考研数学二（解答题）模拟试卷229

考研数学二（解答题）模拟试卷229

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

a0

0acb

a0

1、计算行列式b

标准答案：先把2至4列都加到第1列上，再2至4行都减去第1行,

c-b0

a-ba-6-c(把第2列加到第3列上)

-ba-b-c

ac-60

=(a+6+c)c-6a0

b-ba-b-c

=(a+6+c)(a.6-c)(ab-c)(a-bc).

知识点解析：暂无解析

lim（JP-z+1-a_r-6）=0

2、已知一•求a,b的值.

ft=—

标准答案：a=-l,2

知识点解析：暂无解析

p22"■010-

232.P=101

3、设矩阵A=L23.

901,B=P-,AP,求B+2E的特征值与特征向

量，其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

标准答案：A的特征值为人产入2=1，%=7,A的对应于特征值1的线性无关特征向

量可取为ni=（-l，1，0）T，m=（-l，o,1）T；对应于特征值7的特征向量可取为

2=（1，1，1）T.由A的特征值得A*的特征值为7,7,1,nB的特征值为7,7,

1,AB+2E的特征值为9,9,3,且对应特征向量分别可取为MnEl，I99,

p-、2=（-l，-1，1）T，P/n3=（0，1，1）T,故对应于特征值9的全部特征向量为

ki（l,-1,0）T+k2（-l，-1，1）T，对应于特征值3的全部特征向量为k3（0.1,1）T.

知识点解析：暂无解析

z2

：z=Jarctan——yarctan三，求dzj(i.n及

4、设ny

——x-------r•-----2yarctan------y•

3y-y工y

xxy2dzI,K

=~F~；~t-2yarctanr-7-，丁=1一丁,

“+yyz+y2

dz1().))=修-1)dx+(1-y)dj.

a"z__2.]J+»')-_3y2(_十/)一刀,

‘“办”―/工(x2+>J)2(x2+y2)2

1+P

二一―—―—一

标准答案：(12+/)2/+/♦

知识点解析：暂无解析

5、求下列曲线的曲率或曲率半径：（I）求y=ln%在点（1,0）处的曲率半径.（口）

求x=t—ln（l+t2）,y=arctant在t=2处的曲率.

亚曲/=-L,/

标准答案：（I）先求dx'd，，然后代公式：工X2,于是，在任意

1

K1/1/x

（1+d）3々一八+/A-T77P万・

点%>0处曲率为IJ于是

-L-23/2

K-1

曲线在点（1,0）处的曲率半径p（口）利用由参数方程确定的函

数的求号法则，得

业=匹=1立=[11'•包=-22(1♦产)

25

dxxt(‘一[)2d#21(/-1)Jdx(,_])3%；(1-I)

I川=£

于是所求曲率为K=(I+/"”"2后

知识点解析：暂无解析

-32-2-

-k-1k

6、设A=142一3」，问当k取何值时，存在可逆矩阵P,使得P」AP成为

对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵.

标准答案：由IXE-AI=

-22

2+1-k

04+1=Q+

1)2(九一1)=0得A的全部特征值为入产入2=-1，M=1.故A可对角化QA的属

于2重特征值Q=上=-1的线性无关特征向量有2个Q方程组(一E—A)%=0的

-4-22'

rk0-A=]Q

基础解系含2个向量O3—r(—E—A)=2Qr(—E—A)=L-4-22Jk

=0.当k=0时，可求出A的对应于特征值一1,一1；1的线性无关特征向量分别

T

可取为2,0),，a2=(|,0,2)1，a3=(l，0,1),故令P=[aia2a3]=

--11I"

200

-021」，则有p/P=diag(-1,-1,1).

知识点解析：暂无解析

7、将长为a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段

面积之和最小，问两段铁丝各长多少？

标准答案：设围成圆的铁丝长为x,则围成正方形的铁丝长为a-x,于是圆的半径

尸2"，正方形边长口⑶x),问题是求面积S(x尸，x£(0,a)的最小值点.由时面

积和最小.

知谡点解析：暂无解析

8、求解下列方程：(I)求方程xy〃=y1ny，的通解；(口)求丫丫〃=2〃2一0满足初

始条件y(0)=l,y，=(0)=2的特解.

011-11

10xxx

1xQ•••xx

•♦••♦•

♦•••

xx•••0x

1xx•••x0

10、计算行列式Dn=其中n>2o

标准答案：把第1行的(一x)倍分别加到第2,3,…，n行，得

011•••11

1-X0•♦•00

10-X•••00

丸=*••*•

*.*•.•■

100•••-X0

•••

1000一X当x和时,再把第j(j=2,3,…，n)列

1

的X倍加到第1歹U，Dn化成了上三角行列式Dn=

七」11-11

X

0-%000

00-x00

••••••

•••••••

000…70

000-0-X二(一l)nT(n-l)xn—2。当x=0时，显然有

总有Dn=(一»T(n—1)x12。a

Dn=0,所以当n>2时,

知识点解析：暂无解析

()Z—N

11、设2=取一丫+88一丫-z)),其中f,g可微，求

标准答案：等式z=f(%—y+gOc—y—z))两边对“求偏导得

3z="+/(】一制,解得力年,等式

石

—z))两边对y求偏导得

dz=’.[7+八(一一飘,解噫一年.

知识点解析：暂无解析

设三阶实对称矩阵A的特征值入]=1,入2=2,入3=一2,ai=(l,一1,1),是A的属

于特征值入I的一个特征向量，记B=A5—4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。

12、验证内是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

标准答案：由Aai=ai得A%i=Aai=ai，依次递推，则有人3囚=(!],A3ai=ai，故

Bai=(A5-4A3+E)ai=A5ai―4A%+川二一2ai,即cq是矩阵B的属于特征值一2

的特征向量。由关系式B=A5-4A3+E及A的三个特征值九产1,九2=2,履=一2得

B的三个特征值为卜11=-2,眼=1,|13=lo设«2,a3为B的属于阳=四3=1的两个线性

无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此ai,a2,a3正交，即

TT

aia2=O,aia3=Oo因此a2,a3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即

*1]•--r

(1.-1,1)x2=0：10，故可取00

得其基础解系为LO」1-L1」B

其中k#0,k2,k3不同时为零。

知识点解析：暂无解析

13、求矩阵B。

■o1-r

=101

标准答案：I-1】。「

知识点解析：暂无解析

T

14、给定向量组(l)ai=(l,0,2)1，a2=(h1,3),a3=(h-1,+2)丁和(口)仇

=(1,2,a+3)T,次=(2,1,a+b)三饱=(2,1,a+4)T.当口为何值时(I)和

(D)等价?a为何值时(I)和(n)不等价？

标准答案：思路（I）和（口）等价用秩来刻画,即r(a],(12，。3,Pb。2,P3)=r(ai，

a2,as）=r（Pi，的，

1.22

.J

«iM2，aj0i，0?出)=021

I

L23a+2：a+3a+6n+4-

rii22

012

L00

P3)・a+I•a当

a+l=O时,r(ai，a2»(X3)=2,而r(ai，9,a3，仇，02，饱）=3,因此（I）与（11）

不等价.当a+1和时,r（a）,(X2,。3，仇，仞，p3）=r（ai，。2，a3）=3.再来计算

邓I，02,

122333

（？1，夕2，角）=21I21I

La+3+6a+4」a+3+6a+4」

1

010-I

LL

「3）.36400-2」则

邓1，P2,饱)=3(与a无关).于是a+1和时（I）与（口）等价.

知识点解析：暂无解析

与+以=0,

15、设四元齐次线性方程组⑴为一4=°，又已知某齐次线性方程组（II）的通解

为（1）求线性方程组（I）的基础解系；（2）问线性方程组（I）和（U）是否有非零公共解?若

有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.

标准答案：（1）线性方程组⑴的解为..，得所求基础解

系言二[0,o,1,o]T,z=[—1,1,o,i]T.（2）将方程组（n）的通解代入方程组

/1+&=0,

⑴，得九】十即=°，，即k尸一k2.当k尸一k2#）时，方程组⑴和⑴）有非零公共

解，且为x=一k2[0,1,1,0『+k2]—1,2,2,l]T=k2[一1,1,1,l]T=k[一1,

1，1，1『，其中k为任意非零常数.

知识点解析：暂无解析

Ax

16、计算积分J。1+cos2x'

标准答案：

户(Lz1件sec2xdx=-^-tanz1_

2

Jo1+cos2xJo2cosx2.00

知识点解析：暂无解析

17、设f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x,y)K).证明：存在

/(z，《y)g(z,y)d(y=g(N,»)ch

&n)ED,使得噂出

标准答案：因为f(x,y)在D上连续，所以f(x,y)在D上取到最大值M和最小值

m,故mSRx,y)<M,又由g(x,y20得mg(x,y)<f(x,y)g(x,y)<Mg(x,y)积分

mlg(x,y)d<y<屋4呀屋]，、)“xi

得也。*⑴当f(x,y)g(x,

y)do=0,则对任意的(0n)6D,有(2)当(x,y)do>0时，由由介值定理，存在

化，”)WD,使得f(。n)=即

知识点解析：暂无解析

18、设a>1,f(t)=a'-at在(一oo,+oo)内的驻点为t(aj.问a为何值时，t(a)最小?并求

出最小值.

]InIna

标准答案：由「(t)=a'lna—*a=0,得唯一驻点t(a户足。又

11..

---InIna.

at

r(a)=2=.HnJna=Ot

(lna)a(lnfl)得唯一驻点a=ee.当a>「时，r(a)>()；当a

1-

V©e时，r(a)V0,因此td尸©为极小值，从而也是最小值.

知识点解析：暂无解析

19、求微分方程y〃+y=/+3+cosx的通解.

标准答案：特征方程为d+1=0,特征值为3=—i,