2023-2024学年青海省西宁市大通县高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年青海省西宁市大通县高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积V（单位：cm3）与半径R（单位：cm）的关系为V=43πR3，则R＝7cmA．13723πcm2 B．196C．98πcm2 D．16πcm22．（5分）已知随机变量X～B(4，13)，则PA．3281 B．881 C．8273．（5分）根据3对数据A（1，7），B（3，m），C（5，16）绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为Y＝2.25X+4.25，则m＝（）A．11 B．10 C．9 D．84．（5分）已知等比数列{an}首项为﹣1，前n项和为Sn，若S10S5A．1 B．12 C．﹣1 D．5．（5分）在等差数列{an}中，a4+a5+a6＝90，则a3+a7的值为（）A．35 B．40 C．50 D．606．（5分）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的A，B，C，D，E，F六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求B，C相邻，A与D不相邻，则不同的排队方法种数为（）A．36 B．72 C．144 D．2887．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．函数f′（x）在（b，c）上单调递增 B．函数f（x）至少有2个极值点 C．函数f（x）在（a，e）上单调递减 D．函数f（x）在x＝c处取得极大值8．（5分）甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为（）A．12 B．35 C．710二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）两个具有线性相关关系的变量的一组数据为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），则下列说法正确的是（）A．若相关系数r＜0，则两个变量负相关 B．相关系数r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 C．决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D．决定系数R2越小，残差平方和越小，模型的拟合效果越好（多选）10．（6分）设离散型随机变量X的分布列为：X0123Pa0.40.30.2若离散型随机变量Y满足Y＝3X+1，则（）A．EX＝1.6 B．EY＝5.8 C．DX＝1.84 D．DY＝7.56（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），且对任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，则下列说法正确的是（）A．ef（1）＜f（0） B．ef（1）＞f（0） C．2f（ln2）＜ef（1） D．2f（ln2）＞ef（1）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）函数f（x）＝2x2﹣1的极值点为．13．（5分）（2x﹣y）6的二项展开式中x2y4的系数是．（用数字作答）14．（5分）学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某学校高三年级有学生1000人，经调查，其中750人经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250人不经常参加体育锻炼（称为B类同学）．现用按比例分配的分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中共抽查100人，如果以身高达到165cm作为达标的标准，对抽取的100人，得到以下列联表（单位：人）：身高达标身高不达标总计经常参加体育锻炼40不经常参加体育锻炼15总计100（1）完成上表；（2）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系？注：χ2附表：α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（15分）在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分．已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为45；对于第4道题，答对的概率为12．记该学生的总得分为（1）求该学生前3道题至少答对2道题的概率；（2）求X的分布列及数学期望．17．（15分）求满足下列条件的曲线的标准方程：（1）长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为23（2）准线方程为y＝﹣2的抛物线的标准方程；（3）焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），一个顶点为（1，0）的双曲线的标准方程．18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA＝PD，PA⊥PD，AB＝3，CD=BC=3（1）求证：PA⊥平面PBD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．19．（17分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

2023-2024学年青海省西宁市大通县高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积V（单位：cm3）与半径R（单位：cm）的关系为V=43πR3，则R＝7cmA．13723πcm2 B．196C．98πcm2 D．16πcm2【考点】瞬时变化率．【答案】B【分析】根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可．【解答】解：由V=43πR3，求导得V所以R＝7时体积V关于半径R的瞬时变化率为V′＝4π×72＝196π．故选：B．2．（5分）已知随机变量X～B(4，13)，则PA．3281 B．881 C．827【考点】n重伯努利试验与二项分布．【答案】C【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．【解答】解：由题意可知，P(X=2)=C故选：C．3．（5分）根据3对数据A（1，7），B（3，m），C（5，16）绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为Y＝2.25X+4.25，则m＝（）A．11 B．10 C．9 D．8【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】B【分析】根据线性回归方程的定义可解．【解答】解：由题意3对数据A（1，7），B（3，m），C（5，16）绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，得x=3，y=23+m3，又Y＝2.25所以23+m3解得m＝10．故选：B．4．（5分）已知等比数列{an}首项为﹣1，前n项和为Sn，若S10S5A．1 B．12 C．﹣1 D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【答案】D【分析】利用数列前n项和的定义及等比数列通项公式得出S10S5【解答】解：∵{an}是等比数列，则S10∴S10解得q=−1故选：D．5．（5分）在等差数列{an}中，a4+a5+a6＝90，则a3+a7的值为（）A．35 B．40 C．50 D．60【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【答案】D【分析】根据等差数列下标和性质直接求解即可．【解答】解：∵a4+a5+a6＝3a5＝90，∴a5＝30，∴a3+a7＝2a5＝60．故选：D．6．（5分）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的A，B，C，D，E，F六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求B，C相邻，A与D不相邻，则不同的排队方法种数为（）A．36 B．72 C．144 D．288【考点】部分元素不相邻的排列问题；部分元素相邻的排列问题．【答案】C【分析】利用捆绑法以及插空法求解即可．【解答】解：要求B，C相邻，A与D不相邻，先将B，C捆绑在一起与E，F排，有A3然后在三者排好后形成的4个空中，选2个空位插入A，D两人，有A4共有12×12＝144种排列方法．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．函数f′（x）在（b，c）上单调递增 B．函数f（x）至少有2个极值点 C．函数f（x）在（a，e）上单调递减 D．函数f（x）在x＝c处取得极大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】D【分析】根据f′（x）的图象判断其符号，进而可知f（x）的单调性和极值，结合选项分析判断即可．【解答】解：由f′（x）的图象可知：当在（﹣∞，a）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（a，e）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（e，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，则函数f（x）有且仅有两个极值点a，e，结合选项可知：ABC正确；D错误；故选：D．8．（5分）甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为（）A．12 B．35 C．710【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】C【分析】根据互斥事件并事件的概率加法公式，独立事件积事件的概率乘法公式即可求解．【解答】解：设A事件为“从甲箱子中摸到红球“，B事件为“从乙箱子中摸到红球“C事件为“摸到红球”，则P（C）＝P（A）+P（B）=2故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）两个具有线性相关关系的变量的一组数据为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），则下列说法正确的是（）A．若相关系数r＜0，则两个变量负相关 B．相关系数r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 C．决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D．决定系数R2越小，残差平方和越小，模型的拟合效果越好【考点】样本相关系数；变量间的相关关系．【答案】AC【分析】根据相关系数的概念可判定AB，根据决定系数的概念可判定CD．【解答】解：对于A：因为r的符号反映相关关系的正负性，故A正确；对于B：根据相关系数|r|越接近1，变量相关性越强，故B错误；对于C：决定系数R2越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确，D错误．故选：AC．（多选）10．（6分）设离散型随机变量X的分布列为：X0123Pa0.40.30.2若离散型随机变量Y满足Y＝3X+1，则（）A．EX＝1.6 B．EY＝5.8 C．DX＝1.84 D．DY＝7.56【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【答案】ABD【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质求解a的值，再结合离散型随机变量的期望和方差公式求解即可．【解答】解：由分布列的性质知a＝1﹣0.4﹣0.3﹣0.2＝0.1，所以EX＝0×0.1+1×0.4+2×0.3+3×0.2＝1.6，故A正确；所以EY＝E（3X+1）＝3EX+1＝5.8，故B正确；所以DX＝0.1×1.62+0.4×0.62+0.3×0.42+0.2×1.42＝0.84，故C错误；所以DY＝D（3X+1）＝9DX＝7.56，故D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），且对任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，则下列说法正确的是（）A．ef（1）＜f（0） B．ef（1）＞f（0） C．2f（ln2）＜ef（1） D．2f（ln2）＞ef（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】BC【分析】令g（x）＝exf（x），由题意得，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，逐一判断ABCD即可．【解答】解：∵令g（x）＝exf（x），对任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，∴g'（x）＝exf（x）+exf'（x）＝ex[f（x）+f'（x）]＞0，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴g（0）＜g（1）⇒f（0）＜ef（1），故A错误，B正确；g（ln2）＜g（1）⇒eln2f（ln2）＜ef（1）⇒2f（ln2）＜ef（1），故C正确，D错误．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）函数f（x）＝2x2﹣1的极值点为．【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】0．【分析】求出函数的导数，通过导数为0，即可求解函数的极值点．【解答】解：∵f（x）＝2x2﹣1，f′（x）＝4x＞0⇒x＞0∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，∴当x＝0时，函数取得极小值，无极大值．故答案为：0．13．（5分）（2x﹣y）6的二项展开式中x2y4的系数是．（用数字作答）【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】60．【分析】利用二项式（2x﹣y）6的通项公式求解即可．【解答】解：（2x﹣y）6的二项展开式的通项公式为Tr+1=C令r＝4，则x2y4的系数是C6故答案为：60．14．（5分）学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】56165【分析】利用古典概型的概率计算公式求解即可．【解答】解：设甲班恰有2名同学被选到为事件A，基本事件总数为C12事件A包含的基本事件数为C42•∴P（A）=168故答案为：56165四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某学校高三年级有学生1000人，经调查，其中750人经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250人不经常参加体育锻炼（称为B类同学）．现用按比例分配的分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中共抽查100人，如果以身高达到165cm作为达标的标准，对抽取的100人，得到以下列联表（单位：人）：身高达标身高不达标总计经常参加体育锻炼40不经常参加体育锻炼15总计100（1）完成上表；（2）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系？注：χ2附表：α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】列联表与独立性检验．【答案】（1）列联表见解析；（2）经常参加体育锻炼与身高达标无关联．【分析】（1）根据题中所给数据可直接填写列联表；（2）根据独立性检验相关知识可解．【解答】解：（1）根据题意，某学校高三年级有学生1000人，经调查，其中750人经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250人不经常参加体育锻炼（称为B类同学），则A类同学与B类同学比例为3：1，则抽取的100人中，A类同学有75人，B类同学有25人，则可填写列联表（单位：人）如下：身高达标身高不达标总计经常参加体育锻炼403575不经常参加体育锻炼101525总计5050100（2）零假设为H0：经常参加体育锻炼与身高达标无关联．由列联表中的数据，χ2根据α＝0.05的独立性检验，没有充分证据证明H0不成立，即认为经常参加体育锻炼与身高达标无关联．16．（15分）在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分．已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为45；对于第4道题，答对的概率为12．记该学生的总得分为（1）求该学生前3道题至少答对2道题的概率；（2）求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（1）112125（2）X的分布列为：X05101520P1250132506255612532125E（X）＝14.5．【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；（2）由题意可知，X的取值可能为0，5，10，15，20，再利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解．【解答】解：（1）设事件A表示“该学生前3道题至少答对2道题”，则P（A）=C（2）由题意可知，X的取值可能为0，5，10，15，20，则P(X=0)=(15)3×12=1250，P（X＝5）=C31P（X＝20）=(4所以X的分布列为：X05101520P1250132506255612532125所以E（X）＝0×117．（15分）求满足下列条件的曲线的标准方程：（1）长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为23（2）准线方程为y＝﹣2的抛物线的标准方程；（3）焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），一个顶点为（1，0）的双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程．【答案】（1）x2（2）x2＝8y；（3）x2【分析】（1）由长轴长和离心率求出c，进而求出b2的值，得椭圆的标准方程；（2）由准线方程得p＝4，得抛物线方程；（3）由顶点坐标和焦点坐标得a，c的值，求得b2，得双曲线的方程．【解答】解：（1）长轴的长为12，离心率为23则2a＝12，ca=23，解得故b2＝a2﹣c2＝20，椭圆的长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为x2（2）抛物线的准线方程为y＝﹣2，所以抛物线的焦点在t轴的正半轴，且焦点F到准线的距离是p＝4，所求抛物线的标准方程为：x2＝8y；（3）设双曲线方程为x2a2−y由题设可得a2+b2＝4，a＝1，故b2＝3，a＝1，故双曲线方程为x218．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA＝PD，PA⊥PD，AB＝3，CD=BC=3（1）求证：PA⊥平面PBD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见解析．（2）222【分析】（1）证明BD⊥PA，PA⊥PD，即可证明PA⊥平面PBD．（2）建立空间直角坐标系，求平面PBC的法向量及直线PA的方向向量即可．【解答】解：（1）证明：过点D作DN⊥AB于N，因为AB∥CD，AB⊥BC，AB＝3，CD=BC=3所以DN=BC=32，AN=BN=所以BD=322所以AD2+BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA又PA⊥PD，BD∩PD＝D，BD，PD⊂平面PBD，所以PA⊥平面PBD．（2）因为AB∥CD，DN⊥AB，所以DN⊥DC，如图，以D为坐标原点，DN，DC所在直线分别为x轴，y轴，以过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则A(32，−32，0)，所以AP→=(−34，设平面PBC的一个法向量为n→=(x，y，z)，则令z＝3，则x＝0，y=2所以n→设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜AP→，n→所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为22219．（17分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）＝alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min＝g（e﹣2）＝e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=−1e2−1，（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，∵e2x＞0，ex＞0∴当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在R上单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（2ex+1）（aex﹣1）＝2a（ex+12）（ex令f′（x）＝0，解得：x＝ln1a当f′（x）＞0，解得：x＞ln1a当