考研数学三（微积分）模拟试卷74

考研数学三(微积分)模拟试卷74

一、填空题(本题共2题，每题7.0分，共2分。)

I、设*X尸盒可

标准答案：arcsi/丘+C

由/(sin2x)=3•，得/(x)=arcs'W

sinx丘

于是f2旦年=f—L=•竺竺*dz

J\/\—XJ-/I-XJx

=f卫嘤04=2faryM三一

J>/x>/l-xJ2G-J\—x

2

=2f吟”0山在)=arcsin石+C

J\/l-x

知识点解析:

ln(l+力)

2、设f(lnx尸,则依x)dx=

一团(Lj~0')-ln(l+er)+C

标准答案:

知识点解析:

由/(Inx)=皿土变得f(工)=必上共2

c

HOj/(x)d-r=|I"1占J)"=-Jln(l+e*)d(e*)

=—e-ln(14-eO+[=一也;此+f

Jl+ee1J14-e

=一皿一f-A—dd+e-O=一见空巨2-卜(1+e))+C

exJl+e*e*

二、解答题(本题共27题，每题1.0分，共27分。)

3、Sf(x)=3x2+Ax3(x>0),A为正常数，问A至少为多少时,f(x)>20?

标准答案：f(x)220等价于A220X3—3x5,令9(X)=20X3—3x5,由(p<x)=60x2一

15x4=0,得x=2,(p"(x)=120x—60x3,因为(p”(2尸一240V0,所以x=2为(p(x)的

最大值点，最大值为(p(2尸64,故A至少取64H寸，有f(x)N20.

知识点解析：暂无解析

4、设f(x)在[0,+8)内二阶可导，f(0)=-2,f(0)=1,4(x)K).证明：f(x)=0在(0,

+co)内有且仅有一个根.

标准答案：因为“X)K),所以r(x)单调不减，当x>o时，r(x)>r(o)=i.当x>o

[ini[ini

时，f(x)—f(0尸r©x,从而f(x)Nf(0)十x,因为川1f(0)+x]=+8,所以上要

]im

RX)=+8,由f(x)在[0,+8)上连续，且f(0)=—2<0,3f(x)=+8,则f(x)=0在

(0,+8)内至少有一个根，又由r(x)Nl>0,得方程的根是唯一的.

知识点解析：暂无解析

2n

设fn(x)=x+x4-...-i-x(n>2).

5、证明方程fn(x)=l有唯一的正根Xn；

标准答案：令(pn(X)=fn(X)=L因为5(0)=-1VO,(pn(l)=n—1>0,所以(pn(x)在

(0,1)U(O,+8)内有一个零点，即方程fn(x)=l在(0,48)内有一个根.因为

(p，n(x)=l+2x+...4-nxn1>0,所以(pn(x)在(0,+8)内单调增加，所以(pn(x)在(0,

+8)内的零点唯一，所以方程fn(X)=l在(0,+8)内有唯一正根，记为Xn.

知识点解析：暂无解析

limz..

6、求

22n

标准答案：由fn(Xn)一fn+l(Xn+l)=O，得(Xn-Xn+l)-(xn-*XXn+l)+...+(XXn

nn+1

Xn+|)=XXn+|>0,从而Xn>Xn+],所以{Xn}Xn=「单调减少，又Xn>O(n=l，

limlim、

2,...),故・一°°Xn存在，设・一°°Xn=A,显然AgXnWX]=l,由Xn+Xn~+…+xXnn=l,得

/匕=1,解得从=1,即1加工.=4-.

可1一-，；)=1,两边求极限得1-A所2...2

知识点解析：暂无解析

7、设a>0,讨论方程aex=x2根的个数.

标准答案：ae、=2等价于x?ex-a=0.令f(x)=x2ex-a,由f(x)=(2x—x2)e

x=o得x=0,x=2.当xVO时，f(x)<0；当0VxV2时，f(x)>0：当x>2时，

f(x)<0,于是x=0为极小点，极小值为f(0)=-a<0；x=2为极大点，极大值为

4

r.lim/(x)=+8,lim/(x)=-aV0.

f(2)=e-a,又1y

知识点解析：暂无解析

8、就k的不同取值情况，确定方程x3—3x+k=0根的个数.

,41limlim,0

标准答案：令f(x)=xS—3x+k,z-f(x)=—oo.-RxA+oo.由「8=3x2一

3=0,得驻点为xi=—LX2=l.f(x)=6x,由f(一1)二一6,f'(l)=6,得xi二一1,

x2=l分别为f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为f(一l)=2+k,

f(l)=k一2.(1)当k<一2时，方程只有一个根；(2)当上一2时，方程有两个

根，其中一个为x=-1,另一个位于(1,十oo)内；(3)当一2<k<2时，方程有三个

根，分别位于(-8,—1),(-1,1),(1,+8)内；(4)当k=2时,方程有两个艰,

一个位于(一8,—1)内，另一个为x=l；(5)当k>2时，方程只有一个根.

知识点解析：暂无解析

1

9、设k为常数，方程kx—"+l=O在(0,+8)内恰有一根，求k的取值范围.

标准答案：

令/(彳)=氏一十+(0,+0°)・

(1)若A>0.由limf(j)=-8,lim/(x)=+8，又/''(/)=A+±>0・

L。所以

原方程在(0,+8)内恰有一个实根；(2)若k=0,

limf(jc)=—8,lim=l>0,又/'(/)=-4>0,

L。'L+8./所以原方程也恰有一个

实根；(3)若kVO,

lim/(x)=-oo,lim/(J)=-8,令f(j)=4+±=0=>xo=---,

又/(j.)=一1V0.所以/(*)=1-2，二7为八了)的最大值.令1-2，二7二0,得

k=一十,所以k的取值范围是［卜=一：或

知识点解析：暂无解析

10、设f(x)在［-1,1］上可导,f(x)在x=0处二阶可导,且-(0)=0,『(0)=4.求

/(幻-+工)］

lrim*----------------------------------

L。x

标准答案：

lim=limne).二二皿3=

LOX4T-0XX4X*0X

=4"lim-'4s-•'=!/'(0)lim——2lim-.

对”>0,有ln(1+工)VSV«»*=■I"1+7)v互v1=>lim-=1.同理lim±=1,所

1zLO+zL0/

以原式=2.

知识点解析：暂无解析

11、设f(x)二阶连续可导且f(O)=F(O尸0,f,(x)>0.曲线y=f(x)上任一点(X,

..”(u)

.lim"/r.

f(x))(x和)处作切线,此切线在X轴上的截距为U,求I

标准答案：曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线方程为Y-f(x尸r(x)(X—x),令

Y=0得u=x—/(£)由泰勒公式得f(u)=2—(&)/,其中共介于o与u之间,

f(x)=2f'(^2)x2,其中自2介于0与x之间，

于是lim三94=Hm>-=lim-=工f'(K)一f《JC)

LOUJ(X)LOJXJ-0Xxf(x)

■/⑹―二1

^1?(x)4-(x)()

f/.।}(1)-f/(0)4-/(0)2,

知识点解析：暂无解析

K-3-—0,

/(x)=<]

12、设函数L，z=0,其中g(x)二阶连续可导，且

g(O)=l.(1)确定常数a,使得f(x)在x=0处连续；(2)求P(x)；(3)讨论F(x)在x=0

处的连续性.

标准答案：

(l)lim/(x)=lim-二3=1而国1口(。)+匕受当=，⑹.

iz-cxLOLIx

当a=g/CO)时,/(x)在z=0处连续.

(2)当]f0时,/(1)=+-%]][gQ)二cos/]

♦二)一。血一厂(0),

而标八更一八°)=lim——--------------------=limMl二口厂8⑹才

x-0XLON•r^ox7

=也二,士疗-八。)=｝同四产+萼卜|CZ<O)+1］

z[g'(z)+siar]-[g(工)-cosi]

2，工产nU

所以r(1)

yLg*<0)+1],x=0.

⑶lirn/(x)=J

=Hmg(/)+sin/+/[?”(“)+CO$K]-g(/)—sin/

o2JC

=lim)［#"(］)+1］=J「/(0)+1」

/♦0/Z

因为lim/'G)=，(0),所以/(J-)在才=0处连续.

z-*0

知识点解析：暂无解析

13、设f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,且3(a)f(b)V0.证明：存在

眄a,b),使得>©=0.

标准答案：不妨设f+'⑶>0,f-'(b)V0,根据极限的保号性，由f+'(a)=

1而£(工)二也1

一J/—0>0,则存在6>0(3Vb—a),当OVx—a<5时，

f(工)一/Q)

1>0,即f(x)>f(a),所以存在xiW(a,b),使得f(x］)>f(a).同理由f

-(b)<0,存在xoE(a,b),使得f(X2)>f(b).因为f(x)在［a,b］上连续，且f(xi)>

f(a),f(x2)>f(b),所以f(x)的最大值在(a,b)内取到，即存在乐(a,b),使得陶为

f(x)在［a,b］上的最大值,故>(9=0.

知识点解析：暂无解析

£

14、设f(x)在［0,2］上三阶连续可导，且f(0)=l,f(l)=0,f(2)=可.证明：存在

&€(0,2),使得f'(9=2.

标准答案：先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d,使得P(O)=f(O)=LP5(l)=f(l)=O,

5

P(2)=f(2)=3,P(l)=f(l).则

P(i)=J—/⑴V+2/(1)-工+1,

3L3JLJ」令g(x)=f(x)-p(x),则g(x)

在[0,2]上三阶可导,且g(0)=g(l)=g(2)=0,所以存在C]W(0.1),C2以1,2),使得

g'(Cl)=g'(l)=g'(C2)=0，又存在d|W(ci，1),d2e(l,C2)使得g"(dl)=g”(d2)=0,再由罗

尔定理，存在乐(di，d2)C(0.2),使得髀《)=0,而g”'(x尸f”(x)—2,所以

『'(9=2.

知识点解析：暂无解析

15、设f(x)是在［a,b］上连续且严格单调的函数,在(a,b)内可导，旦f(a)=aV

ly/=1

…，n),使得〃一了而

b=f(b).证明：存在。E[a,b)(i=l,2,

b-a

标准答案：令h=〃，因为f(x)在［a,b］上连续且单调增加，且f(a)=aVb=f(b),

所以f(a)=a<a+h<…Va+(n—l)h<b=f(b),由端点介值定理和函数单调性，存在

a<ci<C2<...<cn-i<b,使得f(ci)=a+h,f(C2)=a+2h>...»f(cn-i)=a+(n-l)h,

再由微分中值定理,得f(ci)一f(a)=FCi)(C]—a),&i£(a,ci),f©)一

f(C])=r©)(C2一Cl),§2E(C1，C2)，…f(b)—f(Cni])=「&)(b—Cn-l),5n€(cn-b

b),从而有人[焉+忐+…+忐卜E忐=L

知识点解析：暂无解析

16、设函数y=f(x)二阶可导,r(x)和，且与x=(p(y)互为反函数,求(p”(y).

标准答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以西(y尸

万万'，于是

dd/cLr

"/、_矛工_d/dr\(7fe)_(777))

3。)=疗=彳(彳尸

dydy/dx

知识点解析：暂无解析

limf(.T)

17、设f(x)在x=xo的邻域内连续，在x=xo的去心邻域内可导，且

=M.证明：f(xo)=M.

标准答案：由微分中值定理得f(x)—f(xo)=r(^)(x一X0),其中自介于X0与X之间,

则

""二J5)=—仆。)=lim/(e)=lim/(^)

X

］。X-XQT・XQx-NoJ”

二M,即f(xo)=M.

知识点解析：暂无解析

18、设f(x)在［0,1］上二阶可导,且f(O)=f(l)=O.证明:存在乐(0,1),使得f支尸

2人)

1T,

标准答案:令(p(x尸(X—l)2『(x),显然<p(x)在［0,1］上可导。由f(O)=f(l)=O,杈据

罗尔定理，存在ce(o,1),使得r(c)=o,再由(p(c)=(p(i)=o,根据罗尔定理，存在

年(c,1)C(O,1),使得叫(P尸0,而联(X)=2(X-l)r(x)+(x-l)2『(x),所以2化

2/(G

-1)/C)+化―19F")=o，整理得F《尸1一•

知识点解析：暂无解析

19、设f(x)在［0,1］上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(l)=l,证明：对任意的

___b__L____

7年尸⑹=a4-6.

a>0,b>0,存在。、(0,1),使得

标准答案：因为f(x)在［0,1］上连续，f(0尸0,且f(O)V。+6<f(l),所以

由端点介值定理，存在cE(O,1),使得f(c)=°+"由微分中值定理，存在乐(0,

c),T］6(c,1),使得

—TZ=八)

{/(c)-/(0)=fM，a-roWc,

即《整理得

/(I)-/(c)=，卬(1-C),

a

P(€)—(a+6)c・

两式相加得

=(a+6)(1—c)

Y…+)

7^7)77^)=a4-6.

知识点解析：暂无解析

设f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=O,f(x)dx=O.证明：

20、存在ce(a,b),使得f⑴二o；

标准答案：令F(x尸JaXf(t)dt,则F(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且

9(*尸1*依).故存在c£(a,b),使得af(x)dx=F(b)—F(a)=F，(c)<b—a)=f(c)(b-

a)=0,即f(c)=O.

知识点解析：暂无解析

21、存在&W(a,b)(i=l,2),且3死2,使得「(。)+熊i)=O(i=l，2)；

标准答案：令h(x)=exf(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=O,所以由罗尔定理,存在&W(a,

c),及W(c,b),使得h次i)=h，&)=0,而h〈x尸eX『(x)+f(x)]且eX#O,所以

『七)+啥0(g，2).

知识点解析：暂无解析

22、存在住(a,b),使得伊代尸解)；

标准答案：令(p(x尸eX[P(x)+f(x)],(p@)=诞2尸0,由罗尔定理，存在乐(占，々)

U(a,b),使得6©)=0,而(p'(x尸e、[「(x)—f(x]]且e、翔，所以r6尸解).

知识点解析：暂无解析

23、存在T]W(a,b),使得r(n)—3r(17)+2f(n)=0.

标准答案：令g(x)=eXf(x),g(a)=g(c)=g(b)=0,由罗尔定理,存在r)iE(a,c),

i]2W((c,b),使得g'(r)i)=g'(n2)=0.而g'(x)2e7[f(x)—f(x)]且e...，0,所以「(中)一

f(m)=o,?(0)一f(n2)=o.令(p(x)=e2nf⑶一f(x)],(p(ni)=(p(n2)=o«由罗尔定理，

存在r)e(r|i，r]2)U(a,b),使得(p'(r))=0，而(p'(x)=e2xf⑴一3『(x)+2f(x)]且e

2Vo,所以r(n)—3f(i])+2f(n)=o.

知识点解析：暂无解析

24、设aiVa2V…Van，且函数f(x)在[a],a#上n阶可导，cE[ai，an]且

f(ai)=f(a2)=..,=f(an)=O.证明:存在美⑶，an),使得

f(c)=.二/)"-%]…(c-a.),.”©

〃！*

标准答案:当c=%(i=l,2,…，n)时,对任意的年⑶，an),结论成立；设c为异

于a]，a2，…，an的数，不妨设aiVcVa2V…Va1].令

4=___________四_________

(c—)(《•一°2)…(c~a.)构造辅助函数(p(x)=f(x)=f(x_aj)(x一ai)...(x

/(c)=(c—。1)((--2)…(c—a.)广

一an),显然(p(x)在[Uundefinedw'

知识点解析：暂无解析

25、设f(x)二阶连续可导，fir(x#O,Xf(x+h)=f(x)+f(x+eh)h(O<e<l).证明:

limd=

A-04

标准答案：由泰勒公式得

/(J-4-A)=/(才)+，(工)/»+哼产炉.其中£介于才与/十方之间.

由已知条件得

f(1+Oh)h=，(工)A+4f，2,或，(上十债)一，(了)=乌沁,

两边同除以人，得/(”一债，―/(2)=今起，

n4

而所仆\必%=£(工1=lim&±驾二ZLL!.=/(x)lim0,

A-QnA—OQrl01。

］加华2=,两边取极限得/(J-)1*=4^,而，⑺#0,故lim”

10Z410LA•。4

知识点解析：暂无解析

26、设f(x)在［0,1］连续可导，且f(0)=0.证明：存在乐［0,1］,使得

f©=2fo1f(x)dx.

标准答案：因为「(X)在区间［0,1］上连续，所以『(X)在区间［0,1］上取到最大值M

和最小值m,对f(x)—f(O)=F(c)x(其中f介