2023-2024学年山东省潍坊市昌乐二中高三(上)月考数学试卷(9月份)

2023-2024学年山东省潍坊市昌乐二中高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|＜1}，B＝{x|x＜1或x≥4}，则A∪（∁UB）＝（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜4} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x≤4}2．函数f（x）＝ex在点（0，1）处的切线的斜率是（）A．e2 B．e C．2 D．13．命题P：∀x∈N*，（）x≤的否定为（）A．∀x∈N*，（）x＞ B．∀x∉N*，（）x＞ C．∃x0∈N*， D．∃x0∉N*，（）x＞4．等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，Sn＝126，则n＝（）A．6 B．7 C．8 D．95．已知m，n，l是不重合的三条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，则（）A．若m∥n，m⊂α，则n∥α B．若l⊥β，m⊂α，l⊥m，则α∥β C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β D．若α⊥β，γ⊥β，α∩γ＝l，则l⊥β6．若不等式的解集为{x|2＜x＜4}，则实数a的值为（）A．1 B．3 C．5 D．77．若正实数x，y满足x+16y＝xy，则（）A．x+y≤25 B．x+y≥32 C．x+y≤32 D．x+y≥258．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣1，f（0）＝2，则不等式f（x）＜ex+1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）二、多选题（多选）9．以下求导运算正确的是（）A．ʹ＝ B．（ln2x）ʹ＝ C．（lgx）ʹ＝ D．（cos2）'＝﹣sin2（多选）10．下列命题为假命题的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 C．若a＜b，c＞0，则ac＞bc D．若a＜b＜0，c＞0，则（多选）11．对于函数，下列说法正确的有（）A．f（x）的单调递减区间为（1，+∞） B．f（x）在处取得极大值 C．f（x）只有一个零点 D．（多选）12．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在水平的地面上，水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的 B．圆锥的高等于圆柱高的 C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点P D．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P三、填空题13．已知，，若，则λ﹣μ＝．14．若f（x）＝x2+2xf'（1），则f'（0）等于．15．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且数列是等差数列，则数列{an}的第2021项等于．16．已知函数，若方程f（x）＝2ax有三个不同的实数根，则a的取值范围是．四、解答题17．已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．18．在等差数列{an}中，2a1+3a2＝11，2a3＝a2+a6﹣4，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．19．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x||x﹣m|≤1}．（Ⅰ）若实数m＝0，求A∩B，A∪B；（Ⅱ）若p：x∈A是q：x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，，点M是CC1的中点．（1）求证：平面ABM⊥平面AB1M；（2）求直线AC1与ABM所成角的正弦值．21．已知正项数列（an）满足++…+＝．（1）求（an）的通项公式；（2）设bn＝，记数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜4．22．已知函数f（x）＝xex﹣ax﹣ax2．（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若h（x）＝f（x）+ax2在（﹣∞，0）上单调递增，求a的取值范围；（3）当a＞1时，确定函数f（x）零点的个数．

2023-2024学年山东省潍坊市昌乐二中高三（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、单选题1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|＜1}，B＝{x|x＜1或x≥4}，则A∪（∁UB）＝（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜4} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x≤4}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】B【分析】根据并集、补集的定义进行计算得出结果．【解答】解：由B＝{x|x＜1或x≥4}得∁UB＝{x|1≤x＜4}，又A＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，所以A⋃（∁UB）＝{x|0＜x＜4}．故选：B．2．函数f（x）＝ex在点（0，1）处的切线的斜率是（）A．e2 B．e C．2 D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】D【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数得答案．【解答】解：由f（x）＝ex，得f′（x）＝ex，∴函数f（x）＝ex在点（0，1）处的切线的斜率是f′（0）＝1．故选：D．3．命题P：∀x∈N*，（）x≤的否定为（）A．∀x∈N*，（）x＞ B．∀x∉N*，（）x＞ C．∃x0∈N*， D．∃x0∉N*，（）x＞【考点】全称命题的否定．【答案】C【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题P：∀x∈N*，（）x≤为全称命题，则命题的否定为：∃x0∈N*，．故选：C．4．等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，Sn＝126，则n＝（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等比数列的前n项和．【答案】A【分析】运用等比数列的求和公式Sn＝，代入数据计算即可得到n．【解答】解：由a1＝2，q＝2，Sn＝126，可得Sn＝＝＝126，解方程可得n＝6．故选：A．5．已知m，n，l是不重合的三条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，则（）A．若m∥n，m⊂α，则n∥α B．若l⊥β，m⊂α，l⊥m，则α∥β C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β D．若α⊥β，γ⊥β，α∩γ＝l，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【答案】D【分析】举反例判断A，B，C错误，证明选项D正确．【解答】解：A：如图所示，m∥n，m⊂α，但n⊂α；A错；B：如图所示，α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，l⊂α，所以l⊥β，m⊂α，l⊥m，B错误；C：如图所示，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，但α与β相交，C错误；D：因为α∩γ＝l，所以l⊂α，l⊂γ，取点A∈l，则A∈α，A∈γ，假设直线l与平面β不垂直，又α⊥β，则过点A在平面α内可作一条直线与平面β垂直，记为m，同理，在平面γ内过点A可作直线n⊥β，因为过点A有且仅有一条直线垂直于平面β，所以直线m与直线n重合，所以m⊂α，m⊂γ，所以α∩γ＝m，又α∩γ＝l，与平面α与平面γ有且仅有一条交线矛盾，故假设不成立，所以D正确，故选：D．6．若不等式的解集为{x|2＜x＜4}，则实数a的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】其他不等式的解法．【答案】D【分析】将不等式化为（x﹣a+3）（x﹣2）＜0，再根据不等式的解集为{x|2＜x＜4}求解．【解答】解：由，可得，即，即（x﹣a+3）（x﹣2）＜0．因为不等式的解集为{x|2＜x＜4}，所以a﹣3＝4，解得a＝7．故选：D．7．若正实数x，y满足x+16y＝xy，则（）A．x+y≤25 B．x+y≥32 C．x+y≤32 D．x+y≥25【考点】基本不等式及其应用．【答案】D【分析】由已知可得＝1，然后利用乘1法结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正实数x，y满足x+16y＝xy，所以＝1，所以x+y＝（x+y）（）＝17+＝25，当且仅当x＝4y且x+16y＝xy，即y＝5，x＝20时取等号．故选：D．8．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣1，f（0）＝2，则不等式f（x）＜ex+1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】设g（x）＝e﹣xf（x）﹣e﹣x，利用导数性质得y＝g（x）在定义域上单调递减，从而得到g（x）＜g（0），由此能求出f（x）＜ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集．【解答】解：设g（x）＝e﹣xf（x）﹣e﹣x，则g′（x）＝﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）+e﹣x＝﹣e﹣x[f（x）﹣f′（x）+1]，∵f'（x）﹣f（x）＜﹣1，∴f′（x）﹣f（x）+1＜0，∴g′（x）＜0，∴y＝g（x）在定义域上单调递减，∵f（x）＜ex+1，∴g（x）＜1，∵g（0）＝e﹣0f（0）﹣e﹣0＝f（0）﹣1＝2﹣1＝1，∴g（x）＜g（0）．∴x＞0，∴f（x）＜ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．故选：C．二、多选题（多选）9．以下求导运算正确的是（）A．ʹ＝ B．（ln2x）ʹ＝ C．（lgx）ʹ＝ D．（cos2）'＝﹣sin2【考点】导数的运算．【答案】BC【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】解：A，∵（）′＝（x﹣2）′＝﹣2x﹣3＝﹣，∴A错误，B，∵（ln2x）′＝×2＝，∴B正确，C，∵（lgx）′＝，∴C正确，D，∵（cos2）′＝0，∴D错误，故选：BC．（多选）10．下列命题为假命题的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 C．若a＜b，c＞0，则ac＞bc D．若a＜b＜0，c＞0，则【考点】等式与不等式的性质．【答案】ABC【分析】举反例检验选项AB，结合不等式性质检验选项CD即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；当c＝0时，B显然错误；若a＜b，c＞0，则ac＜bc，C错误；若a＜b＜0，则，因为c＞0，所以，D正确．故选：ABC．（多选）11．对于函数，下列说法正确的有（）A．f（x）的单调递减区间为（1，+∞） B．f（x）在处取得极大值 C．f（x）只有一个零点 D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】BC【分析】求导，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间，即可判断A；根据极值的定义即可判断B；根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断C；根据函数的单调性即可判断D．【解答】解：，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调递减区间为，单调增区间为，故A错误；f（x）在处取得极大值，故B正确；∵，∴函数f（x）在上有唯一零点，又∵时，lnx＞0，则f（x）＞0，∴函数f（x）在上不存在零点，综上f（x）只有一个零点，故C正确；∵f（x）的单调递减区间为，，∴，故D错误．故选：BC．（多选）12．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在水平的地面上，水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的 B．圆锥的高等于圆柱高的 C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点P D．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】BC【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式和性质逐一判断即可．【解答】解：设圆柱的高为h，其内部圆锥的高为h1，圆柱的底面积为S，因为无论如何摆放，水的体积保持不变，所以，化简得h，故A错误，B正确；水的体积为Sh，小圆锥的体积为Sh，所以当容器一条母线贴地时，水的体积正好占内部空间的一半，故水面过点P，故C正确；圆柱内部关于点P不对称，故当斜放时，水面不过点P，故D错误．故选：BC．三、填空题13．已知，，若，则λ﹣μ＝﹣12．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【答案】﹣12．【分析】根据向量垂直的充要条件即可得出，然后即可求出λ﹣μ的值．【解答】解：∵，∴，∴λ﹣μ＝﹣12．故答案为：﹣12．14．若f（x）＝x2+2xf'（1），则f'（0）等于﹣4．【考点】导数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，计算可得f′（x）＝2x+2f'（1），令x＝1分析可得f′（1）＝﹣2，即可得f′（x）＝2x﹣4，将x＝0代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x2+2xf'（1），则f′（x）＝2x+2f'（1），令x＝1可得：f′（1）＝2+2f'（1），解可得f′（1）＝﹣2，则f′（x）＝2x﹣4，则f′（0）＝﹣4；故答案为：﹣4．15．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且数列是等差数列，则数列{an}的第2021项等于．【考点】等差数列的性质．【答案】．【分析】根据d＝﹣求出公差，再根据等差数列的通项公式能求出数列{an}的第2021项．【解答】解：∵数列{}是等差数列，∴其公差d＝＝1﹣＝，∴＝+（2021﹣1）d＝＝，a2021＝．故答案为：．16．已知函数，若方程f（x）＝2ax有三个不同的实数根，则a的取值范围是（，+∞）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】（，+∞）．【分析】先验证x＝0不是方程f（x）＝2ax的根，则当x≠0时，方程f（x）＝2ax可化为：2a＝，令h（x）＝，分析出其单调性等性质，作出其函数图象，方程f（x）＝2ax有三个不同的实数根，即直线y＝2a与函数h（x）的图象有3个交点，结合图形即可得出答案．【解答】解：当x＝0时，f（0）＝﹣，此时2a×0＝0≠﹣，所以x＝0不是方程f（x）＝2ax的根，当x≠0时，方程f（x）＝2ax可化为：2a＝，设h（x）＝＝，方程f（x）＝2ax有三个不同的实数根，即直线y＝2a与函数h（x）的图象有3个交点，当x＜0时，h（x）＝﹣，此时h（x）单调递增，且h（x）＞，当x＞0时，h（x）＝，则h′（x）＝，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；所以h（x）min＝h（1）＝e，作出h（x）的图象如图：由图可知，当2a＞e，即a＞时，直线y＝2a与函数h（x）的图象有3个交点，所以方程f（x）＝2ax有三个不同的实数根时，实数a的取值范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．四、解答题17．已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）1；（2）f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），极小值为0，极大值为．【分析】（1）求导，求出f'（1）＝﹣1+2＝1即为切线斜率，然后求出切线方程即可；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值．【解答】解：（1）因为f'（x）＝﹣x2+2x，所以f'（1）＝﹣1+2＝1，因此曲线y＝f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；（2）令f'（x）＝﹣x2+2x＝0，解得x＝0或2．x（﹣∞，0）0（0，2）2（2，+∞）f'（x）﹣0+0﹣f（x）↘极小值↗极大值↘所以f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）内是减函数，在（0，2）内是增函数．因此函数f（x）在x＝0处取得极小值f（0），且f（0）＝0，函数f（x）在x＝2处取得极大值，且f（2）＝；综上，f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），极小值为0，极大值为．18．在等差数列{an}中，2a1+3a2＝11，2a3＝a2+a6﹣4，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出等差数列的前n项和Sn＝n2，代入bn＝＝＝，然后利用裂项相消法数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由2a1+3a2＝11，2a3＝a2+a6﹣4，得2a1+3a2＝2a1+3（a1+d）＝5a1+3d＝11①，2a3＝a2+a6﹣4，即2（a1+2d）＝a1+d+a1+5d﹣4②，联立①②解得d＝2，a1＝1，∴an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；（2）Sn＝na1+n（n﹣1）d＝n×1+n（n﹣1）×2＝n2，bn＝＝＝＝﹣，∴Tn＝（﹣）+（）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＝．19．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x||x﹣m|≤1}．（Ⅰ）若实数m＝0，求A∩B，A∪B；（Ⅱ）若p：x∈A是q：x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】充分条件与必要条件；交集及其运算．【答案】（Ⅰ）A∩B＝{1}，A∪B＝{x|﹣1≤x≤1}∪{2}；（Ⅱ）实数m的取值范围为[1，2]．【分析】（Ⅰ）分别求出A，B，代入m的值，求出A，B的交集和并集即可；（Ⅱ）根据充分必要条件的定义得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{x|m﹣1≤x≤m+1}，（Ⅰ）若实数m＝0，则B＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{1}，A∪B＝{x|﹣1≤x≤1}∪{2}．（Ⅱ）若p：x∈A是q：x∈B的必要不充分条件，则A⊂B，由，解得：1≤m≤2，所以实数m的取值范围为[1，2]．20．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，，点M是CC1的中点．（1）求证：平面ABM⊥平面AB1M；（2）求直线AC1与ABM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直．【答案】（1）见解答；（2）．【分析】（1）要证面面垂直，先证线面垂直，需要找线线垂直，可以根据数据利用勾股定理证得BM⊥B1M，再由AB⊥平面BCC1B1，可得AB⊥B1M，于是可证；（2）利用等体积法求得C1与平面ABM的距离为d，即可．【解答】解：（1）证明：设AA1＝2，则AB＝BC＝1，由于∠ABC＝90°，则AC＝，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是CC1的中点，于是CM＝C1M＝1，则AM＝，B1M＝BM＝，于是，于是BM⊥B1M，由直三棱柱的性质知：AB⊥BB1，又AB⊥BC，BB1，BC⊂平面BCC1B1，BB1∩BC＝B，则AB⊥平面BCC1B1，由于B1M⊂平面BCC1B1，则AB⊥B1M，由于AB、BM⊂平面ABM，且AB∩BM＝B，则B1M⊥平面ABM，又B1M⊂平面AB1M，则平面ABM⊥平面AB1M；（2）设C1与平面ABM的距离为d，由于AB⊥平面BCC1B1，由得：，，，故d＝，于是直线AC1与ABM所成角的正弦值为：．21．已知正项数列（an）满足++…+＝．（1）求（an）的通项公式；（2）设bn＝，记数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜4．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）已知正项数列（an）满足++…+＝，①，则，②，两式相减求解即可；（2）由已知可得，然后结合错位相减法及等比数列的求和公式求证即可．【解答】（1）解：已知正项数列（an）满足++…+＝，①则，②由①﹣②可得：当n≥2时，，又满足上式，∴，（n≥1），又数列（an）为正项数列，则；（2）证明：由（1）可得bn＝＝，则，③则，④由③﹣④可得