考研数学二（常微分方程）模拟试卷24

考研数学二（常微分方程）模拟试卷24

一、选择题（本题共7题，每题7.0分，共7分。）

I、设线性无关的函数yi.y2,y3都是二阶非齐次线性微分方程y"+py'+qy=f（x）的

解，5、C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是

A、Ciyi+C2y2+y3

B、C1Y2+C2Y2-*（c1+C2）y3

c^Jyi+C2y2一（1一Ci—C2）y3

D、Dyi+C2y2+（1―Ci—C2R3

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

二、填空题（本题共4题，每题分，共4分。）

申

2^微分方程"=y（xy—x+y—1）的通解为______.

标准答案：,=口一汽平:r

知识点解析：暂无解析

3^微分方程（y?+x）dx—2xydy=O的通解为.

标准答案：y2=x（ln|x|+C）

知识点解析：暂无解析

，=]

4、微分方程“一五F的通解为.

标准答案："C产+白+齐++

知识点解析：暂无解析

5、方程y"-3y'+2y=2e'的通解为.

标准答案：y=C）ex+C2e2x-2xex

知识点解析：暂无解析

三、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

6、求微分方程di2z+3y+2的通解.

知识点解析：暂无解析

7、求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：l)y，+l=xcx+y.2)

1t+sin(«r+y)=0.

3)y,+ytanx=cosx4)(l+x)y"+y'=05)yy“一(y')=y,

y(O)=l.y'(0尸06)y"+4y-l=07)y"+9y=cos(2x+5)8)y”，一3y,,+9y,+13y=e2xsin2x

1)c'=(?'*(('-----)

标准答案：22)x(csc(x+y)-cot(x+y))=C3)y=(x+C)cosx

7)y—C；cos3.r+('；sin3.r+-=-cos(2.r4-5)

8)y=C；e*+e2r(G:~A)cos3.r-J-(C；—占)zin3«r]

4)y=Ciln|l+x|+C2L363bJ

知识点解析：暂无解析

8、已知y】=3,y2=3+x2,y3=3+ex.是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方

程.

标准答案：所求方程为(2x—x2)y”+(x2—2)y，+2(l—x)y=6(l-x).通解为：

y=Cix2+C2ex+3

知识点解析：暂无解析

9、已知函数y=e2x+(x+l)e'是二阶常系数线性非齐次方程y,,+ay,+by=cex的一个特

解，试确定常数a,b,c及该方程的通解..

标准答案：a=一3»b=2,c=一1.y=C।e2x+C2ex+xex

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|2,若*V】

10、设有微分方程y'—2y=(p(x),其中(p(x尸m.若试求在(一8,+oo)内的连

续函数y=y(x),使之在(一8,1),(1,+QO)内都满足所给方程，且满足条件

y(o)=o.

/广一】•若彳41

v(.r)='

标准答案「"1一『)/,若/>1

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II、已知y”+(x+e2y)y'3=0。若把x看成因变量，y看成自变量，则方程化为什么形

式?并求此方程通解.

标准答案：原方程化为X.—x=e2y.通解为x=Qey+C2e-y+3

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12、求分别满足下列关系式的f(x).l)f(x)=foxf(t)dt,其中f(x)为连续函数；

2)f(x)+xf(-x)=x

ln<1-,)r(,

标准答案：l)f(x)=O.2)x-arctanx+2

知识点解析：暂无解析

13、设f(x)连续,且卜就)出二十""+1,求f(x).

标准答案：f(x)=Cx+2.

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14、设f(x)在x>0上有定义，且对任意正实数x,yf(xy尸xf(y)+yf(x)f(l)=2,试求

f(x).

标准答案：f(x)=2xlnx.

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15、设(p(x)连续，且(p(x)+J()x(x—u)(p(u)du=e'+2xJ(J(p(xu)du,试求(p(x)-

J*)=e>十+-.r2ef

标准答案：》2

知识点解析•：暂无解析

16、设f(x)在(0,+8)上可导，f(l)=3.八丫他)出^^|⑴dt+yJrf(i)dt求f(x).

标准答案：f(x)=31nx+3

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17、设(r,。)为极坐标，r>0,0<0<2n,设u=u(r,0)具有二阶连续偏导数，并满足

也=0,久十强

30力'=0,求u(r,0).

标准答案：u=Ci+C21nr

知识点解析：暂无解析

18、设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且涉足fu,(u,v)十f、，'(u,v尸uv求y=e2'f(x,

x)所满足的一阶微分方程，并求其通解.

(卜(力'

标准答案：y5+2y=x2e-2x

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+IT/(V)-力,

19、设函数f(t)=八八〃2,且f(t)连续，试求f(t).

标准答案：f(t)=(47it2+l)

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20、求方程y(*-y”=0的一个特解，使其在x—0时与x3为等价无穷小.

标准答案：y=-6x+3ex-3e-x

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21、设对任意x>0,曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于才工」

f(t)dt,求f(x)的一般表达式.

标准答案：f(x)=C|lnx+C2

知识点解析：暂无解析

22、在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在

该点的法线段PQ长度的导数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处的切线

与x轴平行.

标准答案：了十一，

知识点解析•：暂无解析

23、设函数f(x)在［1,+oo］上连续,若由曲线y=f(x),直线x=l,x=t(t>l)与x轴所

围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V(t)=3［rf(t)-f(l)］试求

=2_

y=f(x)所应满足的微分方程.并求该微分方程满足条件,一一§的解.

标准答案:3f2(t)=2tf(t)+t2f(t)

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24、以yOz坐标而上的平面曲线段y=f(z)(0Wzgh)绕z轴旋转所构成的旋转曲面和

xOy坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为16兀cn?,如果以3cm，/s的速

率把水注入容器，水表面的面积以兀cn?/s增大，试求曲线产f(z)的方程.

标准答案：y二f(z尸土4e3