北师大版九年级数学上册 二次函数图象与性质 第4546课时 深度教案

北师大版九年级数学上册二次函数图象与性质第45-46课时深度教案

一、课程基本信息

（一）课题：二次函数y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c的图象与性质

（二）授课对象：初中九年级学生

（三）课时安排：2课时（第45-46课时，连续课型）

（四）教材版本：北京师范大学出版社九年级数学上册第四章二次函数第2节

（五）课程类型：概念原理课+技能训练课

二、教材分析

本节内容是北师大版九年级数学上册第四章的核心部分，是学生在学习了正比例函数、一次函数、反比例函数以及最简单的二次函数y

=

a

x

2

y=ax^2

y=ax2之后的进一步深化。教材从具体函数y

=

x

2

+

2

x

+

3

y=x^2+2x+3

y=x2+2x+3的图象绘制入手，通过“列表、描点、连线”的操作体验，引导学生发现二次函数一般式y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c与顶点式y

=

a

(

x

−

h

)

2

+

k

y=a(x-h)^2+k

y=a(x−h)2+k之间的内在联系，从而自然导出配方法以及顶点坐标公式。教材的编排遵循从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律，同时渗透数形结合、转化与化归两大核心数学思想。第45课时侧重于对二次函数一般式图象特征的直观感知与初步归纳；第46课时则侧重于代数推理——运用配方法完成一般式向顶点式的恒等变换，并系统归纳出开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性等完整性质体系。本节内容不仅是九年级函数学习的高峰，更是初高中函数衔接的重要基石，在历年学业水平考试中占据【高频考点】与【压轴题核心素材】的地位。

三、学情分析

九年级学生已经具备初步的函数观念，能够熟练绘制y

=

a

x

2

y=ax^2

y=ax2的图象并描述其性质，对“对称轴”“顶点”“开口”等术语并不陌生。然而，学生面对y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c这一形式时，普遍存在的思维障碍在于：无法直接将图象特征与系数a

,

b

,

c

a,b,c

a,b,c对应起来，尤其是在处理一次项系数b

b

b对对称轴位置的影响时容易产生机械记忆。此外，配方法虽然在八年级整式乘法与因式分解中有所接触，但将其用于二次项系数不为1的代数式变形，多数学生仍感生疏，容易出现配方过程符号错误或漏项错误。因此，本设计将【难点】定位于：理解配方过程的几何意义，以及由一般式到顶点式的代数推理逻辑；【关键能力】在于：通过几何直观支撑代数操作，使抽象的系数变化“可视化”。

四、教学目标

（一）知识与技能

1.能够利用描点法画出二次函数y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c的大致图象，并从图象上读取顶点、对称轴信息。【基础】

2.掌握用配方法将y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c化为y

=

a

(

x

−

h

)

2

+

k

y=a(x-h)^2+k

y=a(x−h)2+k的形式，并准确说出顶点坐标(

h

,

k

)

(h,k)

(h,k)与对称轴直线x

=

h

x=h

x=h。【非常重要】【高频考点】

3.能根据二次函数的表达式确定其开口方向、最值及增减区间，并解决简单的实际问题。【重要】

（二）过程与方法

1.经历从y

=

x

2

+

2

x

+

3

y=x^2+2x+3

y=x2+2x+3等具体函数到一般形式的探究过程，体验从特殊到一般的归纳思想。【核心素养】

2.通过小组合作完成y

=

2

x

2

−

4

x

+

1

y=2x^2-4x+1

y=2x2−4x+1等函数的配方法与图象验证，强化数形结合的思维习惯。【难点突破】

（三）情感态度与价值观

1.在代数变形的严谨性与图象直观的和谐性中感受数学之美，培养理性精神。

2.通过解决“抛物线型拱桥”“最大利润”等模型，体会二次函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型。【热点】

五、教学重难点

（一）教学重点

1.用配方法推导二次函数y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c的顶点坐标公式。【非常重要】

2.结合图象归纳二次函数y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c的性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）。【高频考点】

（二）教学难点

1.配方过程中对二次项系数进行提取并保持等式恒等变形的操作理解。【难点】

2.系数b

b

b与对称轴x

=

−

b

2

a

x=-\frac{b}{2a}

x=−2ab​之间关系的直观解释。【难点】

六、教学方法与策略

本设计采用“问题驱动—直观感知—代数论证—变式巩固”四阶循环教学法。第45课时以实验几何（作图观察）为主轴，借助几何画板动态演示，将静态的函数解析式转化为动态的图象轨迹；第46课时以推理几何（代数变形）为主轴，通过“问题链”引导学生逐步拆解配方步骤，并在每一步追问“为什么可以这样做”“这一步对应图象的什么变化”。整堂课融合发现式学习与接受式学习，既保留学生自主探索的空间，又确保核心结论的系统性和严谨性。跨学科视野方面，将二次函数图象的对称性与物理中抛体运动的轨迹方程进行类比，增强学生对“对称轴”物理意义的理解。

七、教学准备

（一）教师准备：几何画板动态课件（涵盖y

=

x

2

+

2

x

+

3

y=x^2+2x+3

y=x2+2x+3、y

=

2

x

2

−

4

x

+

1

y=2x^2-4x+1

y=2x2−4x+1、y

=

−

1

2

x

2

+

3

x

−

2

y=-\frac12x^2+3x-2

y=−21​x2+3x−2等不同开口、不同顶点的函数图象，且具备参数连续变化功能）；彩色粉笔；学生任务单（含预设表格与配方练习阶梯题）。

（二）学生准备：直尺、铅笔、坐标纸；复习y

=

a

(

x

−

h

)

2

+

k

y=a(x-h)^2+k

y=a(x−h)2+k的图象性质；预习课本45-46页内容并尝试完成“做一做”。

八、教学实施过程

（第一课时：第45课时——从描点走向猜想）

课堂开始，教师并不直接板书课题，而是在屏幕中央出示一个未标注解析式的抛物线图象，仅显示网格与对称轴虚线。教师提问：“仅凭这条光滑曲线，你能还原出它所对应的二次函数表达式可能具有哪些特征吗？”学生观察后回答：开口向上，对称轴在y轴左侧，顶点在第三象限。教师顺势将抛物线解析式揭示为y

=

x

2

+

2

x

+

3

y=x^2+2x+3

y=x2+2x+3，并追问：“为什么我选择这个函数？它的图象是否真的长成这样？”由此激发学生动手验证的欲望。此环节以问题悬念切入，【基础】兴趣驱动，耗时约3分钟。

随后进入核心探究环节。教师将学生分为四人小组，每组在坐标纸上完成函数y

=

x

2

+

2

x

+

3

y=x^2+2x+3

y=x2+2x+3的图象绘制。任务单上已印好x从-4到2的取值表，要求计算对应的y值并准确描点。教师在巡视中发现典型问题：部分学生在计算(

−

2

)

2

+

2

×

(

−

2

)

+

3

=

4

−

4

+

3

=

3

(-2)^2+2×(-2)+3=4-4+3=3

(−2)2+2×(−2)+3=4−4+3=3时符号处理正确，但对x=-1.5这样的非整数取值感到犹豫。教师并不直接给出答案，而是引导小组内互相检查计算过程，并提示“取对称轴两侧对称的点能使图象更准确”。此环节将列表、描点的技能训练与对称性的直觉培养结合在一起，【重要】为后续发现对称轴公式埋下伏笔。约8分钟后，各组完成图象，教师选取三幅典型作品投影展示：一幅点距过大导致顶点附近失真；一幅描点精确且连线光滑；一幅将x=-1误算导致点偏离。通过对比辨析，学生自主归纳出“顶点应在图象最低处”“图象关于某条竖直线对称”的关键观察。

此时教师利用几何画板同步展示y

=

x

2

+

2

x

+

3

y=x^2+2x+3

y=x2+2x+3的精确图象，并利用“显示对称轴”功能拖出一条竖直虚线。教师提问：“这条对称轴的方程是什么？你能从表格中的数据发现规律吗？”学生立即将注意力集中到表格中x取值与y值的关系上：当x=-3与x=1时，y值相等（均为6）；当x=-2与x=0时，y值相等（均为3）。教师进而引导学生用符号表达：对于一对互为相反数的偏移量d，若点(-1-d,f(-1-d))与点(-1+d,f(-1+d))纵坐标相等，则对称轴为x=-1。此处从数据特征抽象出对称轴方程，是本节课第一次【难点】突破，教师采用“追问串”策略：先问“哪两个x对应的y相同”，再问“这两个x的平均数是多少”，最后问“这个平均数与对称轴有什么关系”。学生逐步回答后，教师规范板书：对称轴为直线x

=

−

b

2

a

x=-\frac{b}{2a}

x=−2ab​的雏形已在特殊函数a

=

1

,

b

=

2

a=1,b=2

a=1,b=2中得到验证，即x

=

−

2

2

×

1

=

−

1

x=-\frac{2}{2×1}=-1

x=−2×12​=−1。

紧接着教师抛出第二个函数：y

=

2

x

2

−

4

x

+

1

y=2x^2-4x+1

y=2x2−4x+1。此次不再进行完整列表描点，而是要求各组在刚才结论的启发下，先预测该函数的对称轴，再通过计算两个对称点的纵坐标进行验证。多数小组迅速算出−

b

2

a

=

−

−

4

2

×

2

=

1

-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×2}=1

−2ab​=−2×2−4​=1，并取x=0与x=2计算，发现y值均为1，兴奋地确认了预测。教师立刻追问：“顶点横坐标就是1，那么顶点纵坐标是多少？”学生将x=1代入原式得2

×

1

−

4

×

1

+

1

=

−

1

2×1-4×1+1=-1

2×1−4×1+1=−1。此时教师并不急于给出顶点公式，而是引导学生在同一坐标系中画出y

=

2

(

x

−

1

)

2

−

1

y=2(x-1)^2-1

y=2(x−1)2−1的图象（学生已学顶点式作图），惊讶地发现两条图象完全重合。学生脱口而出：“2

x

2

−

4

x

+

1

2x^2-4x+1

2x2−4x+1可以化成2

(

x

−

1

)

2

−

1

2(x-1)^2-1

2(x−1)2−1！”教师顺势引入配方法的概念，指出这种变形能将一般式转化为顶点式，从而直接读出顶点坐标与对称轴。第一课时在“猜想被完美验证”的认知冲突解决中结束，留下任务：如何系统地对任意y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c完成这种变形？此乃下一课时的正式任务。

（第二课时：第46课时——从操作走向原理）

第二课时以问题链拉开序幕。教师板书函数y

=

3

x

2

+

6

x

−

2

y=3x^2+6x-2

y=3x2+6x−2，要求学生在不画图的前提下说出其顶点坐标与对称轴。部分学生尝试套用上节课的公式x

=

−

b

2

a

x=-\frac{b}{2a}

x=−2ab​得到x

=

−

1

x=-1

x=−1，代入得y

=

3

×

1

+

6

×

(

−

1

)

−

2

=

3

−

6

−

2

=

−

5

y=3×1+6×(-1)-2=3-6-2=-5

y=3×1+6×(−1)−2=3−6−2=−5，然而另一部分学生表示怀疑：“为什么横坐标一定是−

b

2

a

-\frac{b}{2a}

−2ab​？这个公式怎么来的？”教师以此为契机，正式转入对公式的理性推导阶段。

教师引导学生回顾多项式变形的基本工具——配方法。第一步：提取二次项系数，将函数写为y

=

3

(

x

2

+

2

x

)

−

2

y=3(x^2+2x)-2

y=3(x2+2x)−2。教师强调，提取系数时只对含x的项操作，常数项暂时“悬置”在外。第二步：括号内配方，x

2

+

2

x

x^2+2x

x2+2x加上一次项系数一半的平方1

2

=

1

1^2=1

12=1，再减去1，保持代数式恒等。此时出现关键分歧：部分学生认为y

=

3

[

(

x

2

+

2

x

+

1

)

−

1

]

−

2

y=3[(x^2+2x+1)-1]-2

y=3[(x2+2x+1)−1]−2，部分学生直接将3

×

1

3×1

3×1乘以括号外导致错误。教师将此设为【非常重要】节点，用彩色粉笔在板书上分解：3

(

x

2

+

2

x

+

1

−

1

)

−

2

=

3

(

x

+

1

)

2

−

3

−

2

=

3

(

x

+

1

)

2

−

5

3(x^2+2x+1-1)-2=3(x+1)^2-3-2=3(x+1)^2-5

3(x2+2x+1−1)−2=3(x+1)2−3−2=3(x+1)2−5。每一步都追问“这一步的依据是什么”“括号前的系数3如何处理括号内的-1”，以此强化代数推理的严谨性。

当学生完成这一具体函数的配方后，教师提出更具挑战性的任务：将y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c（a

≠

0

a≠0

a=0）一般化配方。学生分组尝试，教师在各组间收集典型的错误与正确做法。通常错误集中在：将b

b

b直接当作一次项系数而忘记先提取a

a

a；或者在配方时只加不减导致等式不恒等。教师选取一份错误过程与一份正确过程进行对比辨析，使学生深刻意识到：只有保证每一步都是“恒等变形”，最终顶点式才与原式等价。最终师生共同推导出y

=

a

(

x

+

b

2

a

)

2

+

4

a

c

−

b

2

4

a

y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}

y=a(x+2ab​)2+4a4ac−b2​，并规范书写顶点坐标(

−

b

2

a

,

4

a

c

−

b

2

4

a

)

(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})

(−2ab​,4a4ac−b2​)与对称轴x

=

−

b

2

a

x=-\frac{b}{2a}

x=−2ab​。教师强调，这一公式是二次函数部分【核心知识】【高频考点】，必须做到脱口而出，并能够反向应用——由顶点坐标写出一般式。

公式得出后立即进入巩固应用阶段。教师出示一组梯度习题，全部以口头回答或小型板演形式完成。第一层次：直接给出a

,

b

,

c

a,b,c

a,b,c，求顶点坐标。如y

=

x

2

−

6

x

+

5

y=x^2-6x+5

y=x2−6x+5，学生口答：对称轴x

=

3

x=3

x=3，顶点(

3

,

−

4

)

(3,-4)

(3,−4)。【基础】第二层次：二次项系数不为1或为负，如y

=

−

2

x

2

+

8

x

−

3

y=-2x^2+8x-3

y=−2x2+8x−3，学生演算时需注意负号处理及顶点纵坐标符号。【重要】第三层次：已知顶点坐标和另一点坐标，求表达式。教师给出顶点(

2

,

−

1

)

(2,-1)

(2,−1)且过点(

0

,

3

)

(0,3)

(0,3)，要求学生先设顶点式y

=

a

(

x

−

2

)

2

−

1

y=a(x-2)^2-1

y=a(x−2)2−1，代入求a

a

a后再化为一般式。这是中考【高频考点】中待定系数法的典型应用，教师在此处放慢节奏，确保每个学生都能独立完成。

课堂的升华环节是“系数几何意义的可视化”。教师打开几何画板，同时展示y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c的图象与三个参数滑动条。首先固定a

=

1

,

c

=

1

a=1,c=1

a=1,c=1，拖动b

b

b从-4连续变化到4。学生观察到抛物线形状不变（因为a

a

a固定），但整个图象沿一条固定的轨迹移动，顶点横坐标从2逐渐变为-2，纵坐标相应变化。教师追问：“顶点走过的路径是什么曲线？”部分思维敏锐的学生发现，顶点始终在另一条抛物线上。这一发现将学生从静态公式理解推向动态关联理解，体现了【跨学科视野】下参数对图象的驱动作用，也为高中阶段学习二次函数在闭区间上的值域问题埋下伏笔。

距离下课8分钟时，教师组织“快速诊断”环节。每位学生独立完成任务单上的三道变式题：y

=

1

2

x

2

−

3

x

+

5

2

y=\frac12x^2-3x+\frac52

y=21​x2−3x+25​化为顶点式；y

=

−

x

2

+

b

x

+

c

y=-x^2+bx+c

y=−x2+bx+c的顶点在直线y

=

2

x

y=2x

y=2x上，求b

,

c

b,c

b,c关系；实际应用题——某商店利润P

=

−

5

x

2

+

100

x

−

300

P=-5x^2+100x-300

P=−5x2+100x−300，求售价x

x

x定为多少时利润最大，最大利润是多少。教师当堂巡视，收集典型错例进行集中点评，特别针对配方后常数项符号错误、最大值最小值混淆、实际意义中自变量取值范围忽略等问题进行【热点】警示。

最后3分钟，师生共同构建思维导图式的板书小结。学生口述，教师以关键词形式在黑板上联结：二次函数一般式——配方法——顶点式——顶点坐标公式——对称轴——最值——图象特征。教师强调，整个二次函数板块的核心即“式”与“形”的互译，本节两课时正是这种互译的桥梁工具。课后分层作业分为三类：必做题（巩固配方与顶点公式）、选做题（含参数二次函数顶点位置的轨迹问题）、实践题（测量校园拱门轮廓，拟合二次函数表达式），以满足不同认知水平学生的需求。

九、板书设计

主板书一（第45课时）：左侧为y

=

x

2

+

2

x

+

3

y=x^2+2x+3

y=x2+2x+3列表取值表，右侧为坐标系中描点所得图象，图象旁标注对称轴x

=

−

1

x=-1

x=−1及顶点(

−

1

,

2

)

(-1,2)

(−1,2)。下方用红粉笔书写：猜想——对于y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c，对称轴x

=

−

b

2

a

x=-\frac{b}{2a}

x=−2ab​，顶点横坐标−

b

2

a

-\frac{b}{2a}

−2ab​。

主板书二（第46课时）：中央区域分三栏。左栏为y

=

3

x

2

+

6

x

−

2

y=3x^2+6x-2

y=3x2+6x−2至y

=

3

(

x

+

1

)

2

−

5

y=3(x+1)^2-5

y=3(x+1)2−5的完整配方步骤，每一步等号对齐，箭头标注“提”“配”“化”。中栏为一般式配方推导全过程：y

=

a

(

x

2

+

b

a

x

)

+

c

=

a

[

x

2

+

b

a

x

+

(

b

2

a

)

2

−

(

b

2

a

)

2

]

+

c

=

a

(

x

+

b

2

a

)

2

+

4

a

c

−

b

2

4

a

y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}

y=a(x2+ab​x)+c=a[x2+ab​x+(2ab​)2−(2ab​)2]+c=a(x+2ab​)2+4a4ac−b2​。右栏为顶点坐标公式(

−

b

2

a

,

4

a

c

−

b

2

4

a

)

(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})

(−2ab​,4a4ac−b2​)及对称轴方程，并用方框框出，旁批【核心】【必考】。下方保留空白区域用于例题板演。

十、教学评价与反思

本设计强调认知冲突的自然生成与逻辑障碍的逐级破除。第45课时学生通过“画图—发现对称—验证对称”三部曲，自主归纳出对称轴与系数的关系，避免了直接将公式灌输给学生；第46课时在具体函数配方成功后，立刻升级至字母系数的抽象推理，实现了从算术思维向代数思维的跨越。两课时形成“实验—猜想—论证—应用”的完整闭环，符合发现式学习的心理机制。值得反思的是，部分学困生在配方环节对于“为什么要加一次项系数一半的平方”仍然存在机械操作