2027届新高考数学热点精准复习函数的对称性

2027届新高考数学热点精准复习函数的对称性一、单项选择题1.(2026·聊城检测)函数y=2-x与y=-2x的图象(

)A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x轴对称基础过关令f(x)=2x,则-f(-x)=-2-x,因为y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,所以y=2-x与y=-2x的图象关于原点对称.解析

解析3.若函数y=f(x)与函数y=2x+1-1的图象关于直线x=2对称,则f(4)的值为(

)A.1B.-1 C.2 D.-2设g(x)=2x+1-1,因为函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(4)=g(0)=2-1=1.解析4.已知函数f(x)=-x2+bx+c,且f(x+1)是偶函数,则f(-1),f(1),f(2)的大小关系是(

)A.f(-1)<f(1)<f(2)B.f(1)<f(2)<f(-1)C.f(2)<f(-1)<f(1)D.f(-1)<f(2)<f(1)已知函数f(x)=-x2+bx+c,且f(x+1)是偶函数,则令g(x)=f(x+1)=-(x+1)2+b(x+1)+c=-x2+(b-2)x+c+b-1是偶函数,g(-x)=g(x),所以b=2,所以f(x)=-x2+2x+c,其对称轴为x=1,函数图象为抛物线开口朝下,函数f(x)=-x2+2x+c,在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则f(-1),f(1),f(2)的大小关系是:f(-1)<f(2)<f(1),故选D.解析5.已知函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,则a等于(

)A.1B.2 C.0 D.-2函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,可得f(2+x)=f(2-x),即为2|2+x-a|=2|2-x-a|,即有|2+x-a|=|2-x-a|(*)恒成立,可得2+x-a=2-x-a或2+x-a+2-x-a=0,解得x=0或a=2,检验可得a=2时(*)式恒成立.解析6.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b=(

)A.-3 B.-1C.1 D.3

解析

解析

解析

解析二、多项选择题9.已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x),且满足f(x)-f(2-x)=0,则下列说法正确的是(

)A.函数f(x)的图象关于点(1,1)对称B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称C.函数f'(x)的图象关于直线x=1对称D.函数f'(x)的图象关于点(1,0)对称由f(x)-f(2-x)=0,可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称.对f(x)-f(2-x)=0求导,得f'(x)+f'(2-x)=0,则函数f'(x)的图象关于点(1,0)对称,所以A,C错误,B,D正确.解析10.(2026·西安模拟)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0)上单调递增,满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)的图象关于点(2,0)对称,则以下结论正确的有(

)A.f(x)=f(x+4)B.f(0)=f(-2)C.f(x)在(2,3)上单调递减D.f(2024)>f(2025)>f(2026)对A,f(x)的图象关于点(2,0)对称,则f(2+x)=-f(2-x),又f(1+x)=f(1-x)(说明f(x)的图象关于直线x=1对称),所以f(2+x)=-f(2-x)=-f[1+(1-x)]=-f[1-(1-x)]=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),A正确;对B,f(0)=f(1-1)=f(1+1)=f(2)=f(2-4)=f(-2),B正确;对C,f(x)在(-1,0)上单调递增,又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(2,3)上单调递减,C正确;对D,由A知f(2

024)=f(0),f(2

026)=f(2),结合B知f(2

024)=f(2

026),D错,故选ABC.解析11.(2026·漳州质检)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0,f(π)=0,且对任意的x,y∈R,有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y),则(

)A.f(0)=1B.f(x)是偶函数C.f(x)的图象关于点(π,0)中心对称D.2π是f(x)的一个周期对于A,根据题意令x=y,则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y),可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0),又f(x)不恒等于0,则f(0)=1,即A正确;对于B,令y=-x,可得解析f(2x)+f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x),所以f(2x)=f(-2x),即对任意的x∈R满足f(x)=f(-x),即f(x)是偶函数,所以B正确;对于C,令x+y=π,则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y),可得f(2π-2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0,即f(x)满足f(2π-x)+f(x)=0,因此可得f(x)的图象关于点(π,0)中心对称,即C正确;对于D,由于f(x)是偶函数,所以满足f(x-2π)+f(x)=0,即f(x)+f(x+2π)=0,可得f(x-2π)=f(x+2π),即f(x)=f(x+4π),所以4π是f(x)的一个周期,即D错误.解析

解析2

解析

在同一直角坐标系中画出函数y=x和y=-x2+2x的图象,如图所示.若存在x∈R,使得f(1+x)=f(1-x),则f(x)的图象上存在两个关于直线x=1对称的点(两点均不在直线x=1上),则a>1.解析(1,+∞)

解析素养提升

16.对于定义在R上的函数f(x),可以证明“点A(m,n)是f(x)的图象的一个对称中心”的充要条件是“f(m-x)+f(m+x)=2n,x∈R”.(1)求函数f(x)=x3+3x2的图象的一个对称中心;

解(2)函数f(x)=ax3+(b-2)x2(a,b∈R)在R上是奇函数,求a,b满足的条件;并讨论在区间[-1,1]上是否存在常数a,使得f(x)≥-x2+4x-2恒成立.(2)由f(x)是奇函数,知a∈R,b=2.不存在常数a使f(x)≥-x2+4x-2对任意的x∈[-1,1]恒成立,理由如下:依题意,此时f(x)=ax3,令g(x)=-x2+4x-2,x∈

[-1,1],所以g(x)∈[-7,1].若a=0,f(x)=0,不符合题意;若a