考研数学一（线性代数）模拟试卷91

考研数学一(线性代数)模拟试卷91

一、选择题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

1、设A为四阶非零矩阵,且r(A*)=1,则().

A、r(A)=l

B、r(A)=2

C、r(A)=3

D、r(A)=4

标准答案：C

知识点解析：因为r(A*)=l,所以r(A)=4—1=3,选(C).

2、设n维列向量组四，ot2，…，am(mVn)线性无关，则n维列向量组”，

02,…，pm线性无关的充分必要条件是().

A、向量组Ct],。2，…,am可由向量组|九，口2，…，13m线性表示

B、向量组0],「2，…，Pm可由向量组的，。2，…，Qm线性表示

C、向量组(X],。2，…，am与向量组。1，例，…，13m等价

D、矩阵A=(CI|,。2,…,Clm)与矩阵B=(0],。2,…,Pm)等价

标准答案：D

知识点解析：因为四,(12，…，am线性无关,所以向量组a[,CL2，…，am的秩为

m,向量组仇，02,…，Pm线性无关的充分必要条件是其秩为m,所以选(D).

3、设A,B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P,使得AP=B,则().

A、A,B合同

B、A,B相似

C、方程组AX=O与BX=O同解

D、r(A)=r(B)

标准答案：D

知识点解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B),选(D).

4、设ai，。2，底3，P1»的都是四维列向量，且IAI=Ieq,a2，a3，PiI=m,I

BI=Iai,a2，02,9I=n,则I(13,a，ai»P1+P2I为().

A、m+n

B、m一n

C、一(m+n)

DNn一m

标准答案：D

知识点解析：Ia3,a2,ai,Pi+02I=I。3，。2，r，piI+Ias,a?,ai,

P2I=—I四，a2,a3,PiI-Iai,a2,013,02I二一Iai,012，as,mI

+Iai,a2，P2>asI=n-m,选(D).

5、设A,B,A+B,Ar+Br皆为可逆矩阵，贝1」(人「+8-1)-1等于().

A、A+B

B、A-1+B-1

C^A(A+B)-,B

D、(A+B)-1

标准答案：C

知识点解析：A(A+B)­,B(A_,+B-,)=[(A+B)A-,]_|(BA-,+E)=(BA_I+E)-,(BA-

1+E)=E,所以选(C).

6、设ai，012，…，aM与佻，02，…，氏为两个n维向量组，且r(cq,a2,…，

ani)=r(Pi,取，…，Ps)=r,则().

A、两个向量组等价

B、r(ct|9a2，・・.，am，。1，02，・・.，0s)=r

C、若向量组ai，(X2，…，am可由向量组Pl，02，…，0S线性表示，则两向量组

等价

D、两向量组构成的矩阵等价

标准答案：C

知识点解析：不妨设向量组四，012，…，am的极大线性无关组为⑴，a2,

a「向量组仇，02，…，0s的极大线性无关组为伙，02，…，仇，若囚，a2，

am可由仇，「2，…，0s线性表示，则ai，。2，…，％,也可由价，02，…，01•线

性表示，若01，「2，…，0r不可由ai，a2，…，6线性表示，则P1，「2，…，Ps

也不可由a],a2,…，am线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C).

7、设A是mxn阶矩阵，B是nxm阶矩阵，则().

A、当m>n时，线性齐次方程组ABX=O有非零解

B、当巾>11时，线性齐次方程组ABX=0只有零解

C、当n>m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解

D、当n>m时，线性齐次方程组ABX=O只有零解

标准答案：A

知识点解析：AB为m阶方阵，当m>n时，因为r(A)gn,r(B)Sn且

r(AB)<min{r(A),r(B)J,所以r(AB)<m,于是方程组ABX=O有非零解,选(A).

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

z+2—23

12J+34

8、设f(x)二一23z+l则x2项的系数为

标准答案：23

知识点解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于

(x+2)(2x+3)(3x+l),且该项带正号，所以X2项的系数为23.

101

020

9、设A」。01则(A+3E)—1A2-9E)=

-201

0-10

标准答案:00-2

-1

知识点解析：(A+3E)/A2—9E)=(A+3E)(A+3E)(A-3E)=A—3E=

-201

0—10

00-2

±

10^设n维列向量a=(a,0,...»0,a)T,其中aVO,又A=E—aaT,B=E+a

aaT,且B为A的逆矩阵，则a=.

标准答案：/凶

11

知识点解析：由AB=(E-a(/)(E+aaa1)=E+aaa-aa12aaa1=Efi.aa1/O,

1

得0—1—2a=0»解得a=-1.

II、设ai，a2,a3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，r(A)=3,且

1-2

-14

32

ai+oi2=、2，。2+。3=一8，，则方程组AX=b的通解为.

-1）

2

1

标准答案:一4,（k为任意常数）

知识点解析：因为r（A）=3,所以方程组AX=b的通解为K4+n，其中？013—

(X|=((X2+a3)一

-3-1，一3

5252

(a】T-cO—•牛=}(a+小）=•于是方程电的通解为(k

-11-11

、一10-4-10-4>

为任意常数）.

100600

A=0jr3=2v0

、00-1,

12、设A〜B,其中042,,则x=________,

y=-----------

标准答案：x=3,y=l

ftr(A)=tr(B)即［3+/=5+》

知识点解析：因为A〜B所以1A|=lB|'I2i—12=—6乂解得x=3,

y=i-

220

82a

13、设A=0°6,有三个线性无关的特征向量，则a二

标准答案：0

知识点解析：由I加一AI=0得A的特征值为九尸一2,入2=入3=6.因为A有三个

线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r（6E—A）=l,解得a=0.

三、解答题（本题共〃题，每题1.0分，共“分。）

14、设A为n阶可逆矩阵，A2=IAIE.证明：A=A”.

标准答案：因为AA*=IAIE,又已知A2=IAIE,所以AA*=A2,而A可逆,

故A=A”.

知识点解析：暂无解析

15、设向量组为，…，如为两两正交的非零向量组，证明：ai，如线性无

关，举例说明逆命题不成立.

标准答案:令k]ai+…十%即=0，由al，…,an两两正交及31，kiai+...+knan)=O,

得k](ai，ai)=O,而(ai,ai)=IaiI2>0,于是ki=O,同理可证k2=...=kn=0,故

ai，如线性无关，令"一O’"一(一2),显然⑴，a2线性无关，但

ai，012不正交.

知识点解析：暂无解析

16、设四，(12，为四维列向量组，ai，a?线性无关，a3=3aj+2a2，A=(ai,g，

a3),求AX=O的一个基础解系.

标准答案：方法一AX=Oxiai+x2a2+x3a3=0,由a3=3ai+2a2可得

(xi+3x3)a1+(X2+2x3)a2=0,因为ai，。2线性无关，因此

fxi+3x=0

<I。3c=AX=o的一个基础解系为g=_2

1<方法二由r(A)=2可知

AX=O的基础解系含有一个线性无关的解向量，而3ai+2a2—a3=0,因此《=

3

2

一1J为AX=O的一个基础解系.

知识点解析：暂无解析

17、若一例(误j),求ATX=b的解;

标准答案：D=IATI=(04-ai)(a4-a2)(a4一@3)(23-ai)(a3-a2)(a2-ai),若

后可(咕)，则D¥0,方程组有唯一解,又Di=D2=D3=0,D4=D,所以方程组的唯一

解为X=(0,0,0,1)T；

知识点解析：暂无解析

18、若ai=a3=a#),a2=a4=-a,求A’X二b的通解.

标准答案:当a।=a'=a#),a2=a4=一a时,

1aa2a3a310a200

1-aa2-a3—a3010a2a2

(AT:b)=

1aa2a3a300000

233

1—aa-a—a.00000,,方程组通

9T2T2T

解为X=U（一a~,0,1,0)+k2(0,-a,0,l)+(0,a,0,0)(i，k2为任意常

数）.

知识点解析：暂无解析

1一11

a4b

19、设A=〔一3—35

已知A有三个线性无关的特征向量且入=2为矩阵A

的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P「AP为对角矩阵.

标准答案：由加=入2=2及Xi+X2+A，3=tr(A)=10得入3=6.因为矩阵A有三个线性无关

的特征向量，所以r(2E—A)=l,

11一111-1

由2E—A=-a-2-b—►0a—2-a—b得a=2,6=-2.

33一3,000

为=船=2代人(AE-A)X=O,

11-1-1

由2E-A—000得知=%=2对应的线性无关的特征向量为g=1,殁=

000.,0

r

o；

1

入3=6代入(AEA)X=O,

101

51-111-1

由6E—A=-222f52

01得23=6对应的线性无

33133I

000

1

关的特征向量为%=—2

3

-111200

令「=10-2，则P可逆，且尸AP=020

013006

知识点解析：暂无解析

20、设A为三阶矩阵,Aai=iai(i=l,2,3),

12-2

a]=2,a2=-2,。3=­1

212,求A.

标准答案：令

1

2，于是

3

A=P

知识点解析：暂无解析

112

1—10

T00

设二次型f(xi，X2，X3)=XAX,tr(A)=l,又8=且AB=O.

21、求正交矩阵Q,使得在正交变换X二QY下二次型化为标准形.

111I

A1=O.A—1=O,即。1

、0}

标准答案:由AB=O得

九=0的两个线性无关的特征向量，从而入=0为至少二重特征值，又由tr(A)=l得

九3二1，即入产入2=0,

入3二1.

©

令人3=1对应的特征向量为=4，

因为川b=A,所以＜a；as=O*w]Hi+z2=0

a?a3=O.I©—x2=0

0

解得船=1对应的线件无关的特征向量为小=0

1

11

0

r10,

令力V

1,y2=-1，%=0，所求的正交矩阵为Q=11

i0

o,01坛一方

001

且MAX=yl.

知识点解析：暂无解析

22、求矩阵A.

000,000000

000得A=Q000QT=000

标准答案：由QTAQ二,001001001

知识点解析•：暂无解析

23、设A为n阶矩阵，证明：r(A)=l的充分必要条件是存在n维非零列向量a,

0,使得A=apT.

标准答案：设r(A)=l,则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，令

a16)a\b2a\b„(i\仇

a2blazbi•••。山《az02bz

A=，于是A=•(byb2…bn),令a=*,P=

•••*■

•••*•

a/iaJ)2…a/.,41也

,故人=。f，显然a,p为非零向量，设A=a[f,其中a,[3为非零向量，则A为

非零矩阵，于是r(A巨1,又r(A)=r(a|f)3(a尸1,故r(A)=l.

知识点解析：暂无解析

设ai，a?，Pi»02为三维列向量组，且a1，a2与。1，。2都线性无关.

24、证明：至少存在一个非零向量可同时由ai，a2和仇，的线性表示；

标准答案：因为ai，a2,Pi，的线性相关，所以存在不全为零的常数七，k2,h，

b»使得kiai+k2a2+1的+12p2=0,或kiai+k2a2=—1的一12P2・令尸k]ai+k2a2;一

hPi—hp2»因为cq,(X2与01，p2都线性无关,所以k|,k2及h，12都不全为零,

席以"0.

知识点解析：暂无解析

'1，21

=1,02=0—1,从=-1

25、设101.3.1,求出可由两组向量同时线

性表示的向量.

标准答案：令k1a1+k2«2+liPi+hp2=0,

1211121

A=(a),a?，小遇)=11-3-20132

0310001

112010-1

0130013

0001000

所以y=kai—3ka2=-kpi+0p2.

知识点解析：暂无解析

26、证明:r(AB)<min{r(A),r(B)}.

标准答案：令r(B尸r,HX=0的基础解系含有n—r个线性无关的解向量，因为

BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量

的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n-

r(AB)>n—r(B),r(AB)<r(B)；又因为r[(AB)T]=r(AB)=r(BTAT)q(AT)=r(A),所以

r(AB)<min{r(A),r(B)).

知识点解析：暂无解析

-102

a1a-2

27、设八=-304有三个线性无关的特征向量，求A及Al

A+l0-2

—a4一12-a

标准答案：由IXF-A=3°A-4=0,得入]=Q=I,4=2.E—A=

20-2[10-1

-a002-2a

0

.30-3(0°1,因为矩阵A有三个线性无关的特征向量,

所以A一定可对角化,从而r(E—A)=l»

-102

即a=1,故A=11-1.

-304

由a=1时，由(E-A)X=0,得筝=

2

由;1=2时，由(2E-A)X=0•得备=-1

3

012[1

令P=(&,&,却)=10-1，则=•两边〃次诲得

013)2

1

?以乎=1

13—2―02山一2

从而A"=P2--111-2-

3-3X2"03X2"-2

知识点解析：暂无解析

©+“2+13=11-i

2皿+(a+2)H2+(a+Di3=a+3有无穷多个解・6=(1.。2=1