：设有一组数入1，入2'…,入k,使Qa+入2Aa+…+入kAk/a=O两端左乘

Ak-1,得入］Ak/a=O.因Ak"*O,得九［=0.类似可得入2=—=屣=。.故a，

Aa,…，A%%线性无关.

知识点解析：暂无解析

25、设囚，（12，…，an为n个n维列向量，证明：向量组四，a2，…，如线性无

•..•.•

aiaaia2a'a„

ajaiajaz•••a1明

D=*•*#0

•**••

：•••

关的充分必要条件是行列式a%ala2OnOn

标准答案:令矩阵A=[ai。2…aj则向量组ai，a2，…叫线性无关0IAI

两端取行

列式，得IAI2=D,故ai，…，的线性无关QD翔.

知识点解析：暂无解析

26、设n维列向量组四，a2,...»即线性无关，P为n阶方阵，证明：向量组

Pai，Pa2,…，Pan线性无关QIPI#).

标准答案：n个n维列向量Pa1，Pa2,…，Potn线性无关㈡行列式IPaiPa2…

PanI#0,而[PaiPa2...Pan]=P[aia2...an],两端取行列式,得IPai...PanI

=IPIIai...anI,又由已知条件知行列式Iai„.anI/)，故行列式I

Pai...PanI/)0IPI#0.

知识点解析：暂无解析

27、设囚=(1,1,1),a2=(h2,3),a3=(h3,t).(1)问t为何值时，向量组

ai，(12,a3线性无关？(2)当[为何值时,向量组ai，。2,。3线性相关？(3)当为，

a2，(13线性相关时，将表示为ai和的线性组合.

标准答案：由行列式I(aia2a3)TI=L5,知当行5时，aj,a?,013线性无关，当

t=5时，a]，a2，a3线性相关.当1=5时，由解方程组力囚+72(x2=013，得a?=—

ai+2(12.

知识点解析：暂无解析

T

28、设ai=(ai]，街2…，ain)(i=1,2,…，r：rVn)是n维实向量，且ai,

CL2，…，即线性无关.已知0=(h，b2,...»bnF是线性方程组

flllXl+。1212++=0

a21Tl+。2212++42“工,=0

+…+%，=0的非零解向量，试判断向量组四，…，ar,

。的线性相关性.

标准答案：线性无关.证明如下：由题设条件有bia」+b2ai2+…+加!=01四=0。

=1,2,…，r).设k|Q[+…+krar+kk+iP=O,用左乘用B’ct左乘两端并利用

65=0及II『||>(),得kr+i=O,nkiai+…+k「ar=O,又叫，…，如线

性无关，nk[=...=kr=0.故ai，…，ar»0线性无关.

知识点解析：暂无解析

TT

29、设有向量组（I）：ai=（l,0,2）,a2=（l,1,3）,a3=（b-1,a+2）T和向

量组（D）：pi=（l,2,a+3）L彷=（2,1,a+6）T,%=（2，1,a+4）T.试问：当

a为何值时，向量组（I）与向量组（口）等价?当a为何值时，向量组（I）与（II）不等

价？

标准答案：由