2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（）A．4 B．6 C．8 D．122．（5分）下列求导正确的是（）A．（e2）′＝e2 B．（xcosx）′＝cosx+xsinx C．[（2x+1）4]′＝8（2x+1）3 D．（2x+x）′＝2x+13．（5分）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣3，则limΔx→0A．﹣6 B．−32 C．34．（5分）已知变量x和y的统计数据如表：x12345y0.91.31.82.43.1若x，y线性相关，经验回归方程为ŷ=0.55x+â，据此可以预测当A．5.75 B．7.5 C．7.55 D．85．（5分）某班举办知识竞赛，已知题库中有A，B两种类型的试题，A类试题的数量是B类试题数量的两倍，且甲答对A类试题的概率为12，答对B类试题的概率为2A．29 B．49 C．596．（5分）向如图放置的空容器中注水，直至注满为止．下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（）A． B． C． D．7．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．300种 B．210种 C．120种 D．60种8．（5分）若直线l是曲线y＝ex﹣1与y＝ex﹣1的公切线，则直线l的方程为（）A．y＝x﹣1 B．y＝x C．y＝x+1 D．y＝ex二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）随机变量X∼N（2，1），随机变量Y服从两点分布，且P（Y＝1）＝0.6，设Z＝3Y+2，则（）A．P（X≤1）＝P（X≥3） B．P（X≤2）＜P（Y＝0） C．E（Z）＝3.8 D．D（Z）＝0.72（多选）10．（6分）对于函数f(x)=eA．f（x）恰有一个极值点 B．f（x）有最小值但没有最大值 C．直线y＝k（x+2）与曲线f（x）的公共点个数最多为4 D．经过点（0，0）只可作f（x）的一条切线（多选）11．（6分）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（）A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为216625B．若进行了10次取球，记X为取到红球的次数，则D(X)=12C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为23D．若进行了10次取球，恰好取到k次红球的概率为Pk（0≤k≤10，k∈Z），则当k＝6时，Pk最大三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．（5分）已知二项式(3x−2x)n展开式中各项二项式系数的和为16，则n13．（5分）已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，9）满足y=5，i=1nyi2=265，由最小二乘法得到y与x（1，2，3，…，9）的回归方程，现用决定系数R2来判断拟合效果（R2越接近1，拟合效果越好），若i=1914．（5分）设点P在曲线y＝ex﹣a上，点Q在曲线y＝lnx+a上，若|PQ|的最小值为22，则a＝四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝eax+bex﹣3x的图象在点（0，2）处的切线与直线x+3＝0垂直．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最值．16．（15分）某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如列联表：喜欢不喜欢合计男45550女351550合计8020100（1）根据如表，依据小概率值α＝0.025的χ2独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？（2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议．若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+α0.050.0250.010.005xα3.8415.0246.6357.87917．（15分）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为12，每次参加面试通过的概率均为1（1）求甲在一年内考试失败的概率；（2）求甲在一年内参加考试次数X的分布列及期望．18．（17分）已知函数f（x）＝（ax﹣a+1）ex．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若关于x的方程f(x)=−1e恰有两个不同的实数解，求19．（17分）若定义在区间D上的函数f（x）满足对任意x1，x2∈D，且x1＞x2，都有f(x1)−f(x2)2（1）若f（x）＝ax2是[1，+∞）上的“好函数”，求a的取值范围．（2）（i）证明：g（x）＝lnx是（0，+∞）上的“好函数”．（ii）设n∈N*，证明：ln(2n+1)＞1+1

2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】计数原理的应用；简单组合问题．【答案】C【分析】根据题意，分析蛋黄粽和豆沙粽的取法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，蛋黄粽有4种取法，豆沙粽有2种取法，则有4×2＝8种不同的取法．故选：C．2．（5分）下列求导正确的是（）A．（e2）′＝e2 B．（xcosx）′＝cosx+xsinx C．[（2x+1）4]′＝8（2x+1）3 D．（2x+x）′＝2x+1【考点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数的导数；导数的加法与减法法则．【答案】C【分析】根据导数的运算法则求解．【解答】解：常数的导数为0，A错误；（xcosx）′＝cosx﹣xsinx，B错误；[（2x+1）4]′＝8（2x+1）3，C正确；（2x+x）′＝2xln2+1，D错误．故选：C．3．（5分）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣3，则limΔx→0A．﹣6 B．−32 C．3【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【答案】D【分析】根据导数的定义和性质即可求解．【解答】解：∵曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣3，∴f′（1）＝﹣3，∴limΔx→0f(1)−f(1+2Δx)Δx=−2故选：D．4．（5分）已知变量x和y的统计数据如表：x12345y0.91.31.82.43.1若x，y线性相关，经验回归方程为ŷ=0.55x+â，据此可以预测当A．5.75 B．7.5 C．7.55 D．8【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】A【分析】先求出x，y，再结合经验回归方程ŷ=0.55x+â过点（【解答】解：由题意可知，x=15因为经验回归方程ŷ=0.55x+â过点（所以1.9＝0.55×3+â，解得â＝0.25，所以ŷ＝0.55x+0.25，当x＝10时，ŷ＝5.75．故选：A．5．（5分）某班举办知识竞赛，已知题库中有A，B两种类型的试题，A类试题的数量是B类试题数量的两倍，且甲答对A类试题的概率为12，答对B类试题的概率为2A．29 B．49 C．59【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】C【分析】运用条件概率和全概率公式即可求解．【解答】解：从题库中任选一题作答，选到A类试题设为事件A，选到B类试题设为事件B，由于A类试题的数量是B类试题数量的两倍，则P(A)=2从题库中任选一题作答甲答对设为事件D，甲答对A类试题的概率为12，则P(D|A)=12，甲答对B类试题的概率为2则P(D)=P(AD)+P(BD)=P(D|A)⋅P(A)+P(D|B)⋅P(B)=1故选：C．6．（5分）向如图放置的空容器中注水，直至注满为止．下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（）A． B． C． D．【考点】图象法表示函数．【答案】A【分析】根据容器形状，结合自变量为水的高度可得解．【解答】解：在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长．故选：A．7．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．300种 B．210种 C．120种 D．60种【考点】排列组合的综合应用；部分位置的元素有限制的排列问题．【答案】B【分析】从6同学中选出2人安排到甲场馆，再安排2人到乙场馆，最后剩余2人安排到丙场馆；或选出2人安排到甲场馆，再安排1或3人到乙场馆，剩余的人安排到丙场馆，根据分步乘法原理相乘即可．【解答】解：从6同学中选出2人安排到甲场馆，再安排2人到乙场馆，最后剩余2人安排到丙场馆；C6或选出2人安排到甲场馆，再安排1或3人到乙场馆，剩余的人安排到丙场馆，C6共有：90+120＝210种．故选：B．8．（5分）若直线l是曲线y＝ex﹣1与y＝ex﹣1的公切线，则直线l的方程为（）A．y＝x﹣1 B．y＝x C．y＝x+1 D．y＝ex【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】B【分析】利用f'（x1）＝f'（x2）=y【解答】解：设f（x）＝ex﹣1，直线l与f（x）的切点坐标为（x1，y1），g（x）＝ex﹣1，直线l与g（x）的切点坐标为（x2，y2），f'（x）＝ex﹣1，g'（x）＝ex，则ex1−1=ex2又y1−y由x1﹣1＝x2可得ex2−e∴y2＝e0﹣1＝0，k=e∴直线l的方程为y＝x．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）随机变量X∼N（2，1），随机变量Y服从两点分布，且P（Y＝1）＝0.6，设Z＝3Y+2，则（）A．P（X≤1）＝P（X≥3） B．P（X≤2）＜P（Y＝0） C．E（Z）＝3.8 D．D（Z）＝0.72【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；两点分布（0﹣1分布）．【答案】AC【分析】根据正态分布曲线的对称性可判断A，B，根据期望和方差的性质可判断C，D．【解答】解：因为X∼N（2，1），所以P（X≤2）＝0.5，P（X≤1）＝P（X≥3），故A正确，因为随机变量Y服从两点分布，且P（Y＝1）＝0.6，所以P（Y＝0）＝1﹣P（Y＝1）＝0.4，所以P（X≤2）＞P（Y＝1），故B错误，因为E（Y）＝1×0.6+0×0.4＝0.6，D（Y）＝0.6×（1﹣0.6）2+0.4×（0﹣0.6）2＝0.24，所以E（Z）＝E（3Y+2）＝3E（Y）+2＝3×0.6+2＝3.8，D（Z）＝D（3Y+2）＝9D（Y）＝2.16，故C正确，D错误．故选：AC．（多选）10．（6分）对于函数f(x)=eA．f（x）恰有一个极值点 B．f（x）有最小值但没有最大值 C．直线y＝k（x+2）与曲线f（x）的公共点个数最多为4 D．经过点（0，0）只可作f（x）的一条切线【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】ACD【分析】由导数得出单调性进而判断AB；由单调性得出图像，结合直线过定点判断C；由导数的几何意义判断D．【解答】解：f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f′(x)=e则f（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减，故x＝2是f（x）唯一的极值点，故A正确；在（0，+∞）上的最小值为f(2)=e又因为当x→﹣∞时，f（x）→0，所以f（x）无最小值，故B错误；直线y＝k（x+2）恒过点（﹣2，0），当k足够大时，直线y＝k（x+2）与曲线y＝f（x）（x＜0）有2个交点，直线y＝k（x+2）与曲线y＝f（x）（x＞0）有2个交点，则直线y＝k（x+2）与曲线y＝f（x）的公共点个数最多为4，故C正确；易知点（0，0）不在f（x）的图象上，设切点为(x0，解得x0＝3，则经过点（0，0）只可作曲线y＝f（x）的一条切线，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（6分）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（）A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为216625B．若进行了10次取球，记X为取到红球的次数，则D(X)=12C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为23D．若进行了10次取球，恰好取到k次红球的概率为Pk（0≤k≤10，k∈Z），则当k＝6时，Pk最大【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；古典概型及其概率计算公式．【答案】BCD【分析】对于A，由题意可知第4次取出的是红球，前3次中有2次红球，由独立事件概率公式求解判断；对于B，由题意可知X～B(10，3对于C，利用条件概率公式求解判断；对于D，由题意可得Pk=C10k(【解答】解：对于A，由题意可知第4次取出的是红球，前3次中有2次红球，则所求概率为C32(对于B，由题意可知X～B(10，35)，所以D(X)=10×对于C，记事件A为恰好取4次停止取球，事件B为第1次摸到红球，则P(A)=C32所以P(B|A)=P(AB)P(A)=对于D，由题意可得Pk=C10则C10k(35因为0≤k≤10，k∈Z，所以k＝6，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．（5分）已知二项式(3x−2x)n展开式中各项二项式系数的和为16，则n【考点】二项展开式的通项与项的系数；二项式系数与二项式系数的和．【答案】4；﹣8．【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．【解答】解：由于二项式(3x−2x二项式(3x−2x当r＝1时，展开式是常数项，为C4故答案为：4；﹣8．13．（5分）已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，9）满足y=5，i=1nyi2=265，由最小二乘法得到y与x（1，2，3，…，9）的回归方程，现用决定系数R2来判断拟合效果（R2越接近1，拟合效果越好），若i=19【考点】决定系数与模型的拟合效果．【答案】0.96．【分析】根据已知条件，结合决定系数的公式，即可求解．【解答】解：y=5，i=1ny则R2故答案为：0.96．14．（5分）设点P在曲线y＝ex﹣a上，点Q在曲线y＝lnx+a上，若|PQ|的最小值为22，则a＝【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【答案】﹣1．【分析】由于曲线y＝ex﹣a与曲线y＝lnx+a互为反函数，其图象关于y＝x对称，所以转化为|PQ|的最小值为曲线y＝ex﹣a上的点P到直线y＝x的最小距离的两倍，然后利用导数的几何意义求出与直线y＝x平行且与y＝ex﹣a相切的直线与曲线的切点，再列方程可求得结果．【解答】解：由曲线y＝ex﹣a与曲线y＝lnx+a互为反函数，得其图象关于y＝x对称，则|PQ|的最小值为曲线y＝ex﹣a上的点P到直线y＝x的最小距离的两倍，设与直线y＝x平行的直线与y＝ex﹣a相切于点M(x由y＝ex﹣a，得y′＝ex﹣a，∴ex0−a=1，得x0＝a，可得切点∴|a−1|2=2，解得a当a＝3时，y＝ex﹣3，由y=ex−3y=x，得ex﹣3＝x，x令f（x）＝x﹣3﹣lnx，∵f（1）＝1﹣3﹣ln1＝﹣2＜0，f（e2）＝e2﹣3﹣lne2＝e2﹣5＞0，∴f（x）在（1，e2）上至少有一个零点，∴曲线y＝ex﹣a与直线y＝x的最小距离为0，即a＝3不合题意，舍去；当a＝﹣1，y＝lnx﹣1，由y=lnx−1y=x，得x＝lnx令g（x）＝x+1﹣lnx，则g′(x)=1−1当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，可得g（x）≥g（1）＝2，则曲线y＝ex﹣a与直线y＝x没有交点，∴a＝﹣1符合题意．故答案为：﹣1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝eax+bex﹣3x的图象在点（0，2）处的切线与直线x+3＝0垂直．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最值．【考点】利用导数求解函数的最值；由函数的切线方程求解函数或参数．【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）最大值为e4+e2﹣6，最小值为2．【分析】（1）对f（x）求导，结合已知及导数的几何意义可得f(0)=2f′(0)=0，解方程组即可求解a，b（2）判断函数的单调性，求出极值与端点的函数值，比较即可得解．【解答】解：（1）由f（x）＝eax+bex﹣3x，x∈R，得f'（x）＝aeax+bex﹣3，因为f（x）的图象在点（0，2）处的切线与直线x+3＝0垂直，所以f(0)=2f′(0)=0，则1+b=2解得a=2b=1（2）由（1）可知，f'（x）＝2e2x+ex﹣3＝（2ex+3）（ex﹣1），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．因为f（x）＝e2x+ex﹣3x，所以f（﹣2）＝e﹣4+e﹣2+6，f（0）＝2，f（2）＝e4+e2﹣6＞e﹣4+e﹣2+6，所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值为e4+e2﹣6，最小值为2．16．（15分）某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如列联表：喜欢不喜欢合计男45550女351550合计8020100（1）根据如表，依据小概率值α＝0.025的χ2独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？（2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议．若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+α0.050.0250.010.005xα3.8415.0246.6357.879【考点】独立性检验；简单组合问题；古典概型及其概率计算公式．【答案】（1）能；（2）2528【分析】（1）计算χ2的值，再与临界值比较即可；（2）利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：（1）零假设H0：客户对该产品的评价结果与性别无关，则χ2=100×(45×15−35×5所以依据小概率值α＝0.025的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为客户对该产品的评价结果与性别有关系；（2）因为评价结果为“不喜欢”的客户中，男性人数与女性人数之比为1：3，所以8人中有男性人数2人，女性人数为6人，从这8人中随机抽取3人，共有C8所抽取的3人中女性人数大于男性人数的情况有C6所以所求概率为505617．（15分）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为12，每次参加面试通过的概率均为1（1）求甲在一年内考试失败的概率；（2）求甲在一年内参加考试次数X的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）712；（2）11【分析】（1）分甲两次笔试均未通过；甲通过第一次笔试，但两次面试均未通过；甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过三种情况讨论即可；（2）X可能的取值为2，3，4，分别求其概率即可．【解答】解：（1）甲每次参加笔试未通过的概率为1−12=甲两次笔试均未通过的概率为12甲通过第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为12甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为12所以甲在一年内考试失败的概率为14（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，P（X＝2）=1P（X＝3）=1P（X＝4）=1所以X的分布列为X234P5516E（X）＝2×512+3×18．（17分）已知函数f（x）＝（ax﹣a+1）ex．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若关于x的方程f(x)=−1e恰有两个不同的实数解，求【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】（1）当a＝0时，f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，−1a）上单调递增，在（当a＞0时，f（x）在（﹣∞，−1a）上单调递减，在（（2）（1，+∞）．【分析】（1）对f（x）求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；（2）结合（1）的结论，分类讨论即可求解．【解答】解：（1）函数f（x）＝（ax﹣a+1）ex的定义域为R，f'（x）＝（