2027届新高考数学热点精准复习直线与方程

2027届新高考数学热点精准复习直线与方程新课标要求真题分布1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．近几年未单独考查知识清单1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l____________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴____________时，我们规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l的倾斜角的取值范围为______________．向上的方向平行或重合0°≤α＜180°2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝__________，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____________．正切值tanα

3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式________________不含直线x＝x0斜截式________________不含垂直于x轴的直线两点式

________________不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式

________________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式

________________平面直角坐标系内的直线都适用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)剖析(1)截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0，“截距”不是“距离”．(2)横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直的直线．

自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角与斜率.(

)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(

)(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(

)(4)截距就是距离．(

)××√×

答案：B

3．(人教A版选修一P57习题T1改编)已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________．答案：45°或135°解析：由tanα＝±1得α＝45°或135°.4．(人教A版选修一P64T3(1)改编)过点(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程为________________.答案：5x－3y＋15＝0

答案：C

答案：D

跟踪训练

(1)(衔接·人教A版选修一P58习题T7)过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m＝(

)A．－1 B．1C．－2 D．2答案：C

(2)(衔接·人教A版选修一P58T8)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围为____________，斜率k的取值范围为____________．

命题点二直线的方程例2(1)过点P(1，2)且直线的方向向量为a＝(－1，2)的直线方程为(

)A．2x＋y－4＝0B．x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋4＝0答案：A

解析：由直线的方向向量为a＝(－1，2)，可得直线的斜率为k＝－2，又由直线过点P(1，2)，由点斜式方程得y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.(2)过点(1，－1)和(－3，1)的直线的一般式方程为(

)A．x＋2y－5＝0 B．2x－y＋4＝0C．x＋y－2＝0 D．x＋2y＋1＝0答案：D

学霸笔记：(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式；(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练

(1)(衔接·人教A版选修一P67T4)已知△ABC的三个顶点A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，则经过两边AB和AC的中点的直线方程为________________.(2)(衔接·人教A版选修一P67T7)经过P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_______________________．x＋2y－9＝0x＋y－5＝0或3x－2y＝0

命题点三直线方程的综合应用例3已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点．答案：证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值．

学霸笔记：(1)直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点．(2)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求最值．跟踪训练

(1)(2026·杭州模拟)若AB<0，BC<0，则直线Ax－By＋C＝0一定不经过(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限答案：A

(2)已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y＝ax＋2a将△ABC分割为面积相等的两部分，则实数a的值是________．

(3)已知直线l：(2k＋3)x－(k－1)y＋3k＋7＝0(k∈R).①求直线l过定点P的坐标；②若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．

答案：D

答案：C解析：根据直线的截距式方程可知，直线l在x轴上的截距为5.故选C.3．若直线2x－3y＋a＝0在y轴上的截距为－4，则a＝(

)A．8 B．12C．－8 D．－12答案：D解析：因为直线2x－3y＋a＝0在y轴上的截距为－4，所以直线过点(0，－4)，所以2×0－3×(－4)＋a＝0，解得a＝－12.故选D.

答案：A

答案：A

6．若A(1，0)，B(－1，1)，C(a，b)三点共线，则(

)A．a＋2b－1＝0 B．a＋2b＋1＝0C．a－2b－1＝0 D．a－2b＋1＝0答案：A

答案：D

8．已知直线l过点(1，－2)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(

)A．x＋y＋1＝0B．x＋y＋1＝0或2x＋y＝0C．x－y－3＝0D．x－y－3＝0或2x＋y＝0答案：D

答案：ABC

10．如果AC>0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限答案：ABC

11．若经过点(2，1)的直线l在x，y轴上的截距之比为2∶1，则l与两坐标轴围成的三角形的面积为________．答案：4

12．设点A(2，1)，B(－2，3)，若直线ax＋y＋1＝0与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围为________．答案：(－1，2)

13．(13分)已知△ABC的顶点坐标是A(2，0)，B(6，－2)，C(－2，3)，M为AB的中点．(1)求中线CM的方程；(用一般式表示)

(2)