考研数一真题

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题

⑴当x—>0时,/(x)=x-sinax与g(%)=x2In(l-hr)等价无穷小，则

.1…1

(A)^=!,/?=——(B)tZ=1,Z?=—

66

(C)a——\yh―――(D)a——\yb——

66

(2)如图，正方形{(x,y)|H<U|>j<l|被其对角线划分为四个区域

Dk(k=1,2,3,4)Jk=jjycosxdxdy，则max{/J=

(A)/,

(B)/2

(C)/3(D)/4

(3)设函数y=/(x)在区间上的图形为

则函数尸(x)=J；/(r)力的图形为

/(x)

(A)(B)

/(X)

(4)设有两个数列{勺},{"},若lima”=0,则

(人)当£。收敛时,£a也收敛.(B)当发散时,£>,也,发散.

w=l〃=1n=ln=l

©当£闻收敛时,£>,我收敛.

①)当EM发散吐£。:明发散

n=ln=l/r=ln=\

⑸设%外小是3维向量空间R’的一组基,则由基叫」％」%到基冈+a2,a2+ava3+a,的过渡矩阵为

3

“or(\20、

(A)220(B)023

,033,J03,

U_L」、，£,1

24~6222

(D)]\_

44

J」1I

<2"46>666>

fOA、

(6)设A,B均为2阶矩阵,A",B”分别为A,B的伴随矩阵，若|A|=2,网=3,则分块矩阵的伴随矩阵为

30)

，O38"O2B*、

(A)(B)

12A.O、3A+

O34+、O24、

(D)

0,

x-V

⑺设随机变量X的分布函数为F")=0.3①(x)+0.7①，其中①(x)为标准正态分布函数，则EX=

(A)0(B)0.3

(00.7(D)l

⑻设随机变量x与y相互独立，且x服从标准正态分布N(O/)，y的概率分布为P{Y=O}=P{Y=I)=1,

记F7(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数F7(z)的间断点个数为

(A)0(B)l

(02(D)3

二、填空题

(9)设函数/(〃,u)具有二阶连续偏导数,z=/(乂刈)，则急=.

(10)若二阶常系数线性齐次微分方程)，"+"'+外=0的通解为y=(C,+Gx)e\则非齐次方程

/+缈'+勿，=X满足条件)，(0)=2,y(0)=0的解为y=.

(11)已知曲线L:y=x2(0<x<及)，则£AZ/V=.

(12)设O={(尤,y,Z，/十y?十z?S1},则川zrdxdydz-.

Q

(13)若3维列向量a平满足其中/为a的转置，则矩阵pa?的非零特征值为.

(14)设x,乂2,…,X”,为来自二项分布总体3(〃,p)的简单随机样本，灭和S?分别为样本均值和样本方差.若

5+AS?为叩2的无偏估计量，则k=.

三、解答题

(15)(本题满分9分)

求二元函数f(x,y)=fQ+y)+4my的极值.

(16)(本题满分9分)

设%为曲线>=£与尸”(力=1,2,.....)所围成区域的面积，记H=£>“§=£>5求5与S2的值.

n=\n=\

(17)(本题满分11分)

2222

椭球面’是椭圆?+《=1绕工轴旋转而成,圆锥面5?是过点(4,0)且与椭圆?+方=1相切的直线绕X轴

旋转而成.

(1)求，及其的方程.

⑵求与邑之间的立体体积.

(18)(本题满分11分)

⑴证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在口，目上连续，在(。力)可导，则存在力)，使得

⑵证明:若函数在x=0处连续，在(O»)(b>O)内可导，且lim/(x)-A,m力(0)存在，旦£(O)=A.

(19)(本题满分10分)

计算曲面积分I=勺史必士在空芈空，其中Z是曲面2d+2)3+Z2=4的外侧.

I(X2+/+Z2)2

(20)(本题满分11分)

⑴求满足的b.A2g3=&的所有向量g2，基・

⑵对⑴中的任意向量电，斜证明可叫2抬3无关♦

(21)(本题满分11分)

设二次型/(N,々，/3)=若+应+(47-l)xj+2x^3-2X2XJ.

(1)求二次型/的矩阵的所有特征值；

⑵若二次型/的规范形为)，；+总求〃的值.

(22)(本题满分11分)

袋中有I个红色球,2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以X,y,Z分别表示两次取球

所取得的红球、黑球与白球的个数.

⑴求〃{