河南省南阳市六校2025-2026学年高二下学期6月检测数学试卷

PAGE1NUMPAGES8河南南阳市六校2025-2026学年高二下学期阶段性素养评价（二8540分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求1.已知数列{𝑎𝑛}为等差数列，𝑎3+𝑎7=6,𝑎13=17，则𝑎9= A. B. C. D.2.已知数列

的前𝑛项和𝑆𝑛=

等于 A. B. C. D.3.函数𝑓(𝑥)=2ln𝑥−5𝑥+3𝑥2的单调递增区间是 A.1,+ B.

∪(1,+C.

∪(1,+ D.

和(14.设𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，𝑎𝑛>0，则“{𝑎𝑛}为递增数列”是“{𝑆𝑛}为递增数列”的 A.充分非必要条 B.必要非充分条5.已知变量𝑥和𝑦满足经验回归方程𝑦=−0.6𝑥+10.4，且变量𝑥和𝑦之间的一组相关数据如表所示，则下列 A.变量𝑥和𝑦呈负相 B.当𝑥=14时，𝑦一定等于C.𝑚= D.该经验回归直线必过点6.若数列{𝑎𝑛},{𝑏𝑛}的通项公式分别为𝑎𝑛=(−1)𝑛+2026𝑎,𝑏𝑛=2 ，且𝑎<𝑏𝑛，对任意𝑛∈𝑁∗成立，则实数𝑎的取值范围是 A.−1,

B. C.

7.已知𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥+1𝑥2(𝑎>0)，若对任意两个不等的正实数𝑥,𝑥，都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)>1恒成立，则𝑎值范围是

1 A. B.1,+ C. D.[1,+8.已知函数𝑓(𝑥)= A.

+𝑥−2，𝑔(𝑥)=ln𝑥+𝑥−2，若∃𝑥1∈𝑅,𝑥2>0，使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)B. C. D.−

3189.设函数𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥,𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)，给定下列命题，则下列选项正确的是 函数𝑓(𝑥)的最小值为不等式𝑔(𝑥)>0的解集为1,+函数𝑔(𝑥)在(0,𝑒)单调递增，在(𝑒若𝑓(𝑥)−𝑎𝑥2≤0恒成立，则实数𝑎≥10.设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为

+𝑛−1=𝑆𝑛,𝑛∈𝑁∗且

=19，则下列选项正确的是 A.

=−2𝑛 B.

C.当𝑛=11时，𝑆𝑛取最大 D.设𝑏𝑛=𝑎𝑛𝑎𝑛+1,𝑏𝑚<0，则𝑚=11.设定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=𝑥2，且当𝑥≤0时，𝑓′(𝑥)<𝑥.已知存在𝑥0∈𝑥|𝑓(𝑥)−1𝑥2≥𝑓(1−𝑥)−1(1−𝑥)2，且𝑥为函数𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒𝑥−𝑎(𝑎∈𝑅,𝑒为自然对数的底数) 点，则实数𝑎的取值可能是

C. 351512.若曲线𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+ln𝑥存在斜率为0的切线，则实数𝑎的取值范围 13.设数列{𝑎𝑛}是由正数组成的等比数列，公比𝑞=2，且𝑎1𝑎2𝑎3⋯𝑎30=230，那么𝑎2𝑎5⋅⋅⋅𝑎29= 14.定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)满足：𝑓′(𝑥)>1−𝑓(𝑥)，𝑓(1)=2，𝑓′(𝑥)是𝑓(𝑥)的导函数，则不等式𝑒𝑥𝑓(𝑥)>+𝑒(其中𝑒为自然对数的底数)的解集 577记𝑆𝑛为等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎1𝑎2=𝑎3,𝑎1≠𝑎2,𝑆2=(1)求{𝑎𝑛}(2)判断𝑆𝑛+1,𝑆𝑛,𝑆𝑛+2设函数𝑓(𝑥)=𝑒3𝑥−3𝑎𝑥(𝑎>(1)判断𝑓(𝑥)(2)证明：𝑓(𝑥)≥ 2+元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①𝑦=𝛼+𝛽𝑥2，②𝑦=𝑒𝜆𝑥+𝑡，其中现该公司收集了近12年的年研发资金投入量𝑥𝑖和年销售额𝑦𝑖的数据，𝑖=1,2,⋯,12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令𝑢𝑖=𝑥2,𝑣𝑖=ln𝑦𝑖(𝑖=1,2,⋯,12)，经计算得如下数据：设{𝑢𝑖}和{𝑦𝑖}的相关系数为𝑟1，{𝑥𝑖}和{𝑣𝑖}的相关系数为𝑟2好的模型；(2)(𝑖)根据(1)的选择及表中数据，建立𝑦关于𝑥的回归方程(系数精确到∑𝑛(𝑥−𝑥)(𝑦附：①相关系数𝑟= 𝑖=1 ，回归直线𝑦=𝑎+𝑏𝑥中斜率和截距的最小二乘估计公式分∑𝑛(𝑥−𝑥)2∑𝑛(𝑦

𝑖=1(𝑥−𝑥)(𝑦

𝑖=1为：𝑏=

𝑖=1

，𝑎=②参考数据：308=4×

≈9.4868，𝑒4.4998≈已知数列{𝑎𝑛}满足

=1+

(𝑛∈𝑁∗)，且

=

是等差数列，并求令

(𝑛∈𝑁∗)，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和已知函数𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥ln(1+(1)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点0,𝑓(0)处的切线方程(2)设𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)，讨论函数𝑔(𝑥)在[0,+∞)证明：∀𝑠,𝑡0,+∞)，有𝑓(𝑠+𝑡)>𝑓(𝑠)14.(1,+15.解：(1)已知数列{𝑎𝑛}为等比数列，所以𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1,(𝑎1≠0,𝑞≠𝑎2𝑞=因为𝑎1𝑎2=𝑎3,𝑆2=2，所以

，解得𝑞=1或𝑎1+𝑎1𝑞=因为𝑎1𝑎2，所以𝑞2，𝑎12，所以𝑎𝑛2)𝑛，𝑛𝑁∗．由(1)知

=𝑎1

=−2[1−

2

=

+

(−2)𝑛+1−1+(−2)𝑛+2−1

−(−2)𝑛+1−2而

4== 因为因为 =−2⋅ ，则 =2(−2)所以

+

𝑛+2=3[2(−2)

(−2)𝑛−1]=因此𝑆𝑛+1,𝑆𝑛,𝑆𝑛+216.解：(1)已知函数𝑓(𝑥)=𝑒3𝑥−3𝑎𝑥(𝑎>0)，所以𝑓′(𝑥)=3𝑒3𝑥−3𝑎=3(𝑒3𝑥−𝑎)．令𝑓′(𝑥)=0，得𝑒3𝑥=𝑎，即𝑥=当𝑥<1ln𝑎时，𝑒3𝑥<𝑎，𝑓′(𝑥)<0；当𝑥>1ln𝑎时，𝑓′(𝑥)> 故𝑓(𝑥)1ln𝑎1ln𝑎,+∞ 所以𝑓(𝑥)在𝑥=1ln𝑎所以

=𝑓(1ln𝑎)=𝑎(1−ln𝑎)，函数𝑓(𝑥)要证𝑓(𝑥)≥ 2+2，由(1)知𝑓(𝑥)≥所以只需证𝑎(1−ln𝑎)≥ 2+即𝑎−𝑎ln𝑎−ln𝑎+𝑎2−3≥0⇔𝑎2+𝑎−(𝑎+1)ln𝑎−3≥ 令𝑔(𝑎)= 2+𝑎−(𝑎+1)ln𝑎−2，𝑎>则𝑔′(𝑎)=𝑎+1−ln𝑎+(𝑎+1)⋅ 𝑎=令𝜑(𝑎)=𝑎−ln𝑎−𝑎，𝑎>

12所以𝜑′(𝑎)=1−1+1=𝑎2−𝑎+1=𝑎2+4>

所以𝜑(𝑎)在(0上单调递增，即𝑔′(𝑎)在(0又𝑔′(1)=1−0−1=0，所以当0<𝑎<1时，𝑔′(𝑎)<0，𝑔(𝑎)在(0,1)当𝑎>1时，𝑔′(𝑎)>0，𝑔(𝑎)在(1,+∞)因此𝑔(𝑎)≥𝑔(1)=1+1−0−3=0，即𝑎(1−ln𝑎)≥ 所以𝑓(𝑥)≥

2+2+2成立，等号当且仅当𝑎=1且𝑥=3ln1=017.解：(1)

∑12(∑12(𝑢−𝑢)∑12(𝑢−𝑢)2∑12(𝑦 = =21500=43=0.86，

∑12( ∑12(𝑥𝑖−𝑥)∑12(𝑥𝑖−𝑥)2∑12

=

=10≈则|𝑟1|<|𝑟2|，因此从相关系数的角度，模型𝑦=𝑒𝜆𝑥+𝑡的拟合程度更好；由𝑦=𝑒𝜆𝑥+𝑡，得ln𝑦=𝑡+𝜆𝑥，即𝑣=𝑡+由于𝜆=

∑12(𝑥𝑖−𝑥)(𝑣𝑖−𝑣)∑12

≈𝑡=𝑣−𝜆𝑥=4.20−0.018×20=所以𝑣关于𝑥的线性回归方程为𝑣=0.02𝑥3.84，所以ln𝑦=0.02𝑥+3.84，则𝑦=𝑒0.02𝑥+3.84；(𝑖𝑖)下一年销售额𝑦需达到90亿元，即𝑦90，代入𝑦=𝑒0.02𝑥+3.84，得90=𝑒0.02𝑥+3.84，又𝑒4.4998≈90，所以4.4998≈0.02𝑥+所以𝑥≈4.4998−3.84=18.解：(1)因3𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑎𝑛𝑎𝑛+1+1⇒(3−𝑎𝑛)𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+1，易得𝑎𝑛≠则

=

−1=𝑎𝑛+1−3+𝑎𝑛=2(𝑎𝑛−1) =2+1−𝑎𝑛=11

−

1

𝑎−1=−2

是 =−为首项，公差为−的等差数列 𝑎

31(𝑛−1)=

⇒𝑎𝑛

𝑛= 2 =(2)由

= =1 =1

1 (𝑛+2)2⋅

2则𝑇𝑛=𝑏1𝑏2𝑏3𝑏𝑛−2𝑏𝑛−1𝑛+ 𝑛+

1−3+2−4+3−5+⋯+𝑛−2−𝑛+𝑛−1−𝑛+1+𝑛=11+1−1

3

=19.解：(1)𝑓′(𝑥)=2𝑒2𝑥ln(𝑥+1)+𝑒2𝑥，则𝑓′(0)=1，从而切线方程为𝑦=𝑓′(0)(𝑥−0)+𝑓(0)⇔𝑦=(2)由(1)，𝑔′(𝑥)=𝑒2𝑥4ln(𝑥+1) >0，从而𝑔(𝑥)在(3)相当于证明∀𝑠,𝑡∈(0,+∞),𝑓(𝑠+𝑡)−𝑓(𝑠)−𝑓(𝑡)>0，令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑡)−𝑓(𝑥)−𝑓(𝑡),𝑥∈[0,+∞),𝑡∈(0,+∞).则𝐹′(𝑥)=𝑔(𝑥+𝑡)−𝑔(𝑥)，因𝑥+𝑡>𝑥，由(2)可得𝑔(𝑥+𝑡)>𝑔(𝑥)⇒𝐹′(𝑥)>0，从而𝐹(𝑥)在[0上单调递增，则当𝑠0，𝑡取固定正值时，𝐹(𝑠)>𝐹(0)，即𝑓(𝑠𝑡)−𝑓(𝑠)−𝑓(𝑡)>𝑓(𝑡)−𝑓(0)−𝑓(𝑡)=0，命题得证．【分析】(1)(3)相当于证明∀𝑠,𝑡∈(0,+∞),𝑓(𝑠+𝑡)−𝑓(𝑠