2023-2024学年陕西省、青海省、四川省名校联盟高三(上)第二次月考数学试卷(文科)(10月份)

2023-2024学年陕西省、青海省、四川省名校联盟高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（10月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知全集U＝R，设A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{y|y＝}，则A∩（∁UB）＝（）A．[1，3） B．[1，3] C．（1，3） D．（1，3]2．（5分）已知tanα＝﹣2，α∈（0，π），则cos（5π﹣α）的值为（）A．﹣ B． C． D．﹣3．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0 B．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件 C．若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题 D．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”4．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A． B． C． D．5．（5分）设a＝sin147°，b＝cos305°，c＝tan215°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．（5分）已知函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）＝2x3+x2f'（1）+lnx，则f′（2）的值等于（）A． B． C．﹣7 D．77．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|﹣1，g（x）＝﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，则a的最大值为（）A． B．1 C．e D．2e9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的图象不间断的函数，其导函数f'（x）的图象如图所示，则f（x）的极值点的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（5分）某莲藕种植塘每年的固定成本是10000元，每年最大规模的种植量是40000斤，每种值一斤藕，成本增加0.5元，如果收入函数是R（q）＝﹣q3+10000q2+q（q是莲藕的重量，单位：斤），问每年种植（）斤莲藕，可使利润最大．A．10000 B．12000 C．20000 D．2010011．（5分）已知ω＞0，，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1的图像如图所示，A，C，D是f（x）的图像与y＝1相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O，B，若在区间（a，b）上，f（x）有2023个零点，则b﹣a的最大值为（）A．2020π B． C． D．1012π12．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣k仅有一个零点，则k的取值范围是（）A． B． C．（﹣∞，0） D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）函数y＝loga（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图像恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝．14．（5分）若命题“∃x0∈R，”是假命题，则实数k的取值范围为．15．（5分）已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．16．（5分）设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，e为自然对数的底数，若函数f（x）满足，且，则关于x的不等式的解集为．三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．18．（12分）已知函数是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知函数的部分图象如图所示．（1）写出函数f（x）的解析式及单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的值域．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x（a∈R）．（1）若f′（3）＝0，求f（x）在[1，4]上的最小值和最大值；（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．21．（12分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足a＝6，b＝5且sinA＝sin2B．（1）求c；（2）若点M，N分别在边AB和AC上，且MN将△ABC分成面积相等的两部分，求MN的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+ax2+bx．（a，b为实数）（1）当a＝1，b＝1时，若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）＝4，证明：x1+x2≥2；（2）当a＝0时，设，若g（x）≥0恒成立，求b的取值范围．

2023-2024学年陕西省、青海省、四川省名校联盟高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（10月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知全集U＝R，设A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{y|y＝}，则A∩（∁UB）＝（）A．[1，3） B．[1，3] C．（1，3） D．（1，3]【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】C【分析】先求出集合A，B，再由全集U＝R求出B的补集，最后求出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵y＝ln（x﹣1），∴x﹣1＞0，∴x＞1，∴A＝（1，+∞），∵x2+2x+10＝（x+1）2+9≥9，∴y＝≥3，∴B＝[3，+∞），∴∁uB＝（﹣∞，3），∴A∩（∁UB）＝（1，3）．故选：C．2．（5分）已知tanα＝﹣2，α∈（0，π），则cos（5π﹣α）的值为（）A．﹣ B． C． D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求解．【解答】解：因为tanα＝﹣2＜0，α∈（0，π），所以，所以cosα＝﹣＝﹣，所以．故选：C．3．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0 B．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件 C．若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题 D．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”【考点】命题的真假判断与应用．【答案】C【分析】利用命题的否定判断A的正误；充要条件判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，满足命题的否定关系，正确；对于B，“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件，满足“x＝1”⇒“x2﹣3x+2＝0”，反之，不成立，所以B正确；对于C，若命题p∧q为假命题，则p，q至少一个是假命题，所以C不正确；对于D，命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否命题的形式，正确．故选：C．4．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f（x）→+∞排除C，D，故选：B．5．（5分）设a＝sin147°，b＝cos305°，c＝tan215°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】三角函数线；对数值大小的比较．【答案】C【分析】利用三角函数的诱导公式及正弦函数的单调性，结合同角三角函数的商数关系即可求解．【解答】解：由诱导公式可得a＝147°＝sin（180°﹣33°）＝sin33°，b＝cos305°＝cos（360°﹣55°）＝cos55°＝cos（90°﹣35°）＝sin35°，由y＝sinx在上单调递增，得sin33°＜sin35°，即a＜b，，所以c＞b＞a．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）＝2x3+x2f'（1）+lnx，则f′（2）的值等于（）A． B． C．﹣7 D．7【考点】导数的加法与减法法则．【答案】A【分析】由f′（x）＝6x2+2xf′（1）+可得f′（1）＝6+2f′（1）+1，从而求出f′（1），代入求f′（2）．【解答】解：由题意，f′（x）＝6x2+2xf′（1）+，则f′（1）＝6+2f′（1）+1，则f′（1）＝﹣7；故f′（2）＝24+2×2×（﹣7）+＝﹣，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|﹣1，g（x）＝﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】C【分析】根据min{m，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）＝﹣x2+2x+3＝0，得x＝﹣1，或x＝3，由f（x）＝|lnx|﹣1＝0，得x＝e或x＝，∵g（e）＞0，∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C．8．（5分）若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，则a的最大值为（）A． B．1 C．e D．2e【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】B【分析】根据题意，分析可得x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2⇒﹣＜0，设f（x）＝，（x＞0），则在（0，a），函数f（x）为增函数；求出函数f（x）的导数，分析可得函数f（x）的递增区间，分析可得答案．【解答】解：根据题意，若0＜x1＜x2＜a，x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2⇒﹣＜﹣⇒＜⇒﹣＜0，设f（x）＝，（x＞0），则在（0，a），函数f（x）为增函数，对于f（x）＝，其导数f′（x）＝＝﹣，若f′（x）＞0，解可得0＜x＜1，即函数f（x）的递增区间为（0，1）；若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，即在（0，a），函数f（x）为增函数，则a的最大值为1；故选：B．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的图象不间断的函数，其导函数f'（x）的图象如图所示，则f（x）的极值点的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】C【分析】由导函数的图象得原函数的单调性进而得函数的极值点．【解答】解：有导函数f'（x）图象先正后负再正再负及函数f（x）是定义在R上的图象不间断的函数，可得函数f（x）在R上先增后减再增再减，先增到的点处断开，所以函数在R上有2个极值点；故选：C．10．（5分）某莲藕种植塘每年的固定成本是10000元，每年最大规模的种植量是40000斤，每种值一斤藕，成本增加0.5元，如果收入函数是R（q）＝﹣q3+10000q2+q（q是莲藕的重量，单位：斤），问每年种植（）斤莲藕，可使利润最大．A．10000 B．12000 C．20000 D．20100【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】D【分析】求出利润函数，利用导数求最大值．【解答】解：由题意，利润L＝﹣q3+10000q2+q﹣100000﹣0.5q＝﹣q3+10000q2+2010000q﹣100000（0＜q≤40000）．∴L′＝﹣q2+20000q+2010000＝﹣（q﹣20100）（q+100），∴函数在（0，20100）上单调递增，在（20100，40000）上单调递减，∴q＝20100，利润最大．故选：D．11．（5分）已知ω＞0，，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1的图像如图所示，A，C，D是f（x）的图像与y＝1相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O，B，若在区间（a，b）上，f（x）有2023个零点，则b﹣a的最大值为（）A．2020π B． C． D．1012π【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】D【分析】根据题意结合三角函数的周期性的特征分析求解．【解答】解：令f（x）＝2sin（ωx+φ）+1＝0，则，与题意相对应且使得的值可以取，则，由题意可得，则T＝π，由题意可知：若b﹣a的最大值，则a，b均为零点，不妨取a＝0，且2023为奇数，则f（x）在（0，b]内有2024个零点，所以．故选：D．12．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣k仅有一个零点，则k的取值范围是（）A． B． C．（﹣∞，0） D．【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【答案】D【分析】转化函数的零点为方程的根，利用数形结合求解即可．【解答】解：函数，若函数g（x）＝f（x）﹣k仅有一个零点，即f（x）＝k，只有一个解，在平面直角坐标系中画出，y＝f（x）的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k∈（﹣∞，0）∪（，2），答案为D，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）函数y＝loga（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图像恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝．【考点】任意角的三角函数的定义；对数函数的单调性与特殊点．【答案】．【分析】由对数函数的性质先求出A的坐标，然后结合三角函数定义及二倍角公式可求．【解答】解：令x+4＝1，则y＝2，则函数y＝f（x）的图像恒过定点A（﹣3，2），则，，则．故答案为：．14．（5分）若命题“∃x0∈R，”是假命题，则实数k的取值范围为（﹣4，0]．【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．【答案】（﹣4，0]．【分析】根据已知条件，推得命题“∀x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0”是真命题，再对k分类讨论，即可求解．【解答】解：若命题“∃x0∈R，”是假命题，则命题“∀x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0”是真命题，当k＝0时，有﹣1＜0，符合题意，当k≠0时，则有k＜0且Δ＝（﹣k）2﹣4×k×（﹣1）＝k2+4k＜0，解得﹣4＜k＜0，综上所述，实数k的取值范围为（﹣4，0]．故答案为：（﹣4，0]．15．（5分）已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是[﹣3，﹣2]．【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】设x＝cosθ，．则f（x）＝4x3﹣3x﹣2＝4cos3θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．利用﹣≤θ≤﹣即可求解．【解答】解：设x＝cosθ，．则f（x）＝4x3﹣3x﹣2＝4cos3θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．∵﹣≤θ≤﹣，∴cos3θ∈[﹣1，0]，∴cos3θ﹣2．∈[﹣3，﹣2]故答案为：[﹣3，﹣2]16．（5分）设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，e为自然对数的底数，若函数f（x）满足，且，则关于x的不等式的解集为（﹣∞，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【答案】（﹣∞，1）．【分析】由题意，设g（x）＝x⋅f（x）+c，对函数g（x）进行求导，结合所给信息得到，进而推出函数f（x）的解析式，将所求不等式转化成求，构造函数h（x）＝f（x）﹣x，对函数h（x）进行求导，利用导数得到函数h（x）的单调性，进而即可求解．【解答】解：不妨设g（x）＝x⋅f（x）+c，可得，所以，此时，又，所以，可得，要求，即求，不妨设，函数定义域为（0，+∞），可得，所以函数h（x）在定义域上单调递减，因为h（ex）＝f（ex）﹣ex，又，所以h（ex）＞h（e），即ex＜e，解得x＜1，则不等式的解集为（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质求出m检验即可，（Ⅱ）结合集合的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2＝1，⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）＝x2，当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，4]，即A＝[1，4]，当x∈[1，2]时，g（x）∈[2﹣k，4﹣k]，即B＝[2﹣k，4﹣k]，若命题p是q成立的必要条件，则B⊆A，则，即，解得：0≤k≤1．18．（12分）已知函数是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】对数函数的图象与性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据函数是偶函数，即f（﹣x）＝f（x），可得k的值．（2）求解出h（x），转化为二次函数，利用对称轴讨论其最小值，可得结论．【解答】解：（1）由题意，函数是偶函数．∵f（﹣x）＝f（x），即对于任意x∈R恒成立，∴，∴2kx＝﹣x，∴．（2）由题意，h（x）＝4x+m×2x，x∈[0，log23]，令t＝2x∈[1，3]，φ（t）＝t2+mt，t∈[1，3]，开口向上，对称轴，当，即m≥﹣2时，φ（t）min＝φ（1）＝1+m＝0，解得：m＝﹣1，当，即﹣6＜m＜﹣2时，（舍去），当，即m＜﹣6时，φ（t）min＝φ（3）＝9+3m＝0，∴m＝﹣3（舍去）∴存在m＝﹣1使得h（x）最小值为0．19．（12分）已知函数的部分图象如图所示．（1）写出函数f（x）的解析式及单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的值域．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】（1）f（x）＝cos（2x﹣），单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（2）[﹣，1]．【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，求出ω的值，代入最值点可求φ的值，写出函数f（x）的解析式，根据余弦函数的单调性求得减区间；（2）结合（1）中函数的减区间确定函数f（x）在区间[﹣，]上的单调性，求出函数的最值，可得函数的值域．【解答】解：（1）根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象知，T＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，又，所以，k∈Z，解得，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝﹣，所以，令，解得，所以f（x）的递减区间为．（2）因为，递减区间为，当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，所以，，，所以函数f（x）在区间[﹣，]上的值域为[﹣，1]．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x（a∈R）．（1）若f′（3）＝0，求f（x）在[1，4]上的最小值和最大值；（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）最小值是﹣18，最大值是﹣6；（2）（﹣∞，0]．【分析】（1）对函数求导，由f′（3）＝0，解得a＝4，得到函数f（x）的解析式，然后判断函数单调性，再求出函数f（x）的最值；（2）由题意只需满足f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，变量分离得，构造函数，只需求函数g（x）的最小值即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）＝3x2﹣2ax﹣3，由f′（3）＝0，得27﹣6a﹣3＝0，解得a＝4，∴f′（x）＝3x2﹣8x﹣3，令f′（x）＝0，则3x2﹣8x﹣3＝（3x+1）（x﹣3）＝0，解得或x＝3，x1（1，3）3（3，4）4f′（x）f′（x）＜00f′（x）＞0f（x）﹣6↓极小值﹣18↑﹣12∴f（x）在[1，4]上的最小值是f（3）＝﹣18，最大值是f（1）＝﹣6；（2）由题意，得f′（x）＝3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，∴，又当x≥1时，是增函数，其最小值为g（1）＝0，∴a≤0，即实数a的取值范围为（﹣∞，0]．21．（12分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足a＝6，b＝5且sinA＝sin2B．（1）求c；（2）若点M，N分别在边AB和AC上，且MN将△ABC分成面积相等的两部分，求MN的最小值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）5；（2）．【分析】（1）根据二倍角公式、正弦定理和sinA＝sin2B得到，，再利用同角三角函数基本公式得到，利用和差公式得到，即可得到c＝b＝5；（2）利用三角形面积公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式即可得到MN的最小值．【解答】解：（1）因为sinA＝sin2B＝2sinBcosB，所以，因为，所以，又，且A为锐角，所以