2025-2026月考试卷8年级（数学）一元二次方程的概念与解法（解析版）

注意：满足是一元二次方程的条件有1）必须是一个整式方程2）只含有一个未知数3）未知数的配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解公式法是用求根公式求出一元二次方程的解一元二次方程的求根公式是:x2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等①十字左边上下两数相乘等于二次项；②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。例如：用十字相乘法解方程：2x2-x-6=0为()【答案】【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二故选：A．【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）关于x的一元二次方程2x2-5x=3的常数项为()【答案】【答案】Bax22二次项，bx是一次项，c为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，【详解】解：关于x的一元二次方程2x2-5x=3即2x2-5x-3=0的常数项为-3【答案】【答案】-2【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知m2-2\m2-2=2且m-2≠0\m=-2故答案为：-2【答案】-2故答案为：-2.【答案】二次项系数是【答案】二次项系数是3，一次项系数是-1，常数项是-9．【详解】解：4x2-9=x2+x，3x2-x-9=0，六该方程的二次项系数是3，一次项系数是-1，常数项是-9．值为()【答案】【答案】B【答案】【答案】2018【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到m2-3m=-2，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．424-25八年级上·上海静安·课后作业）若m是一元二次方程x|a|-1-x-2=0的一个实数根．（2）不解方程，求代数式(m2-m的值． -x-2=0是关于x的一元二次方程， 所以m2-m=2，①所以m把①和②代入(m2-m得m2-m即m2-m【点睛】本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得m2-m=2和m是解题的关键．的值为()A．-2B．4C．2或-2D．4或-2 的值分别是()A．-4,21B．-4,11C．4,21D．-8,69【答案】A【答案】A运用完全平方公式展开，再化成一元二次方程的一般22-b=0，【答案】【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程2【答案】【答案】-5常数且a≠0)，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，【详解】解：方程【详解】解：方程3x2-5x-2=0的二次项系数为3，一次项系数为-5．故答案为：-5．解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x把x代入已知方程，(1)已知方程x2+3x-1=0，求一个一元二次方程.______【答案】(1)【答案】(1)y2-3y-1=0【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用（1）设所求方程的根为y，则y=-x，得到x所以x=-y把x=-y代入x2+3x-1=0，得(-y)2+3×(-y)-1=0．化简得y2-3y-1=0；所以x120251【答案】【答案】C2可确定所求方程的一个根．两边除以20252，得acx2【答案】0222222324-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知一元二次方程(【答案】【答案】k的值为-4．【分析】本题考查了一元二次方程的解，由一元二次方程(k-1)xk2+3k-4=0，然后求解，再利用一元二\k2+3k-4=0，∴k的值为-4．【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元（2）根据“有爱方程”的定义得到a、b、c的数量关系，将b用含a和c的代数式表示出来并代入方程，再2:4x2+4x=0，:b=a+c，:一元二次方程(2x+1)2=1是有爱方程．:b=a+c，:x=-1为有爱方程的根．:-a=3+b，:3x2-ax-(a+3)=0，:3a2-a2-(a+3)=0，【答案】A【详解】解：x2=9，是x+7=9，则另一个是()【答案】【答案】D2方程，这两个公共根叫做好友根．”例如x2-x-2=0和x2-2x-3=0就是互为好友方程，好友根为x=-1．如果x2-1=0和ax2-x-2=0就是互为好友方程，那么a=．【答案】1或3先解出x2-1=0，然后分为x=-1和x=1两种情况，再代入计算即可．故答案为：1或3．【答案】【答案】x【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解2解得x124-25八年级上·上海虹口·期末）若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根是m-1与2m-5，则m的值是()【答案】B【答案】B【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程、求代数式的值，ax2=b可化为x，两边直接开平方得出x的值，进而可得m-1+2m-5=0，解方程即可得出答案．根之积x1.x2分别是另一个一元二次方程a2x2+b2x+c2=（2）写出一个一元二次方程，使得它既是“原生方程”又是自己的“再生韦达方程”．一个根为-1，据此即可求解；【详解】解1）由方程x2-4=0得，x2=4，21x2-x1即x1324-25八年级上·上海·期中）解关于x的方程：7-bx2=x2+6(b≠-1)．【答案】当【答案】当b>-1时，x当b<-1时，方程无实数根【详解】解：7-bx2=x2+6(b≠-1)，当b>-1时，x，当b<-1时，方程无实数根．424-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读材料：关于x的二次多项式，当x-t=0时，该多项式有最值，就称该多项式关于x=t平衡．例如：由于x2-2x+3=(x-1)2+2，所以当x-1=0时，多项式x2-2x+3有最有最大值4，则称-x2-2x+3关于x=-1平衡．(2)若关于x的多项式x2-2ax+4关于x=5平衡，则a=；【答案】(1)【答案】(1)-2【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和解一元二次x2222-3，2故答案为：-2．22222222【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）利用“配方法”解方程x2-4x-7=0，配方结果正确的是() xx2-4x=7，值分别为()A．-5、2050B．5、2050C．5、-2050D．-5、2025【答案】【答案】A移项，得x2-10x=2025，【答案】【答案】9的形式，则mn=．2121【答案】-8【详解】解：【详解】解：2x2-6x+1=02x2-6x=-1x2-3x218步第三步x第四步【答案】【答案】(1)四，x2故答案为：四，xx2-6x=-3，x2-6x+9=-3+92【答案】【答案】Bx2【答案】4【答案】4+29或4-29【分析】本题考查了分式的运算、解一元二次方程，熟练掌握分式的运算法则和配方法解一元二次方程是解题的关键．根据题意，用a分别表示出S1至S7，再由S1.S2.S3.....S7=a得出关于a的方程，解方程求出a【详解】解：由题意得，S.S3.....S7=a，整理得：a2-8a-13=0，:a的值为4+29或4-29．故答案为：4+29或4-29．(1)x2(2)(2x-1)2=2(2x-1)；【答案】(1)x1=-3，x22【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．2x1=-3，x2=1；2-4x=2，2424-25八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读与思考：用配方法求二次三项式的最值项式不是完全平方式，可以通过添加项，用配方法变成完全平方式，再减去值不变，这样可以解决一些最值问题．如：求代数式x2-2x-2的最小值．解:x2-2x-2=x2-2x+1-3=(x-1)2-3:(x-1)2-3≥-3:x2-2x-2的最小值是-3．(1)将代数式x2+6x-4用配方法可转化为．(3)请求出代数式9x2-12x+7(2)-3，-6(3)(3)322-13；（2）解：4x2-12x+32-12x+9-62-62（3）解：9x2-12x+722【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）以x为根的一元二次方程可能是()A．x2-bx+10=0B．x2-bx-10=0C．x2+bx-5=0D．x2-bx-5=0【答案】D【答案】D【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解【详解】解：【详解】解：A、x2-bx+10=B、x2-bx-10=0，则x，故该选项不正确，不符合题意；D、x2-bx-5=0，则x，故该选项正确，符合题意；为()【答案】【答案】C【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键．根据x求解即可．【答案】-7【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的故答案为：-7．【答案】【答案】【分析】本题考查解一元二次方程，根据AC2=BC·AB，结合线段AB的长为1，BC=AB-AC，进行求解解得：AC或AC=（舍去【规律发现】（1）第n个图案中，“”的个数为；（2）第n个图案中，“”的个数可表示为；【规律应用】求出n的值，若不存在，请说出理由．2【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系的增加情况，找出规 第2一个图案中：“”有3=(2×2-1)个，第4一个图案中：“”有7=(2×4-1)个，故答案为：2n-1； 整理得：n2-7n+4=0，124-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-2)x+a-4=0(a>0)，设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1>x2若y是关于a的函数，且y=x1-ax2，若y>0，则()【答案】【答案】B式表示出y，即可得出结论．由求根公式，得x222024·上海长宁·模拟预测）观察下列图形规律，当图形中的O的个数和.个数差为2024时，n的值即可得出关于n的方程，解之即可得出结论．【详解】解：设第n个图形中O的个数为an个，.的个数为bn个，2344:bn=3n；解得n或n，均不为整数，不符合题；32025·上海崇明·模拟预测1）解方程：2x2-6x-15=0512a2512a2你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键．在上述解题过程中应该增加的一个步骤是当a=0时，方程-6x-15=0，解得：x故答案为：没有考虑a=0的情况；当a424-25八年级上·上海宝山·期末）解一元二次方程x2-2x=3时，两位同学的解法如下：x2-2x=3:x1=1或x2=5丫b2-4ac<0，:此方程无实数根．【答案】(1)【答案】(1)不正确，不正确【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算．（2）利用因式分解法把方程转化为(x+4)=0或(xx2值为()1A．2B．1C．-1D．-2【答案】【答案】D【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程得x或x=-m，根据一元二次方程得x或x=-m，答案是() 则有x2-x+1=x根据完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2，【答案】【答案】(x-4)(x-5)=0【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解一元二次方程的解的定义，难度不【详解】解：根据题意得：(x-4)(x-5)故答案为：(x-4)(x-5)=0（答案不唯一得到一个新的实数a2+b-1．例如，把(3,-2)放入其中，就会得到32+(-2)-1=6．现将实数对(m,-2m)放入其中，得到实数-1，则m的值是．【答案】0【答案】0或2【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解新定义的运算方法是解题的关键．按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为-1，列式求值即可．【详解】解：由题意得：m2+(-2m)-1=-1，解得：m=0或2．【分析】本题考查了运用因式分解法来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）把方程化为x(x-5)=0，再进一步解一元二次方程（2）把方程化为(x-3)(x-5)=0，再进一步解一元二次方程，即可作答．（2）解：(x-3)2=2x-6，212025八年级上·上海静安·专题练习）已知方程(x+a)(x+b)±0其中a≠b，则()A．M±N-1或M±N+1B．M±N-1或M±N+2C．M±N或M±N+1D．M±N或M±N-1【答案】【答案】C【分析】这道题主要考查解一元二次方程的因式分解法以及分类讨论思想，对于方程(x+a)(x+b)±0，根据““若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程(ax+1)(bx+1)=0，同样依据上述原理求解，但需要分a=0，b=0以及【详解】解：(x+a)(x+b)=0，解得x，此时N=1，当a≠0，b≠0时，方程变为ax+1=0或bx+1=0解得x或x，此时N=2，当a≠0且b≠0时，M=2，N=2，M=N，【答案】【答案】1或3x1=2，x2=m，324-25八年级上·上海普陀·阶段练习）解下列方程(1)x2(2)x222424-25八年级上·上海崇明·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式x2-2x+3，由于x2-2x+3=(x-1)2+2，所以当x-1=0时，多项式x2-2x+3有-x2-2x+3，由于-x2-2x+3=-(x+1)2+4，所以当x+1=0出一个定义：关于x的二次多项式，当x-t=0时x2-2x+3关于x=1对称．请结合小【答案】【答案】(1)-32 x2 2 -4 22-4故答案为：-3；同理可得当同理可得当x，即xa时，多项式x2+ax+c有最小值，最小值为c-a2，22等式6Δx=7中x的值为()A．1或-7B．-1或7C．-1D．-7【答案】【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的2-ab，6Δx=7，2[-1.2]=-2，[-3]=-3，则方程2[x]=x2的解为()【答案】D【答案】D222【点睛】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键．【答案】【答案】3或-1根据题意得到(x-1)2-3=1，即(x-1)2=4，得到x-1=±2，求出x=3或x=-1，即可得到答案．\x-1=±2，解得：x=3或x=-1，故答案为：3或-1．【答案】x【答案】x1=2，x2=-12-ab，2-x=2，【答案】(1)【答案】(1)-32故答案为-3；2-2x2，2，表示a，b中的较大值，如：max{2,4}=4，max{-2,-4}=-2等等；按照这个规定，若max{x,-x}=x2-3x-5，则x的值是()C．-1或1-6D．5或1+6【答案】【答案】B【分析】根据题意，分两边情况：x≥0时，x≥-x，x2-3x-5=x；x<0时，x<-x，x2-3x-5=-x，据【详解】解：max{a,b}表示a，b中的较大值，max{x,-x}=x2-3x-5，当x≥0时，x≥-x，x2-3x-5=x，\x2-4x-5=0，当x<0时，x<-x，x2-3x-5=-x，\x2-2x-5=0，综上，可得若max{x,-x}=x2-3x-5，则x的值是5或1-6．224-25八年级上·上海虹口·期中）新定义：关于x的一元二次方程a1(x-c)2+k=0与a2(x-c)2+k=0称【答案】2025【答案】2025【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本方程组的解得到方程组的解得到m与n的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．2-10x+20302:代数式mx2+nx+2030的最小值是2025．故答案为：2025．表示a、b中的较大值，如：Max{2,4}=4．(1)填空：Max{-2,-4}=；(2)按照这个规定，解方程Max【答案】(1)【答案】(1)-2故答案为：-2．综上：x=-1或x根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Q(a,b,c)表示，即Q，若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q(p,q,r)，当满足“全整根伴侣方程”．(2)若（1）中的方程是关于x的一元二次方程x2+qx-2=0的“全整根伴侣方程”，求q的值．(3)若关于x的一元二次方程x2+(1-m)x+m-2=0是x2+(n-1)x-n=0（m,n均为正整数）的“全整根伴侣4【答案】【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定1\“全整根方程”x2-3x+2=0的“最值码”是-．4144m-8-1+2m-m2,4-m2+6m-9.42\Q(a,b,c)-Q(p,q,r)=c，22-4m222\n-m+2=0，\m-n=2故m-n的值为2．A．-2，1B．2，1C．2，-1D．-2，-1【答案】【答案】Ax2-4x=-32小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是()（1）小聪认为找不到实数x，使2x2-4x+6得值为0；A12）B13）C124）D234）【答案】【答案】C【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定2x2-4x+6的范围判断（134故（124）正确3）错误；【答案】12【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方22m2222-13，22222\当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，根据上述方法，可求代数式x2-6x+122根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”．(2)已知关于x的一元二次方程2x2+bx (2)b2-2c+1的最小值为．【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义．22∴2c=-b-1，丿2-2c+1的最小值为．个圆，当a+b=8时，剩下的钢板面积的最大值是()A．4πB．8πC．10πD．12π【答案】【答案】B【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据122∴剩下的钢板面积的最大值为8π,只有选项B符合；2\当x=-2时，多项式x2+4x+5有最小值，最小值是1．=-2(x-1)2+7，\当x=1时，多项式-2x2＋4x+5有最大值，最大值是7．324-25八年级上·上海金山·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2-4x+5的最小值时，利用2(2)求代数式-x2+2x+9的最大或最小值．【答案】(1)【答案】(1)-422-4；22-4x2-2x+1)+102-(x-1)2≤0，2424-25八年级上·上海松江·期中）阅读材料．x2x2+2x222(1)求代数式x2-4x+5的最小值；(3)图1是一组邻边长分别为7，2a+5的长方形，面积为S1a>0，请比较S1与S2的大小，并说明理由． 【答案】(1)代数式x2-4x+5的最小值为1 2 222(a-1)2 22∴代数式x2-4x+5的最小值为1；2222-S12(a-1)2．12025·上海杨浦·模拟预测）关于一元二次方程x2-4x-4=0的根的情况，下列说法正确的是() \方程有两个不相等的实数根，22025·上海青浦·模拟预测）若关于x的一元以是().A．-2B．-1C．0D．1【答案】【答案】D解得a>-1且a≠0，32025·上海金山·模拟预测）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解的．”则这位同学是()【答案】B【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把2x2+4x-1=0进行移项，再把配方，再解出x的值，即可作答．整理得x2+2x2424-25八年级上·上海长宁·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重=x2+2•3•x+32_32__1=（x+3）2__10，问题：已知x可取任何实数，则二次三项式x2_4x+5的最值情况是()【答案】D【详解】解：x2_4x+5，=x2_4x+4_4+5，=（x_2）2+1，【点睛】本题考查了多项式的最值问题，掌握配方111解：设原式=x，则可分析得：x根据上述方程解得：x56A．221-1B．221-2C．222-1D．222-2【答案】【答案】B3624-25八年级上·上海·期中）一元二次方程2x2-3x=3x2【答案】【答案】3【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．根据一2x2-3x2-3x-7=0，故答案为：3．724-25八年级上·上海徐汇·期中）如果a是方程x2+x-3=0的一个根，根据下面表格中的取值，可以判xx2-0.36-0.01【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给a【答案】-3或-2得x=1为方程的一个根，从而得到方程的另一个根，再通过列三元一次方程组并求解，即可得到答案．故答案为：-3或-．2924-25八年级上·上海闵行·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选一个，并选①x2_4x__1=0②x（2x+1）=8x__3③x2+3x+1=0④x2_9=4（x_3）我选择第个