考研数学二（线性方程组）模拟试卷20

考研数学二(线性方程组)模拟试卷20

一、选择题(本题共9题，每题L0分，共9分。)

1、非齐次线性方程组Ax二b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4,A是4x6

矩阵，则()

A、无法确定方程组是否有解。

B、方程组有无穷多解。

C、方程组有唯一解。

D、方程组无解。

标准答案：B

知识点解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解

的充要条件，旦方程组的未知数个数是6,而系数矩阵的秩为4,因此方程组有无

穷多解，故选B。

2、设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则线性方程组(AB)x=0()

A、当n>m时,仅有零解。

B、当n>m时,必有非零解。

C^当m>n时,仅有零解。

D、当m>n时,必有非零解。

标准答案：D

知识点解析:因为AB是m阶矩阵,且r(AB)Wmin/(A),r(B)}<min{m,n),所以

当m>n时，必有r(AB)Vm,根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，

选项D正确。

3、已知四，是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，那么四一2a2，4al—

X41一.3一

3a2，(2a1+(X2)，44中，仍是线性方程组Ax二b特解的共有()

A、4个

个

B、3

个

C、2

个

D、1

标准答案：C

知识点解析：由于Aai=b,Aa2=b,那么A(4ai—3a2)=4Aai—3Aa2=b,

▲(13\1.3.13

a

A’-4ra,+:4-a/I=4+7442=＞可知4ai—3a2，~4T\+V4%均是Ax=b

1A1

的解。而A(a]—2a2)=一b,A[4(2cq+。2[=4b。可知ai—2a2，(2oq+a2)不是

Ax二b的解。故应选C。

air

1a1

4、设A=L1。」，方程组Ax=O有非零解。a是一个三维非零列向量，若Ax=O

的任一解向量都可由a线性表出，则a=()

A、lo

B、一2o

C、1或一2。

D、-1<>

标准答案：B

知识点解析：由于Ax=O的任一解向量都可由a线性表出，所以a是Ax=O的基础

解系，即Ax=O的基础解系只含一个解向量，因此r(A)=2。由方程组Ax=O有非零

解可得，IAI=(a—l)2(a+2)=O,即a=l或一2。=a=l时，r(A)=l,舍去；当a二

一2时,r(A)=2o所以选B。

5、设A是秩为。一1的n阶矩阵，ai，a2是方程组Ax=O的两个不同的解向量，

则Ax=O的通解必定是()

A^aj+a2o

B、kan

C、k(a1+(x2)。

D、k(aj一。2)。

标准答案：D

知识点解析：因为A是秩为n—1的凡阶矩阵，所以Ax=0的基础解系只含一个非

零向量。又因为ai，(X2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，所以ai—az必为方

程组Ax=O的一个非零解，即四一a2是Ax=0的一个基础解系，所以Ax=0的通解

必定是k(a]一a2)。选D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常

数，所以选项A不正确；若凶=0,则选项B不正确；若a尸一。2,0,则

ai+a2=0,此时选项C不正确。

6、设n阶矩阵A的伴随矩阵A'#),若小，及，小，0是非齐次线性方程组Ax=b

的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=O的基础解系()

A、不存在。

B、仅含一个非零解向量。

C、含有两个线性无关的解向量。

D、含有三个线性无关的解向量。

标准答案：B

知识点解析：由A*翔可知，A*中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩

阵A中至少有一个n—1阶子式不为零，再由矩阵枚的定义有r(A巨n—1。乂因

Ax=b有互不相等的解知,即其解存在且不唯一，故有r(A)Vn,从而r(A)二11一1。

因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选Bo

7、设山，a2,(13是四元非齐次线性方程组人*=1)的三个解向量，且r(A)=3,

ai=(l,2,3,4)T,(12+013=(0，1，2,3)1,c表示任意常数,则线性方程组Ax二b

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：根据线性方程组解的结构性质，易知2al一®2+a3)=(2,3,4,5)丁是

Ax=0的一个非零解，所以应选C。

8、设A为n阶矩阵，A1＞是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0和

(n)AlAx=0,必有()

A、(I)的解是(E)的解，(H)的解也是(I)的解。

B、(I)的解是(口)的解，(口)的解不是(I)的解。

C、(口)的解是(1)的解，(1)的解不是(11)的解。

D、(11)的解不是(1)的解，(1)的解也不是(口)的解。

标准答案：A

知识点解析：如果a是(1)的解，有Aa=0,nJWATAa=AT(Aa)=AT0=0,即a是(2)

的解。故(1)的解必是(2)的解。反之，若a是(2)的解，有ATAOI=(),用P左乘可得

TTTTTT

O=aO=a(AAa)=(aA)(Aa)=(Aa)(Aa),若设Ac=(b],b2，…，bn),那么

T222

(Aa)(Aa)=b1+ba+...+bn=0bi=0(i=1»2,…，n),即Aa=0,说明a是⑴的

解。因此(2)的解也必是(1)的解。所以应选A。

9、设A为n阶方阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解向量，A*是A的

伴随矩阵，则()

A、A*x=0的解均是Ax=0的解。

QRI+a2x2=%与a2=(i7,4,2),是线性方程组

Xj+3X2-2X3=1,

2x,+Sx2+x3=8

的两个解，则此方程组的通解是_______O

标准答案：(6,-1,l)T+k(13,-5,-1)T,k为任意常数

知识点解析：一方面因为ai，a2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，所以

_13；

一定有r(A尸＜3。另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式25I=一

1加，所以一定有r(A巨2,因此必有r(A)="彳)=2。由n—r(A)=3—2=1可知，导

出组Ax=O的基础解系曰一个解向量构成，根据解的性质可知ai一ct2=(6,—1,

1)T一(一7,4,2)T=(13,-5,—1户是导出组Ax=0的非零解，即基础解系，则

方程组的通解为x=(6,-1,1)T+k(13,—5,11),，k为任意常数。

13、设A是秩为3的5x4矩阵，川，(12，(13是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同

TT

的解，如果a]+a2+2a3=(2,0,0,0),3ai+a2=(2,4,6,8),则方程组AX=b的

通解是O

T

标准答案：(2,O0,0)+k(0,2,3,4)T,k为任意常数

知识点解析：由于r(A)=3,所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4一r(A)=l个

解向量。又因为(ai+a2+2a3)—(3ai+a2尸2(a3一囚)二(0,-4,-6,一8产是

Ax=0的解，所以其基础解系为(0,2,3,4)丁，由

A(a1+a2+2a3)=Aa)+Aao+2Aas=4b,可知4(川+。2+2(13)是方程组Ax=b的一个解，

1

根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是(2,0,0,0)T+k(0,2,3,

4)、

『[23]

14、若42Jl46J,则x二________o

2-诙3.叫

标准答案：I巧力L其中X2,y2是任意常数

[I:]不可逆，故可设*=0)\

22

知识点解析：矩阵X2力叱

K]+x2=2,

可得线性方程组力+力=3,故x]=2—X2，yi=3—y2，所以X=

3-力]

孙力,其中X2，y2是任意常数。

三、解答题（本题共70题，每题1.0分，共70分。）

+anx2+…+5.4=与，

Q”与i+。22盯+…+a血=%,

(1)

叼+…+

15、已知方程组/+°«2有解，证明：方程组

a“阳+a2lx2+・・•+aMlx„=0,

3+。22盯+…位/=°，

%内+。2尸2+….。〜匕=0，

6西.3♦…=1无解。

标准答案：用A，4和乙，A2分别表示方程组（]）与⑵的系数矩阵和增广矩阵，则

^,=A2Te已知方程组（1）有解，故r（Ai）="4）。又由于（b],b2，…，bm，1）不能

由（a][,321>…，3m1»0）»（a12，322»…，3m2♦0），…，（31n»32n»…，3mn»0）

线性表示,所以

O'

〃0

■220

a&0

="4).

%…噎°

2A0

，b2…6.1」

.1o-ml

40

而=r(A；),

0Lau%、

故r(4：)#r(A2),再由r(A：)=r(Al)=r(41)=r(A；)=r(A?).可得r(A?)#r(A2)，所以方

程组(2)无解。

知识点解析：暂无解析

pXj+AX2+f£Xx+x4=0,

2.t)+x2+x3+2X4=0,

16、设线性方程组3/+(2+A)孙—4+”)x3+4/=1,已知(1,—1,1,-1)T

是该方程组的一个解，求方程组所有的解。

标准答案：将(1,一1,1,一1)T代入方程组可得入=2对增广矩阵作初等行变

换，可得

1AA1。AA1：O-I

II

A=2112；001-2A1-2A0；00I-2AI-2A0；0

4-2A♦

-32+A4+A41」-02-2A1-LO13

1

1；0

1-2

A二5时,A1

013

因为r(A)="4)=2V4,所以方程组有

⑴当-00000」

1

,1

无穷多解，其通解为(21,0,0)T+k|(l,一3,1,0)7+1<2(—1,一2,0,

2)丁，其中k”k2为任意常数。(口)当

1011：On

AW了时/一0110i00110iO

r(4)=3<4,所

LO131-00211」o因r(A)=

以方程组有无穷多解，其通解为(一1,0,0,l)T+k(2,—I,I,一2户，其中k

为任意常数。

知识点解析：暂无解析

'139'

206

已知A,B为三阶非零矩阵，且A」-?I-7」，p1=(o,1,一1/，p2=(0,

2,1)L饱=(6,1,0)T是齐次线性方程组Bx=O的三个解向量，且AX寸3有解。

求

17、a,b的值；

标准答案：由BWO,且仇，历，饱是齐次线性方程组Bx=O的三个解向量可知，向

0ab

121

量组由，阳的必线性相关，于是IB1，「2，「3I=一।।°=0,解得a=3b。

由AX邛3有解可知，线性方程组Ax邛3,的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对

1396]

206]-0-T2-26

5-A

L-3I-70」L000-~-

增广矩阵作初等行变换得(A,p3)=3」，

所以b=5,a=3b=15o

知识点解析：暂无解析

18、求Bx=0的通解。

标准答案：因为B¥O,所以r(B巨1,则3—r(B)S2。又因为由，的是Bx=0的两个

线性无关的解，故3—1(0巨2,故r(。尸1所以仇，的是Bx=0的一个基础解系,于

是Bx=0的通解为x=kifh+k2P2，其中ki，kz为任意常数。

知识点解析：暂无解析

Xj+«2+x5+x4+x5=a,

X

3x,+2X2+,+x4-3xs=0,

x2+2x3+2X4+6xs=b,

5%+4X+3x+3X-x=2。

19、已知线性方程组(2s45问；a、b为何值时，方程组

有解，并求出方程组的通解。

标准答案：

1111111：a-

11-3；001226：3a

B

226b0000016-3a

332--00000i2-2n-

fb-3a

方程组有解O"A)=r(8)=

12-2a

10-1-1-5：-2,

1

01226：3

当Q=1,且6=3时］—►

00000;0

1

-00000：0-原方

-^4-5%,=-2,

程组等价于匕2+23+2x,+6%=3,该方程组对应的齐次方程组为

■O'

0

-0-

得齐次方程组的一个基础解系

-2'

3

0

0

得方程组的一个特解n=0-，则方程组的通解为x=rj+k]K+k2及+k313,其中k|,

k2,k3为任意常数。

知识点解析：暂无解析

a”/+al3x2+…+可.%〃=0.

（]）知阳+。22巧+…+”2.租=0，

20、已知方程组+〜七+…+册&5=°的一个基础解系为（b]|,

b]2，…，bl.2n）T，（b21,b22，…，^2-211）,，…，（bnl，bn2，…，bn.2n）^<>试与出

“I力+bl2y2+…+61211y2,=0.

（2）62,+b22y?+…+—=0,

线性方程组心力+岫力+…+鼠入仄=o的通解，并说明理由。

标准答案：由题意可知，线性方程组⑵的通解为广C]（au，a]2,…，ai.

2n）+，2（a21,222,…，32,2n）+…+Cn（anl，Hn2»…，Hn.2n）^»其中C],C2,…，Cn

是任意的常数。这是因为：设方程组⑴和⑵的系数矩阵分别为A,B,则根据题

意可知ABT=O,因此BAT=（AB）T=O,可见A的n个行向量的转置为（2）的n个解

向量。由于B的秩为n,所以⑵的解空间的维数为2n—r（B）=2n—n=n,乂因为A

的秩等于2n与（1）的解空间的维数的差，即n,因此A的n个行向量是线性无关

的，从而它们的转置向量构成⑵的一个基础解系。

知识点解析：暂无解析

21、已知4x5矩阵A=（ai,012，as,04，as）,其中ai，a2,as，（u,as均为四维列

向量，cq,口2，04线性无关，又设口3=川一。4，（15=（x1+012+04，B=2a]+a2一

013+04+（x5,求Ax=p的通解。

标准答案：由于囚，a2,04线性无关，a3=ai—04-a5=ai+02+04»所以r（A）=3。

由已知条件P=2ai+a2—013+04+（x5,从而线性方程组Ax=p有特解n=（2,1,一1,

1,l)To由ot3=a]—04,a5=ai+a2+«4，可知导出组Ax=0的两个线性无关的解为

号=(1,0,一1,一1,0)T,々=(1,1,0,1,一1儿由r(A)=3,可知齐次线性

方程组Ax=0的基础解系由两个线性无关的解构成，故&2为Ax=0的基础解

系,方程组Ax=0的通解为x=r|+kiqi+k242，其中ki，kz为任意常数。

知识点解析：暂无解析

X.+x,=0.

(1):2(2)：

设四元齐次线性方程组44;0；与+”0c求:

22、方程组(1)与(2)的基础解系;

标准答案:求方程组(1)的基础解系：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换

110

010-m。分温,其基础解系可取为

0'

01

10

-01■求方程(2)的基础解系：对方程组(2)的系数矩阵作初等行变

-10011

1-11卜分别取

换01-1门山哨…

知识点解析：暂无解析

23、(1)与(2)的公共解。

标准答案：设X=(X|,X2,X3,X4)T为(1)与(2)的公共解，用两种方法求X的一般表

达式：将⑴的通解X=(C],—C],C2，-Cl)T代入⑵得C2=-2ci，这表明⑴的解

中所有形如(C1，一C1，-2ci，-C1)T的解也是(2)的解，从而是(1)与(2)的公共

解。因此(1)与(2)的公共解为X=k(—1,1,2,1)T,kGRo

知识点解析：暂无解析

aUX\+al2X2+…+4・乙=°,

02IX1+anx2+…+勺d”=0,

24、已知齐次线性方程组3+3……即:黑,“二；二二瓦,

Ql2Xl+a22X2+…+=8,

5抵+a2„x2+…+<1".=6.

biX|+b2X2+...+bnxn=0的解。试证明线性方程组有

解。

标准答案：由已知齐次线性方程组

«ii«i+anx2++ai^=0,

。21町+ax+…+=0,

n2(1)

+。7町+…+=°的所有解都是方程

b|Xiib2X2+...+bnXn=O(2)的解，可知方