2023-2024学年上海师大附中高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年上海师大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（第1～6题，每小题4分，第7～12题，每小题4分，共54分）1．（4分）某读书会有5名成员，假期他们每个人阅读的本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的60%分位数为．2．（4分）一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为．3．（4分）已知Cn+14=Cn4+Cn54．（4分）如图8只小猫围绕在2×2的单位正方形的交叉点上，随机选取两只，它们之间距离为1的概率是．5．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（2，3，1），B（﹣1，1，﹣1），C（0，﹣1，1），D（1，1，x），若A，B，C，D四点共面，则x＝．6．（4分）《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB＝2AA1＝2AC，BN→=13BB1→，MG→=3GN7．（5分）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克•牛顿于1664年、1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在(x2−12x8．（5分）已知空间向量a→=(1，0，1)，b→=(1，1，1)，则向量a→9．（5分）在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有种．10．（5分）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°＜α＜360°），使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有条．11．（5分）设样本空间Ω＝1，2，3，4，5，6，7，8的样本点都是等可能出现的，且事件A＝{1，2，3，4}，事件B＝{1，2，3，5}，事件C＝{1，m，n，8}，使得P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），且满足A，B，C两两不独立，则m+n＝．12．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为2，动点P满足AP→⋅CD→=0，且PB二、选择题（第13～14题，每小题4分，第15～16题，每小题4分，共18分）13．（4分）下表是“膜法世家”形象代言人选举得票情况统计，其中周柯宇的票数被污损了无法看清，那么应该当选的人是（）姓名张元英林正英米卡周柯宇林墨合计票数250200380■3201550A．米卡 B．周柯宇 C．无法确定 D．合计14．（4分）高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项，正确的概率是14A．正确 B．错误 C．不一定 D．无法解释15．（5分）如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足MN⊥l的是（）A． B． C． D．16．（5分）已知A，B为同一次试验中的两个随机事件，且P（A）＞0，P（B）＞0，命题甲：若P(B|A)+P(B)=1，则事件A与B相互独立；命题乙：“A与B相互独立”是“A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题三、解答题（共5题，满分78分）17．（14分）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“log（x+1）y为整数”记为A，将事件“x+y为偶数”记为B，将事件“x+2y为奇数”记为C．（1）试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由；（2）求P（A|C）的值．18．（14分）已知甲组数据a1，a2，…，a15的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分（仅一位小数）为叶，例如第一个数据为5.3．（1）甲组数据的平均值x1、方差s12（2）乙组数据为b1，b2，…，b15，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值X＝9.2，方差s2＝11.23，求乙组数据的平均值x2和方差s19．（14分）某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）：组数分组人数本组中“H族”的比例1[25，30）2000.62[30，35）3000.653[35，40）2000.54[40，45）1500.45[45，50）a0.36[50，55）500.3（1）试补全频率分布直方图，并求a与n的值：（2）从每天慢走时间在[40，50）（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内的概率．20．（18分）如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点P满足CP→=λCD→+μ（1）若a＝1，且直线B1P与平面CC1D1D所成角大小为π4，求点P（2）若a＝1，λ＝1，求正方体经过点A1，P，C的截面面积S的取值范围；（3）若a＝8，求三棱锥A1﹣ABD内（不包括表面边界）整点的个数．21．（18分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数y＝[x]（x∈R）称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数．已知：fn(x)=(x+3)n，（（1）若fn(−1)=an+3bn，an，bn∈（2）若fn(1)=cn+3dn，cn（3）设S=k=12024

2023-2024学年上海师大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（第1～6题，每小题4分，第7～12题，每小题4分，共54分）1．（4分）某读书会有5名成员，假期他们每个人阅读的本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的60%分位数为3.5．【考点】百分位数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】3.5．【分析】这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，根据5×60%＝3，结合百分数的定义，即可求解．【解答】解：由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，且5×60%＝3，可得这组数据的60%分位数为从小到大排列的第3个数和第4个数的平均数为3+42故答案为：3.5．2．（4分）一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为60°．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】见试题解答内容【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l＝2R，进而解三角形得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：其底面积：S底面积＝πR2，其侧面积：S侧面积=122πRl＝π∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴l＝2R，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有，cosθ=R∴θ＝60°，故答案为：60°3．（4分）已知Cn+14=Cn4+Cn5【考点】组合及组合数公式．【答案】8．【分析】根据组合数性质有Cn4+【解答】解：由组合数性质知，Cn4+Cn所以4+5＝n+1，得n＝8．故答案为：8．4．（4分）如图8只小猫围绕在2×2的单位正方形的交叉点上，随机选取两只，它们之间距离为1的概率是27【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】27【分析】先求出从8只小猫中随机选取两只和两只之间距离为1的方法总数，再由古典概率可得出答案．【解答】解：从8只小猫中随机选取两只，共有C8它们之间距离为1的情况有：（AB），（AH），（BC），（CD），（DE），（EF），（FG），（GH），共8种，所以从8只小猫中随机选取两只，它们之间距离为1的概率是：828故答案为：275．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（2，3，1），B（﹣1，1，﹣1），C（0，﹣1，1），D（1，1，x），若A，B，C，D四点共面，则x＝1．【考点】空间向量的共线与共面；空间中的点的坐标．【答案】1．【分析】利用平面向量基本定理，列出关系式，利用向量的坐标运算得出关系式，即可求解【解答】解：∵A（2，3，1），B（﹣1，1，﹣1），C（0，﹣1，1），D（1，1，x），∴AB→=(−3，−2，−2)，AC→又∵A，B，C，D四点共面，∴由平面向量基本定理可知存在实数λ，μ使AD→∴（﹣1，﹣2，x﹣1）＝λ（﹣3，﹣2，﹣2）+μ（﹣2，﹣4，0），∴−1=−3λ−2μ−2=−2λ−4μx−1=−2λ，解得故答案为：1．6．（4分）《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB＝2AA1＝2AC，BN→=13BB1→，MG→=3GN→，若【考点】空间向量及其线性运算．【答案】118【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【解答】解：由图可知：AG→又因为MG→所以AG→所以43所以AG→所以x=12，y=故答案为：1187．（5分）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克•牛顿于1664年、1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在(x2−12x)5【考点】二项式定理．【答案】−5【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为1，进而可以求解．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1＝C5r(x2)5−r（−1令10﹣3r＝1，解得r＝3，则展开式中x的系数为C5故答案为：−58．（5分）已知空间向量a→=(1，0，1)，b→=(1，1，1)，则向量a→在向量b→上的投影向量的坐标是（2【考点】平面向量的投影向量；空间向量的数量积运算．【答案】（23，23，【分析】根据已知条件，结合投影向量的定义，即可求解．【解答】解：根据题意，空间向量a→=（1，0，1），则|b→|=故向量a→在向量b→上的投影向量为a→⋅b→|故答案为：（23，23，9．（5分）在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有12种．【考点】排列组合的综合应用．【答案】12．【分析】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，共有4个元素排顺序，由特殊元素优先和分步计数原理计算可求解．【解答】解：将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，与其他3种原料一起共有4个元素排顺序，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，有C4剩下两个元素放入最后2个位置，有A2则有C4故答案为：12．10．（5分）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°＜α＜360°），使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有13条．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】13．【分析】根据题意和对称性，找出以过EF、AC和BD的直线为旋转轴，以过正方形ABCD，AECF，BEDF对边中点的直线为旋转轴，和以过八面体相对面中心的连线为旋转轴，求出旋转轴的条数即可．【解答】解：由题意知，分别以过EF、AC和BD的直线为旋转轴，此时旋转角α的最小值为90°；分别以过正方形ABCD，AECF，BEDF对边中点的直线为旋转轴，共6条，此时旋转角α的最小值为180°；分别以过八面体相对面中心的连线为旋转轴，共有4条，此时旋转角α的最小值为120°；综上，这个八面体的旋转轴共有13条．故答案为：13．11．（5分）设样本空间Ω＝1，2，3，4，5，6，7，8的样本点都是等可能出现的，且事件A＝{1，2，3，4}，事件B＝{1，2，3，5}，事件C＝{1，m，n，8}，使得P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），且满足A，B，C两两不独立，则m+n＝13．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】13．【分析】根据古典概型概率计算及相互独立性推测即可．【解答】解：由题意，P（A）＝P（B）＝P（C）=12，所以P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）所以1是A，B，C共同的唯一的样本点，又A，B，C两两不独立，即P（AB）≠14，P（BC）≠14，P（可见m，n不可以为4或5，所以m，n为6或7，即m+n＝13．故答案为：13．12．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为2，动点P满足AP→⋅CD→=0，且PB→⋅【考点】轨迹方程．【答案】3π【分析】作出图形，分别取BC，CD的中点O，E，根据题意可得P在球O被平面ABE所截的截面小圆上，再根据球的几何性质，即可求解．【解答】解：如图，分别取BC，CD的中点O，E，连接AE，BE，由AP→⋅CD→=0又在正四面体ABCD中，易知CD⊥平面ABE，∴点P在平面ABE内①，又PB→⋅PC→=0∴点P在以BC为直径的球O的球面上②，综合①②可得点P在球O被平面ABE所截的截面小圆上，又CE⊥平面ABE，过O作OF∥BE，且OF∩BE＝F，∴OF⊥平面ABE，且|OF|=12|CE|=12，又球设截面小圆的半径为r，则r=R∴截面小圆的周长为2πr=3即点P的轨迹长为3π故答案为：3π二、选择题（第13～14题，每小题4分，第15～16题，每小题4分，共18分）13．（4分）下表是“膜法世家”形象代言人选举得票情况统计，其中周柯宇的票数被污损了无法看清，那么应该当选的人是（）姓名张元英林正英米卡周柯宇林墨合计票数250200380■3201550A．米卡 B．周柯宇 C．无法确定 D．合计【考点】用样本估计总体．【答案】B【分析】由表格数据求出周柯宇的票数，由此确定当选的人．【解答】解：由已知周柯宇的票数为1550﹣250﹣200﹣380﹣320＝400，所以应该当选的人是周柯宇．故选：B．14．（4分）高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项，正确的概率是14A．正确 B．错误 C．不一定 D．无法解释【考点】概率及其性质．【答案】B【分析】每题都选择第一个选择支，则12个题中选择结果正确的题数的可能性分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．【解答】解：数学试卷中，共有12道选择题，每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试，某同学说：“每个选择支正确的概率是14由概率的定义得这种说法是错误的，每题都选择第一个选择支，则12个题中选择结果正确的题数的可能性分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．故一定有3个题选择结果正确，是错误的．故选：B．15．（5分）如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足MN⊥l的是（）A． B． C． D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】C【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得．【解答】解：如图，在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线l的端点为B，D1，对于A选项，B（2，2，0），D1（0，0，2），M（1，2，2），N（2，1，0），所以直线l的方向向量a→MN→=(1，−1，−2)，显然MN→⋅a→=4≠0对于选项B，由选项A知，直线l的方向向量a→=(2，2，−2)，M（0，1，2），则MN→=(2，−1，−1)，显然MN→⋅a→=4≠0对于C选项，由选项A知，直线l的方向向量a→=(2，2，−2)，M（0，2，1），则MN→=(1，−2，−1)，显然MN→⋅a→=0对于D选项，由选项A知，直线l的方向向量a→=(2，2，−2)，M（2，0，1），则MN→=(−1，2，−1)，显然MN→⋅a→=4≠0故选：C．16．（5分）已知A，B为同一次试验中的两个随机事件，且P（A）＞0，P（B）＞0，命题甲：若P(B|A)+P(B)=1，则事件A与B相互独立；命题乙：“A与B相互独立”是“A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题【考点】条件概率．【答案】B【分析】结合对立事件概率公式和条件概率公式由P(B|A)+P(B)=1可推出P（AB）＝P（A）P（【解答】解：因为P(B|A)+P(B所以P(B|A)=1−P(B所以P(AB)P(A)=P(B)，故P（AB）＝P（A）P（所以事件A与B相互独立，命题甲正确，若A与B相互独立，则A与B相互独立，A与B相互独立，P(AP(A所以P(A若P(A|B)=P(A所以P(A所以P(A所以P(A所以P(AP(AB)=P(A)P(B)，故事件所以事件A与事件B相互独立，所以“A与B相互独立”是“P(A所以命题乙为假命题，故选：B．三、解答题（共5题，满分78分）17．（14分）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“log（x+1）y为整数”记为A，将事件“x+y为偶数”记为B，将事件“x+2y为奇数”记为C．（1）试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由；（2）求P（A|C）的值．【考点】由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．【答案】（1）事件B与事件C相互独立，理由见解析；（2）P(A|C)=7【分析】（1）列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义判断事件B与事件C是否相互独立；（2）结合条件概率的概率公式计算可得．【解答】解：（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，则基本事件总数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种情况，满足事件B的有（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（3，6），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6），共18个，故P(B)=18满足事件C的有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），共18个，故P(C)=18满足事件BC的有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9个，所以P(BC)=9所以事件B与事件C相互独立；（2）满足事件AC的有（1，1），（1，2），（1，4），（3，1），（3，4），（5，6），（5，1），共7种，所以P(AC)=7所以P(A|C)=P(AC)18．（14分）已知甲组数据a1，a2，…，a15的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分（仅一位小数）为叶，例如第一个数据为5.3．（1）甲组数据的平均值x1、方差s12（2）乙组数据为b1，b2，…，b15，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值X＝9.2，方差s2＝11.23，求乙组数据的平均值x2和方差s【考点】茎叶图；用样本估计总体的离散程度参数．【答案】（1）x1=8.7；s1（2）x2【分析】（1）根据茎叶图求平均值x1，再由方差与均值的关系求s12（2）由甲乙平均数及（1）的结果列方程求乙组数据的平均值x2，再由方差与均值的关系列方程组求出15i=1【解答】解：（1）甲组数据为5.3，6.5，7.4，7.6，8.1，8.1，8.1，8.2，8.2，8.4，9.5，9.8，10.5，11.0，13.8，所以甲组数据的中位数为M＝8.2，甲组数据的平均值为x1甲组数据的方差为s12=115[(5.3−8.7)2+(6.5−8.7)2+(7.4−8.7)（2）由15×8.7+15x230由115i=115a所以s219．（14分）某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）：组数分组人数本组中“H族”的比例1[25，30）2000.62[30，35）3000.653[35，40）2000.54[40，45）1500.45[45，50）a0.36[50，55）500.3（1）试补全频率分布直方图，并求a与n的值：（2）从每天慢走时间在[40，50）（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内的概率．【考点】补全频率分布直方图．【答案】（1）频率分布直方图见解析；a＝100，n＝1000．（2）815【分析】（1）利用所有组的频率之和等于1，算出第二组的频率，得到第二组矩形的高，补全频率分布直方图，由第一组的频率和频数计算样本容量，再计算第五组的频数．（2）按分层抽样的法则在两个组中抽取对应人数，从这6人中选2人，列出样本空间，看其中恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内占多少种基本事件，计算相应概率．【解答】解：（1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5＝0.3，所以第二组小矩形高为0.35第一组的频率为0.04×5＝0.2，所以n=200第五组的频率为0.02×5＝0.1，所以a＝1000×0.1＝100．（2）因为[40，50）分钟的“H族”人数为150×0.4＝60，[45，50）分钟的“H族”人数为100×0.3＝30，二者比例为60：30＝2：1，所以按时间采用分层抽样法抽取6人，[40，45）分钟内抽取4人，[45，50）分钟内抽取2人．设这2人每天慢走的时间恰好1人在[40，45）分钟，另一个人在[45，50）分钟为事件Q，在[40，45）分钟内抽取4人记为A，B，C，D，[45，50）分钟内抽取2人记为a，b，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种不同的抽取方法，事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种，所以P(Q)=8另一个人在[45，50）分钟内的概率为81520．（18分）如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点P满足CP→=λCD→+μ（1）若a＝1，且直线B1P与平面CC1D1D所成角大小为π4，求点P（2）若a＝1，λ＝1，求正方体经过点A1，P，C的截面面积S的取值范围；（3）若a＝8，求三棱锥A1﹣ABD内（不包括表面边界）整点的个数．【考点】棱柱的结构特征．【答案】（1）π2（2）[6（3）35．【分析】（1）根据线面角的定义确定直线B1P与平面CC1D1D所成角的平面角，由此确定点P的轨迹及其长度，（2）作出正方体中经过点A1，P，C的截面，利用向量知识求得截面面积的表达式，求其范围；（3）结合图形分类确定A1﹣ABD内的整点个数．【解答】解：（1）空间直角坐标系A﹣xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点P满足CP→=λCD→+μ连接C1P，∵B1C1⊥平面CDD1C1，C1P为B1P在平面CDD1C1上的射影，∴直线B1P与平面CC1D1D所成角的平面角为∠B1PC1，由已知∠B则C1P＝B1C1＝1，故P点轨迹为以C1为圆心，1为半径的14圆在正方形CC1D1D∴点P的轨迹长度为14（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵a＝1，∴C（1，1，0），D（0，1，0），C1（1，1，1），A1（0，0，1），∵CP→=λCD∴CP→=CD∴P点在DD1上运动，则P（0，1，μ），过点A1作A1E∥PC，交BB1与点E，连接CE，∵平面BCC1B1∥平面ADD1A1，平面BCC1B1∩平面A1ECP＝EC，平面ADD1A1∩平面A1ECP＝A1P，∴EC∥A1P，又A1E∥PC，∴在正方体中经过点A1，P，C的截面为平行四边形A1PCE，如图，则PC→=（1，0，﹣μ），∴点P到A1C的距离为：d=|∵μ∈[0，1]，故当μ取0或1时，d取到最大值23此时截面面积的最大值为2S当μ=12时，d取到最小值此时截面面积的最小值为2S△∴当λ＝1时，在正方体中经过点A1，P，C的截面面积的取值范围为[6（3）如图，过z轴上的点A2（0，0，7），A3（0，0，6），A4（0，0，5），A5（0，0，4），A6（0，0，3），A7（0，0，2），A8（0，0，1），作三棱锥A1﹣ABD平行于底面ABD的截面，则三棱锥A1﹣ABD内（不包括表面边界）整点一定位于各截面内，截面A2E2F2内的整点个数为0，截面A3E3F3内