2023-2024学年陕西省渭南市咸林中学高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年陕西省渭南市咸林中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（共8小题.每小题5分，共40分）1．（5分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝2，则a4＝（）A．5 B．6 C．7 D．92．（5分）某质点的运动方程为s（t）＝1﹣t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣33．（5分）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）的几何意义是（）A．在点x0处的函数值 B．点（x0，f（x0））与点（0，0）连线的斜率 C．曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率 D．在点（x0，f（x0））处的切线与x轴所夹锐角的正切值4．（5分）已知{an}是等比数列，a2＝2，a4=1A．−12 B．﹣2 C．2 5．（5分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．26．（5分）设函数y＝f（x）在R上可导，则limΔx→0A．f′（1） B．13C．3f′（1） D．以上都不对7．（5分）函数f(x)=eA． B． C． D．8．（5分）设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）g（b）＞f（b）g（x） B．f（x）g（a）＞f（a）g（x） C．f（x）g（x）＞f（b）g（b） D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）二、多选题（共4小题，多选或错选0分，少选2分，全选对5分）（多选）9．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．an＝2n﹣5 B．an＝3n﹣10 C．Sn＝n2﹣4n D．Sn=12n210．（5分）设函数f（x）在x＝x0处可导，以下有关limh→0A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关而与h无关 C．仅与h有关而与x0无关 D．与x0，h均无关（多选）11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．x＝﹣3为f（x）的极大值点 B．x＝1为f（x）的极大值点 C．x＝﹣1.5为f（x）的极大值点 D．x＝2.5为f（x）的极小值点（多选）12．（5分）设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（）A．d＜0 B．S6与S7是Sn的最大值 C．S9＞S5 D．a7＝0二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列{an}是等差数列，a3+a7+a11=−3214．（5分）函数f(x)=13x15．（5分）若函数f（x）＝（x2+mx）ex的单调减区间是[−32，1]，则实数m16．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是．三、解答题（6小题，共70分）17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣1（n∈N+）．求数列{an}的通项公式．18．（12分）设函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x＝3处取得极值．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．19．（12分）已知函数f（x）=12x2（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a＝1，求函数f（x）在[1，e]上的最值．20．（12分）在等差数列{an}中，a2＝3，a5＝9，等比数列{bn}中，b1＝a2，b2＝a5．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）•ex．（1）a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．22．（12分）某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具x千件并全部销售完，每千件的销售收入为F（x）万元，且满足函数关系：F(x)=11.1−x（1）写出年利润G（万元）关于该新型玩具年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？

2023-2024学年陕西省渭南市咸林中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共8小题.每小题5分，共40分）1．（5分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝2，则a4＝（）A．5 B．6 C．7 D．9【考点】等差数列的性质．【答案】C【分析】由题意把已知数据代入等差数列的通项公式计算可得．【解答】解：由等差数列的通项公式可得：a4＝a1+3d＝1+3×2＝7故选：C．2．（5分）某质点的运动方程为s（t）＝1﹣t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】变化的快慢与变化率．【答案】D【分析】根据已知条件，结合平均速度的公式，即可求解．【解答】解：s（t）＝1﹣t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为：1−2故选：D．3．（5分）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）的几何意义是（）A．在点x0处的函数值 B．点（x0，f（x0））与点（0，0）连线的斜率 C．曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率 D．在点（x0，f（x0））处的切线与x轴所夹锐角的正切值【考点】导数及其几何意义；基本初等函数的导数；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】C【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．【解答】解：＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）的几何意义是：曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率．故选：C．4．（5分）已知{an}是等比数列，a2＝2，a4=1A．−12 B．﹣2 C．2 【考点】等比数列的通项公式．【答案】D【分析】根据等比数列的通项公式求解．【解答】解：根据题意，a4所以q=±1故选：D．5．（5分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2【考点】基本初等函数的导数．【答案】C【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x＝1可求2f′（1）的值．【解答】解：由f（x）＝x2+2xf′（1），得：f′（x）＝2x+2f′（1），取x＝1得：f′（1）＝2×1+2f′（1），所以，f′（1）＝﹣2．所以f′（x）＝2x﹣4故f′（0）＝2f′（1）＝﹣4，故选：C．6．（5分）设函数y＝f（x）在R上可导，则limΔx→0A．f′（1） B．13C．3f′（1） D．以上都不对【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【答案】D【分析】运用导数的定义计算即可．【解答】解：lim△x→0故选：D．7．（5分）函数f(x)=eA． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】易证函数f（x）为奇函数，排除B，又f（1）=e3＜1，排除A，当x＞0时，求导可知f（x【解答】解：函数f(x)=e又因为f（﹣x）=e|x|−3x=−所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，因为f（1）=e3＜当x＞0时，f（x）=ex3x，则f'（x当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，排除D，故选：C．8．（5分）设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）g（b）＞f（b）g（x） B．f（x）g（a）＞f（a）g（x） C．f（x）g（x）＞f（b）g（b） D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】由f′（x）g（x）+f（x）g′（x）我们联想到[f（x）g（x）]′，由四个选项，我们很容易想到利用导数研究函数的单调性来解．【解答】解：令y＝f（x）•g（x），则y′＝f′（x）•g（x）+f（x）•g′（x），由于f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，所以y在R上单调递减，又x＜b，故f（x）g（x）＞f（b）g（b）．故选：C．二、多选题（共4小题，多选或错选0分，少选2分，全选对5分）（多选）9．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．an＝2n﹣5 B．an＝3n﹣10 C．Sn＝n2﹣4n D．Sn=12n2【考点】等差数列的前n项和．【答案】AC【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，得a1+4d=54【解答】解：设首项为a1，公差为d，由S4＝0，a5＝5，可得a1+4d=54a1+6d=0∴an＝﹣3+2（n﹣1）＝2n﹣5，∴Sn=n(−3+2n−5)2=n2故选：AC．10．（5分）设函数f（x）在x＝x0处可导，以下有关limh→0A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关而与h无关 C．仅与h有关而与x0无关 D．与x0，h均无关【考点】极限及其运算；变化的快慢与变化率．【答案】B【分析】利用导数和极限的关系结合导数的定义求解即可．【解答】解：易知函数f（x）在x＝x0处可导，故f′(x显然此极限仅与x0有关而与h无关，故B正确．故选：B．（多选）11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．x＝﹣3为f（x）的极大值点 B．x＝1为f（x）的极大值点 C．x＝﹣1.5为f（x）的极大值点 D．x＝2.5为f（x）的极小值点【考点】导数及其几何意义；利用导数研究函数的极值．【答案】ACD【分析】利用极值点的定义以及导数的几何意义，结合已知图象即可判断求解．【解答】解：由图可知当x∈（﹣∞，﹣3）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，当x∈（﹣3，1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，所以当﹣3是函数的极小值点，故A错误，导函数在x＝1左边大于0，右边小于0，所以x＝1为函数的极大值点，故B正确，导函数在x＝﹣1.5，x＝2.5左右两边同号，故CD错误，故选：ACD．（多选）12．（5分）设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（）A．d＜0 B．S6与S7是Sn的最大值 C．S9＞S5 D．a7＝0【考点】等差数列的前n项和．【答案】ABD【分析】运用等差数列的前n项和的定义，对每一选项进行判断即可．【解答】解：设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2+…+a5+a6，即a6＞0，又∵S6＝S7，∴a1+a2+…+a6＝a1+a2+…+a6+a7，∴a7＝0，故D正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d＝a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7＝0，a8＜0，显然C是错误的．∵S5＜S6，S6＝S7＞S8，∴S6与S7均为Sn的最大值，故B正确；故选：ABD．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列{an}是等差数列，a3+a7+a11=−32，则a【考点】等差数列的性质．【答案】−22【分析】直接由等差数列的运算性质运算即可．【解答】解：根据等差数列的性质，得a3所以a7所以a6故答案为：−2214．（5分）函数f(x)=13x【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】对f（x）求导，由f'（x）＞0，即可得到f（x）的单调递增区间．【解答】解：由f(x)=13x3−x2−3x+2，得f令f'（x）＞0，则x＞3或x＜﹣1，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．15．（5分）若函数f（x）＝（x2+mx）ex的单调减区间是[−32，1]，则实数m的值为【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】求出函数f（x）的导数，得到−32，1是方程x2+（m+2）x+m＝0的根，根据韦达定理求出【解答】解：∵函数f（x）＝（x2+mx）ex，∴f′（x）＝[x2+（m+2）x+m]ex，由题意得：−32，1是方程x2+（m+2）x+∴−32+1=−(m+2)−故答案为：−316．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是[﹣1，1）．【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【答案】见试题解答内容【分析】由函数f（x）＝x3﹣12x在（2m，m+1）内单调递减转化成f′（x）≤0在（2m，m+1）内恒成立，得到关于m的关系式，即可求出m的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣12x在（2m，m+1）上单调递减，∴f'（x）＝3x2﹣12≤0在（2m，m+1）上恒成立．故f′(2m)≤0f′(m+1)≤02m＜m+1，即解得﹣1≤m＜1故答案为：[﹣1，1）．三、解答题（6小题，共70分）17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣1（n∈N+）．求数列{an}的通项公式．【考点】数列递推式．【答案】an＝3n﹣1．【分析】根据2Sn＝3an﹣1仿写可得到2Sn﹣1＝3an﹣1﹣1，两式相减整理得an＝3an﹣1（n≥2），从而可得数列{an}为等比数列，于是可求得通项公式．【解答】解：当n＝1时，2S1＝3a1﹣1，所以a1＝1；当n≥2时，2Sn﹣1＝3an﹣1﹣1，则2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝3an﹣3an﹣1，即an＝3an﹣1．又因为a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an18．（12分）设函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x＝3处取得极值．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求出原函数的导函数，根据f（x）在x＝3处取得极值，得到f′（3）＝0，由此求得a的值，则函数f（x）的解析式可求；（2）由（1）得到f′（x）＝6x2﹣24x+18，求得f′（1）＝0，∴f（x）在点A（1，16）处的切线方程可求．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，∴f′（x）＝6x2﹣6（a+1）x+6a，又∵f（x）在x＝3处取得极值，∴f′（3）＝6×9﹣6（a+1）×3+6a＝0，解得a＝3．∴f（x）＝2x3﹣12x2+18x+8；（2）A（1，16）在f（x）上，由（1）可知f′（x）＝6x2﹣24x+18，f′（1）＝6﹣24+18＝0，∴切线方程为y＝16．19．（12分）已知函数f（x）=12x2（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a＝1，求函数f（x）在[1，e]上的最值．【考点】利用导数求解函数的极值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）代入a值，求出导函数，利用导函数求出极值；（2）代入a值，求出导函数，判断函数在区间上的单调性，利用单调性求出函数的最值．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=12x2﹣f'（x）=当x∈（0，1）时f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，f（x）递增；∴f（x）的极小值是f（1）=1（2）f（x）=12x2+lnx（f'（x）＝x+1∴f（x）在[1，e]上递增，∴函数的最大值f（e）=12e2+1，最小值f（1）20．（12分）在等差数列{an}中，a2＝3，a5＝9，等比数列{bn}中，b1＝a2，b2＝a5．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】错位相减法．【答案】（1）an＝2n﹣1；bn=3【分析】（1）直接利用等差数列和等比数列的性质的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）等差数列{an}中，a2＝3，a5＝9，设数列的公差为d，所以a5＝a2+3d，解得d＝2，故an＝2n﹣1．由于等比数列{bn}中，b1＝a2，b2＝a5，设公比为q，所以q=b所以bn（2）cn＝anbn＝（2n﹣1）•3n，所以Tn=1×33Tn=1×①﹣②得：−2T整理得：Tn21．（12分）已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）•ex．（1）a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求出a＝2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）求出f（x）的导数，