2025-2026月考试卷8年级（数学）专题03期中压轴题专训（原卷版）

如图①,在△ABC中，AC=BC，D，E分别在AC，BC上，若CD=CE，则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形，连接AE，BD，则AD与BE的数量关系是求7AEB的度数及AD与BE的数量关系．并说明理由．（3）拓展延伸：如图③,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，7ACB=7DCE=90o，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．试猜想7AEB的度数及线段CM，AE，BE之间（4）解决问题：在（3）的条件下，若BE=4，CM=3，直接写出四边形ABEC的面积．个等角的度数为90°,且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，（1）①如图1，在等腰直角△ABC中，7ACB=90°,AC=BC，过点C作直线DE，ADTDE于点D，BE丄DE于点E，则AD，BE与DE之间满足的数量关系是②如图2，在等腰直角△ABC中，7ACB=90°,AC=BC，过点C作直线CE，过点A作ADTCE于点D，过点B作BETCE于点E，AD=5，BE=2，则DE的长为【模型初探】（2）①如图3，四边形ABCD中，AC=BC，7ACB=7ADC=90°,CD=8．求△BCD的面积②如图4，在Rt△AOB中，7AOB=90°,分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连DC交OB延长线于点E，判断AO与BE的数量关系并证明．【模型拓展】（3）如图5，在△ABC中，AB=AC，BC=4，S△ABC=6，以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，请画出图形并直接写出△BCD的面积．325-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为△ABC外一点，且LMDN=60O，LBDC=120O，BD=DC．探究：当M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．【问题探究】（1）如图1，当点M，N分别在边AB，AC上，且DM=DN时，此时BM，NC，MN间的（2）如图2，点M，N边分别在AB，AC上，且当DM≠DN时，猜想BM，NC，MN之间的数量关系QQL【拓展延伸】（3）当M，N分别在边AB，CA的延长线上时，如图3所示，若此时AN=x，则Q=用x，L表示，直接写出结果)．424-25八年级上·山东东营·期中）如图，在△ABC中，7C=90o，AC=BC，点O是AB中点，7MON=90o，将7MON绕点O旋转，7MON的两边分别与射线AC、CB交于点D、E．(1)当7MON转动至如图一所示的位置时，连接CO，求证：△COD≌△BOE；(2)如图一，线段CD、CE、AC三者之间的数量关系是(3)当7MON转动至如图二所示的位置时，线段CD、CE、AC之间有怎样的数量关系？请说明理由．525-26八年级上·四川·阶段练习1）如图1，点E，F是边长为4cm的正方形ABCD的边上两点，且LEBF=45o．为了探究AE，CF，EF之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长EA到H，使AH=CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再结合得出的结论证明△EBH≌△EBF，得EF=EH，从而得到AE，CF，EF之间的数量关系是；△DEF的周长是（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，LB+LD=180o，E，F分别是线段BC，CD上的点，且LEAFLBAD，探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；（3）如图3，在四边形ABCD中，LABC+LADC=180o，AB=AD，点E，F分别在CB和CD的延长线上，且满足EF=BE+DF，请探究LBAD和LEAF间的数量关系．6.（24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知LDCE与LAOB，OC平分LAOB．(1)如图1，LDCE与LAOB的两边分别相交于点D、E，7AOB=7DCE=90o，试判断线段CD与CE的数解：CD=CE．理由如下：如图1，过点C作CFTOC，交OB于点F，则7OCF=90o，请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若7AOB=120o，7DCE=60o．①如图3，LDCE与LAOB的两边分别相交于点D、E时，写出线段OD、OE、OC的数量关系；②如图4，LDCE的一边与AO的延长线相交时，写出线段OD、OE、OC的数量关系；725-26八年级上·江苏·阶段练习）小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①,等腰△ABC中，AB=AC．点D是AC上一动点，点E、P分别在BD延长线上，且AB=AE，CP=EP．(1)问题思考在图①中，求证：7BPC=7BAC；(2)问题再探若7BAC=60o，如图②,探究线段AP、BP、EP之间的数量关系，并证明．小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段(3)问题拓展，若7BAC=90o，且BD平分LABC，如图③,请直接写出的值为．如图1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=ADA．SSSB．AASC．SASD．HL[初步运用]（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，AE=EF．若EF=3，EC=2，线段BF的长为．（4）如图3，AD是△ABC的中线，7BAC=7ACB，点E在BC的延长线上，EC=BC．求证：AE=2AD．925-26八年级上·江西宜春·阶段练习）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关如图，在△ABC中，D是边BC上的中点．(1)如图1，E是边AB上任意一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F．.求证：DE=DF．(2)如图2，连接AD，若AB=6，AC=4，求AD的长的取值范围．(3)如图3，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，AB=CE，7BAC=7BCA，求证：AC平分LDAE．(4)若将（3）中的“AB=CE，7BAC=7BCA”更改为“AC平分LDAE，7E=7BAD”，试探究线段AE与AD1025-26八年级上·江苏扬州·阶段练习1）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过D点作DG∥AC交BC于G，进而解决了该问题，请继续完成证明．（2）【探究】如图③,在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，7BAE=7EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．（3）【应用】如图④,在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若1125-26九年级上·北京·阶段练习）Rt△ABC中，7ACB=90o，7B=a，点D是AB边中点，点E是BC边上动点（不与点B、点C重合连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转2a，得到线段DF，连接BF．(1)如图1，若点F刚好落在BC边上，连接AF，求证：AF=BF；1224-25八年级上·广东·阶段练习）综合探究．【类比探究】（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，写出AB与CE的位置关系为；线段EC，AC，【拓展应用】（3）如图3，在等边△ABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上一动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE，BE．PE+BE是否有最小值？若有，请求出其最小1325-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ACD与等腰△CBE，DA=DC，EC=EB，7ADC=a，7CEB=β,且a+β=180O．(1)如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：DC(2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接AB，点F为AB中点，连接DF、EF，求证：DF丄EF；(3)如图3，当点B在线段AD上运动时（点B与A、D不重合连接DE，若a=60O，AC=4，且S△ACD=43，求AE+1DE的最小值．21425-26八年级上·江苏·阶段练习）如图1，AO是边长为2的等边△ABC的高，点D是线段AO上的一个动点（点D不与点A、O重合以CD为一边在AC下方作等边△CDE，连接BE．(3)延长BE交AC的延长线于点F．如图2，当△CEF为等腰三角形时：①求LACD的度数；②求△CEF1524-25八年级上·江苏·阶段练习）定义：过②如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交AC边于点P，且PB=PA，请求出CP的长度．(2)如图3，△ABC中，CD为AB边上的高，F为AC的中点，过点F的直线l交AD于点E，作CMTl,DNTl，垂足为M，N，BD=6,AC=10，且7A>45O．若射线CD为△ABC的CM+DN的最大值．1624-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）已知△ABC是等边三角形．【初步探索】（1）如图1，点D在线段BC上，连接AD，作DETAB于点E，若BD=1，求BE的长；【探索证明】（2）如图2，延长BC至点E，连接AE，点F是△ABC外一点，连接EF、CF，CF平分7ACE，在CF上取一点G，使得CG=CE，连接EG，若7AEF=60o，求证：CF=AC+CE；【灵活应用】（3）如图3，延长BC至点P，点M为BC上一点，连接AM，以AM为边在右侧作等边三角形AMN，取AC中点H，连接NH，若AB=4，请求出NH的最小值及此时BM的长．图1，已知，点D在△ABC的边BC上，AD平分7BAC，且ADTBC，求证:AB=AC．请你帮助小华(2)①如图2，在△ABC中，7ABD=27C，AD是角平分线，BDTAD，证明:AC-AB=2BD．②如图3，在四边形ABCD中，AC=13,BC-AB=3,BD平分7ABC，BDTCD，当△ACD的面积最大时，CD的长为．(3)如图4，在城市规划的三角形文化公园△ABC中，7ACOA、OB、OM、ON、MN，其中入口M、N分别在AC、BC上，步道OA、OB分别平分7BAC和1825-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点E，且LDAC=LDCA．(1)如图所示，若LAEB=125O，且LABD=2LCBD，DF平分LADB交AB、AC边于点F、M．①判断△DME是否能构成等腰三角形？若能，请求出其顶角的度数，若不能，请说明理由．②求的值．(2)若DB平分LADC，DE=CE，DH交AB点H且满足LADH=2LBDH，画出符合题意的图形，判断AH与DH之间的数量关系并证明．1925-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）△ABC为等腰直角三角形，7ABC=90O，点D在AB边上（不AD=2BM；(3)如图3，过点E作EHTCE交CB的延长线于点H，过点D作DGTDC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，探究线段HE，HG与DG之间的数量关系，并证明你的结论．且LA=LBCE=LD，连接BE．（1）求证：△CED≌△BCA2）如图2，若LACB=90°,将DE沿直线CD翻折得到DE9，连接BE9和【迁移拓展】（3）如图3，若LACB=90°,AC=BC，将DE沿直线CD翻折得到DE'，连接BE9交CE于2125-26九年级上·福建福州·开学考试）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①,点P在等边△ABC内部，且PA=3，PC=4，LAPC=150O，求PB的长．顺时针方向旋转60O，得到△AP,B，连接PP,，寻找PA，PB，PC三边之间的数量关系，即可求得PB的(2)【理解应用】如图②,在等腰直角△ABC中，LACB=90O，P为△ABC内一点，LAPC=135O，判断PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由；CO，且LAOC=LCOB=LBOA=120O，求OA+OB+OC的值．2225-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC,ADTBC于点D，7CBE=45o，BE分别交AC,AD于点E、F，(2)如图2，若AF=BC．①求证：E是AC的中点；②求证：BF2+EF2=AE2．重合连接AD，以AD为直角边，在AD的右侧作三角形ADE，使LDAE=90O，AD=AE，连接CE，交直线AB于点H．①如图3，当点D在线段BC上时，求证：CH=EH；②如图4，当点D在CB的延长线上时，若S△ACD=3S△AHE，请直接写出BD的长．2425-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知：在Rt△ABC中，LACB=90o，BC=AC．LDBE=LDBC+LCBE=45o+45o=90o，进而得到线段AD、BD、DE之间满足的数量关系是则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．则PA=位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后再巡查B营．如大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②,作点B关于直线l的对称点B,，连接AB,与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．下面是小明根据这一方法写出的证明过证明：如图③,作点B关于直线l的对称点B,，连接AB,与直线l交于点P,，连接B,P,，BP,，:PB= ,P,B=，:AP+PB=AP+PB≥,:当A，P，B,三点共线，即点P与点P,重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB,的长，即点P,就是饮马岸CD的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且两村之间的距离CD=3千米，现要在河岸CD上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．①请在河岸CD上选择水厂P的位置，使铺设管道的费用(3)模型迁移几何问题代数化是数学中解决问题的一种重要方法．请利用将军饮马模型直接写出当02625-26八年级上·山西晋中·阶段练习）综合与探究定义：一般地，若直角三角形三边长a、b、c都是正整数，那么称a、b、c为勾股数．设m、n是两个正整数，且m>n，直角三角形三边长a、b、c都是正整数．下表中的a，b，c（a、b均小于c）可以组成一些有规律的勾股数．mnabc213453186325418________42_________2043________25……………(1)请补全表中的勾股数．(2)对表中的数据探究发现，a=m2-n2，继续探究发现b和c也可以用含m、n的代数式表示．请你用含m、n的代数式分别表示b、c，然后证明a2+b2满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植株花．2725-26八年级上·四川·阶段练习）在Rt△ABC中，LBAC=90o，AB=AC，点D在线段BC上，点E在射线BC上，∠DAE=45o．(1)如图1，当点E在线段BC上时，①求证：DE2=BD2+CE