2023-2024学年上海市静安区市北中学高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有10小题，第1-5每题3分，第6-10题每题4分，满分35分）1．（3分）15°对应的弧度数为．2．（3分）在△ABC中，已知a＝7，b＝8，c＝13，则角C的大小为．3．（3分）函数f（x）=log24．（3分）已知2sinα+3cosαsinα−2cosα=14，则tan5．（3分）函数y＝cos（πx+2）的最小正周期是．6．（4分）方程sinx=14，x∈[π2，π]7．（4分）已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，f(x)=cosπx3，则f（7.5）＝8．（4分）若函数y＝tan3x在区间(m，π6)上是严格增函数，则实数m9．（4分）已知点A的坐标为（﹣3，4），将OA绕坐标原点O顺时针旋转π3至OB．则点B的坐标为10．（4分）若函数f（x）=x|x|−2x，x＜a1−x，x≥a有2个零点，则实数a的取值范围是二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）11．（4分）sinx=22是tanA．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件12．（4分）与sin(θ−πA．sin(π2−θ) B．cos(θ+π2) C．sin(θ+13．（4分）使y=3−cosx2取最小值的A．{x|x＝4kπ，k∈Z} B．{x|x＝2kπ，k∈Z} C．{x|x＝kπ，k∈Z} D．{x|x=14．（4分）在非等边斜三角形ABC中，R为△ABC的外接圆半径，S为△ABC的面积，下列式子中正确的是（）A．cosA＝sinB+C2B．S＝2RsinA•sinB•sinC C．tanA+tan+tanC＝tanA•tanB•tanC D．a三、简答题（满分49分）15．（9分）已知cosα=−35，α∈（π，2（1）求cos2α的值；（2）若角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边经过点（3，﹣1），求tan（α﹣β）的值．16．（10分）幂函数f(x)=xm2（1）求f（x）的表达式；（2）对任意实数x∈[12，1]，不等式f（x）≤t+4x17．（10分）已知下列是两个等式：①sin60°•sin30°＝sin245°﹣sin215°；②sin5•sin1＝sin23﹣sin22；（1）请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；（2）请证明你的结论；18．（10分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=π2，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ(0＜θ＜π2)，当A在何处时，矩形ABCD19．（10分）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜πx−2ππ310π3ωx+φ0π2π3π22πsin（ωx+φ）010﹣10f（x）030−30（1）请填写上表的空格处，并写出函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图像向右平移2π3个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，求（3）在（2）的条件下，若F(x)=g2(x)+33a⋅g(x)−1在x

2023-2024学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有10小题，第1-5每题3分，第6-10题每题4分，满分35分）1．（3分）15°对应的弧度数为π12【考点】弧度制．【答案】π12【分析】利用角度制与弧度制的互化公式求解．【解答】解：15°对应的弧度数为15×π故答案为：π122．（3分）在△ABC中，已知a＝7，b＝8，c＝13，则角C的大小为2π3【考点】余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】由题意和余弦定理可得cocC，由三角形内角的范围可得．【解答】解：∵在△ABC中a＝7，b＝8，c＝13，∴由余弦定理可得cosC==7∵C∈（0，π），∴C=故答案为：2π3．（3分）函数f（x）=log2【考点】函数的定义域及其求法．【答案】见试题解答内容【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：log2x≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．4．（3分）已知2sinα+3cosαsinα−2cosα=14，则tan【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．【答案】见试题解答内容【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：由2sinα+3cosαsinα−2cosα=14，得故答案为：﹣2．5．（3分）函数y＝cos（πx+2）的最小正周期是2．【考点】三角函数的周期性．【答案】2．【分析】由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案．【解答】解：函数y＝cos（πx+2）的最小正周期是：T=2π故答案为：2．6．（4分）方程sinx=14，x∈[π2，π]，则x【考点】反三角函数．【答案】π﹣arcsin14【分析】根据反正弦函数的定义，可知arcsin14表示正弦等1【解答】解：若锐角α满足sinα=14，则α＝arcsin因此当x∈[π2，π]时，满足sinx=14的x＝π故答案为：π﹣arcsin147．（4分）已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，f(x)=cosπx3，则f（7.5）＝−【考点】抽象函数的周期性；函数的值；函数的周期性．【答案】−3【分析】根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得f（7.5）＝f（﹣0.5+8）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5），结合函数的解析式可得答案．【解答】解：根据题意，奇函数f（x）的一个周期为2，则f（7.5）＝f（﹣0.5+8）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5），又由当x∈（0，1）时，f(x)=cosπx3，则f（0.5）＝cos故f（7.5）=−3故答案为：−38．（4分）若函数y＝tan3x在区间(m，π6)上是严格增函数，则实数m的取值范围为[−π【考点】正切函数的单调性和周期性．【答案】[−π6，【分析】由函数的递增区间，可得3x的范围，可得3m的范围，进而求出m的范围．【解答】解：函数y＝tan3x在区间(m，π可得3x∈（3m，π2），则−π2≤3m＜π即m的范围为[−π6，故答案为：[−π6，9．（4分）已知点A的坐标为（﹣3，4），将OA绕坐标原点O顺时针旋转π3至OB．则点B的坐标为（43−32【考点】任意角的三角函数的定义；两直线的夹角与到角问题．【答案】（43−32【分析】直接利用三角函数的定义，将坐标与函数值对应，运用差角公式计算即可．【解答】解：设以OA为终边的角为α，则由三角函数定义可知：sinα=45，cos由题意，以OB为终边的角为α−π又cos（α−π3）＝cosαcosπ3+sinsin（α−π3）＝sinαcosπ3−cos故点B的坐标为（43−32故答案为：（43−3210．（4分）若函数f（x）=x|x|−2x，x＜a1−x，x≥a有2个零点，则实数a的取值范围是【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】（﹣2，0]∪（1，2]．【分析】画出函数f（x）=x|x|−2x，x＜a1−x，x≥a的图象，分a≤﹣2，﹣2＜a≤0，0＜a≤1，1＜a≤2，【解答】解：作出y＝x|x|﹣2x，y＝1﹣x的图象如图所示；当a≤﹣2时，函数f（x）=x|x|−2x，x＜a当﹣2＜a≤0时，函数f（x）=x|x|−2x，x＜a当0＜a≤1时，函数f（x）=x|x|−2x，x＜a当1＜a≤2时，函数f（x）=x|x|−2x，x＜a当a＞2时，函数f（x）=x|x|−2x，x＜a综上所述：实数a的取值范围是（﹣2，0]∪（1，2]．故答案为：（﹣2，0]∪（1，2]．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）11．（4分）sinx=22是tanA．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】同角三角函数间的基本关系；充分条件与必要条件．【答案】D【分析】通过同角三角函数基本关系式，求解三角函数值，然后判断充要条件即可．【解答】解：sinx=22可得tanx＝±1，tanx＝1可得sinx＝±所以sinx=22是tan故选：D．12．（4分）与sin(θ−πA．sin(π2−θ) B．cos(θ+π2) C．sin(θ+【考点】运用诱导公式化简求值．【答案】D【分析】由已知结合诱导公式检验各选项即可判断．【解答】解：sin(θ−π2)=−sin（π2−θ）＝cosθ，cos（θ+π2）＝﹣sinθ，sin（θ+π2）＝cosθ，cos（π﹣θ）＝﹣cosθ，D正确．故选：D．13．（4分）使y=3−cosx2取最小值的A．{x|x＝4kπ，k∈Z} B．{x|x＝2kπ，k∈Z} C．{x|x＝kπ，k∈Z} D．{x|x=【考点】余弦函数的图象；三角函数的最值．【答案】A【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果．【解答】解：令x2=2kπ，（k∈Z），整理得x＝4kπ，（k∈故函数取得最小值为2．故取得最小值的x的集合为{x|x＝4kπ，k∈Z}．故选：A．14．（4分）在非等边斜三角形ABC中，R为△ABC的外接圆半径，S为△ABC的面积，下列式子中正确的是（）A．cosA＝sinB+C2B．S＝2RsinA•sinB•sinC C．tanA+tan+tanC＝tanA•tanB•tanC D．a【考点】正弦定理与三角形的外接圆．【答案】C【分析】对于A，利用诱导公式化简已知可得2cos2A2−cosA2−1＝0，解方程可解得cosA2的值，可求范围对于B，利用S=12absinC＝2R2sinAsinBsin对于C，利用tanA＝﹣tan（B+C）=−tanB+tanC对于D，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求A＝B＝C，结合已知即可判断得解．【解答】解：对于A，因为sinB+C2=sin（π−A2若cosA＝sinB+C2，则可得2cos2A2−cosA2−因为A∈（0，π），可得A2∈（0，π2），可得cosA对于B，S=12absinC=12•2RsinA•2RsinB•sinC＝2R2sinAsin对于C，因为△ABC为非直角三角形，所以tanA＝﹣tan（B+C）=−tanB+tanC则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故正确；对于D，若acosA=bcosB=ccosC，则sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，即tanA＝tan故选：C．三、简答题（满分49分）15．（9分）已知cosα=−35，α∈（π，2（1）求cos2α的值；（2）若角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边经过点（3，﹣1），求tan（α﹣β）的值．【考点】二倍角的三角函数；任意角的三角函数的定义．【答案】（1）−7（2）3．【分析】（1）由已知求得sinα，再由倍角公式可得cos2α的值；（2）利用任意角的三角函数定义求得tanβ，再由两角差的正切求解tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）∵cosα=−35，α∈（π，2∴sinα=−1−si∴cos2α＝cos2α﹣sin2α=9（2）由题意，tanβ=−1由（1）知，tanα=sinα则tan（α﹣β）=tanα−tanβ16．（10分）幂函数f(x)=xm2（1）求f（x）的表达式；（2）对任意实数x∈[12，1]，不等式f（x）≤t+4x【考点】函数恒成立问题；幂函数的概念；幂函数的单调性与最值．【答案】（1）f（x）＝x﹣4；（2）[14，+∞）．【分析】（1）根据题意可得f（x）为偶函数，在区间（0，+∞）上是严格减函数，解不等式可得整数m的值，检验可得所求值；（2）依题意，对任意实数x∈[12，1]，不等式t≥x﹣4﹣4x恒成立，而g（x）＝x﹣4﹣4x【解答】解：（1）依题意，可得f（x）为偶函数，在区间（0，+∞）上是严格减函数，可得m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3，可得整数m＝0，1，2，m2﹣2m﹣3＝﹣3，﹣4只有m2﹣2m﹣3＝﹣4成立，所以所以f（x）＝x﹣4；（2）不等式f（x）≤t+4x，即t≥x﹣4﹣4x，又f（x）＝x﹣4在（﹣∞，0）上是增函数，则在（0，+∞）上是减函数，而y＝4x在R上为增函数，则g（x）＝x﹣4﹣4x在[1所以g(x)max=g(所以实数t的取值范围为[14，+∞）．17．（10分）已知下列是两个等式：①sin60°•sin30°＝sin245°﹣sin215°；②sin5•sin1＝sin23﹣sin22；（1）请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；（2）请证明你的结论；【考点】归纳推理．【答案】（1）sinα•sinβ＝sin2α+β2−sin2（2）过程见解析．【分析】（1）根据以上两式总结一般的三角等式为：sinα•sinβ＝sin2α+β2−sin2（2）依据三角变换中的降幂，半角化倍角恒等变换，从等式的右边出发向左边进行证明从而得到结论．【解答】解：（1）由①sin60°•sin30°＝sin245°﹣sin215°；②sin5•sin1＝sin23﹣sin22；根据以上两式总结一般的三角等式为：sinα•sinβ＝sin2α+β2−sin2（2）证明：由二倍角公式整理可得：sin2α+β2=1−cos(α+β)2又cos（α+β）＝cosα•cosβ﹣sinα•sinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinα•sinβ，∴sin2α+β2−sin2α−β2=1−cos(α+β)即命题得证．18．（10分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=π2，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ(0＜θ＜π2)，当A在何处时，矩形ABCD【考点】扇形面积公式．【答案】（1）12（2）θ=π4时，Smax＝（2−1）R2，此时A【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜π2），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=π∴AH＝Rsinπ12，AB＝2Rsinπ12，OH＝RcosOE＝DE=12AB＝Rsin∴EH＝OH﹣OE＝R（cosπ12−sinS＝AB•EH＝2R2（2sinπ12cosπ12−2sin2π12）=12（2）因为∠AOB＝θ（0＜θ＜π则AB＝2Rsinθ2，OH＝Rcosθ2，OE=12AB＝∴EH＝OH﹣OE＝R（cosθ2−sinS＝AB•EH＝2R2（2sinθ2cosθ2−2sin2θ2）＝2R2[2∵0＜θ＜π∴θ+π4=π2即θ=π4时，Smax＝（2−19．（10分）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜πx−2ππ310π3ωx+φ0π2π3π22πsin（ωx+φ）010﹣10f（x）030−30（1）请填写上表的空格处，并写出函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图像向右平移2π3个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，求（3）在（2）的条件下，若F(x)=g2(x)+33a⋅g(x)−1在x【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．【答案】（1）f(x)=3sin(x2+【分析】（1）根据表中数据可得关于ω，φ的方程组，解出ω，φ的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得A=3（2）先求出g（x）的解析式，再求出y=log（3）令t＝sinx，设方程3t2+at﹣1＝0的根为t＝t1，t＝t2（t1＜t2），分（1）﹣1＜t1＜t1＜1；（2）t1∈（﹣1，1），t2∉[﹣1，1]；（3）t1∉[﹣1，1]，t2∈（﹣1，1）三种情况讨论F（x）在（0，2π]及（0，π）上零点个数，再根据周期性得到（0，2021π）的零点个数，结合题设条件可得a的值及相应的零点个数．【解答】（1）解：根据表中的数据可得−2π3×ω+φ=0故12×x2+π3所以完表如下：x−2ππ34π37π310π3ωx+φ0π2π3π22πsin（ωx+φ）010﹣10f（x）030−30所以f(x)=3（2）解：将函数f（x）的图像向右平移2π3f(x)=3再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标