2023-2024学年四川省凉山州西昌市高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年四川省凉山州西昌市高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设函数f（x）在x＝x0处可导，且满足limΔx→0f(x0+Δx)−f(xA．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．（5分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）＝|lnx| B．f(x)=−1x C．f(x)=12x D．f（x3．（5分）在(x3−1A．20 B．10 C．﹣10 D．﹣204．（5分）已知函数f（x）＝﹣xf'（1）−1x，则A．−32 B．32 C．−5．（5分）为了贯彻落实教育部印发的《普通高中课程方案和语文等学科课程标准》，同时完善学生的知识结构，提高学生的综合素质，培养高中生的人文精神、科学精神、创新意识和实践能力，西昌市某学校高二年级开设了3门社科类选修课和3门艺术类选修课，学生需从6门课中选修3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案有（）种．A．12 B．15 C．16 D．186．（5分）某校高二年级组织学生去某旅游名胜区春游，包含小明在内的6位同学站成一排照相，小明不站在两端，则不同的排法有（）种．A．240 B．300 C．360 D．4807．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣ax+2（a∈R）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（）A．(1e，e2) B．（e2，+∞） C．[8．（5分）函数y=x3−ax+A．(−∞，−34) B．(−34，二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）关于(x−2A．二项式系数之和为128 B．各项系数之和为128 C．常数项为第四项 D．x2的系数为60（多选）10．（5分）在四川省新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据普通高等学校统一招生要求，必在物理、历史2门学科中选择1门，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（）A．若任意选科，则选法总数为12种 B．若政治必选，则选法总数为3种 C．若化学、地理至少选一门，则选法总数为10种 D．若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为5种（多选）11．（5分）若函数y=alnx+1A．a＞0 B．b＞0 C．b＜0 D．ab＞−（多选）12．（5分）已知函数f（x）=13x3﹣ax2+x，（a∈A．若f（x）是R上的增函数，则a∈[﹣1，1] B．当a＞1时，函数f（x）有两个极值 C．当a＞1时，函数f（x）有两零点 D．当a＝1时，f（x）在点（0，f（0））处的切线与f（x）只有唯一个公共点三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）一个不透明盒子中有4个质地均匀，大小形状相同的小球，分别为A，B，C，D，现从中随机抽取两个小球，则小球A未被抽中的概率为．14．（5分）(x2−15．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x），满足xf′（x）+f（x）＞0在R上恒成立，且f（1）＝2，则不等式xf（x）＜2的解集为．16．（5分）定义函数fn（x）＝1﹣x+x22−x33+⋯+(−1)nxnn(n∈N∗)，曲线四、解答题：本题共6小题，共70分。17题10分，18题-22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）求下列函数的导数：（1）f（x）＝ln（2x﹣1）+3x；（2）f（x）=sinxx−algx（3）f(x)=e18．（12分）现有5名实习生通过了实习考核，将他们分配到4个岗位，每个人只能去一个岗位．（1）不同的分配方案共有多少种？（2）若每个岗位至少分配一名实习生，则不同的分配方案有多少种？19．（12分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512；条件③：展开式中常数项为第4项．问题：已知二项式(x（1）展开式中二项式系数最大的两项；（2）展开式中的第九项．20．（12分）已知函数f（x）＝1+lnx．（Ⅰ）求证：f（x）﹣x≤0（Ⅱ）设k＞0，若f（x）≤kx在区间（0，+∞）内恒成立，求k的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝[x2﹣（a+3）x+2a+3]ex．（1）当a＝0时，求函数y＝f（x）的极值；（2）讨论f（x）的单调性．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）求曲线f（x）＝lnx过点（0，1）的切线方程；（2）若存在x1∈（0，+∞），使得对任意x2∈（0，+∞），都有f(x1)x1≥g

2023-2024学年四川省凉山州西昌市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设函数f（x）在x＝x0处可导，且满足limΔx→0f(x0+Δx)−f(xA．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【答案】B【分析】结合导数的定义，将原式进行变形即可得解．【解答】解：limΔx→0即12f'（x0）=所以f'（x0）＝1．故选：B．2．（5分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）＝|lnx| B．f(x)=−1x C．f(x)=12x D．f（x【考点】奇偶性与单调性的综合；由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性．【答案】B【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．【解答】解：f（x）＝|lnx|定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，A不符合题意；f（x）=−1x为奇函数且在（0，+∞）单调递增，f（x）=12xf（x）＝e|x|为偶函数，D不符合题意．故选：B．3．（5分）在(x3−1A．20 B．10 C．﹣10 D．﹣20【考点】二项式定理．【答案】C【分析】先写出通项公式，再令x的指数为3解得r＝3，从而可得结果．【解答】解：通项公式为Tr+1=C5r（x3）5﹣r（−1x）r＝（﹣1）r令15﹣4r＝3解得r＝3，展开式中含x3的系数为（﹣1）3C5故选：C．4．（5分）已知函数f（x）＝﹣xf'（1）−1x，则A．−32 B．32 C．−【考点】基本初等函数的导数；函数的值．【答案】A【分析】求出原函数的导函数，可得f′（1），得到函数解析式，取x＝2得答案．【解答】解：由f（x）＝﹣xf'（1）−1x，得f′（x）＝﹣f′（1）取x＝1，得f′（1）＝﹣f′（1）+1，则f′（1）=1∴f（x）=−12x−1x，则故选：A．5．（5分）为了贯彻落实教育部印发的《普通高中课程方案和语文等学科课程标准》，同时完善学生的知识结构，提高学生的综合素质，培养高中生的人文精神、科学精神、创新意识和实践能力，西昌市某学校高二年级开设了3门社科类选修课和3门艺术类选修课，学生需从6门课中选修3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案有（）种．A．12 B．15 C．16 D．18【考点】排列组合的综合应用．【答案】D【分析】根据题意，分2种情况讨论：①选1门社科类选修课和2门艺术类选修课，②选2门社科类选修课和1门艺术类选修课，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①选1门社科类选修课和2门艺术类选修课，有C3②选2门社科类选修课和1门艺术类选修课，有C3则共有9+9＝18种选法．故选：D．6．（5分）某校高二年级组织学生去某旅游名胜区春游，包含小明在内的6位同学站成一排照相，小明不站在两端，则不同的排法有（）种．A．240 B．300 C．360 D．480【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【答案】D【分析】根据题意，先分析小明的站法，另外5名学生，自由排列，计算可得答案．【解答】解：小明不站在两端，则小明有4个位置可选，有4种站法，另5名学生，站5个位置，有A5则不同的排法有4×120＝480种．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣ax+2（a∈R）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（）A．(1e，e2) B．（e2，+∞） C．[【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】根据函数f（x）在（1，2）上是减函数，可推出f′（x）＝ex﹣a≤0在（1，2）上恒成立，即a≥ex在（1，2）上恒成立，求出y＝ex在（1，2）上的取值范围即可求解．【解答】解：因为函数f（x）＝ex﹣ax+2（a∈R），所以f′（x）＝ex﹣a，因为函数f（x）在（1，2）上为减函数，所以f′（x）＝ex﹣a≤0在（1，2）上恒成立，即a≥ex在（1，2）上恒成立，因为y＝ex在（1，2）上单调递增，所以y＝ex＜e2，所以a≥e2，即实数a的取值范围为[e2，+∞）．故选：C．8．（5分）函数y=x3−ax+A．(−∞，−34) B．(−34，【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】C【分析】令f（x）＝x3﹣ax+14，x∈R，则f（x）＝0存在3个零点，即以a＝x2+14x（x≠0）有三个解，令g（x）＝x2+14x（x≠0），利用导数确定【解答】解：令f（x）＝x3﹣ax+14，x∈则f（x）＝0存在3个零点，显然x＝0不是函数的零点，令f（x）＝x3﹣ax+1所以a＝x2+1令g（x）＝x2+14x（则g'（x）＝2x−1又因为4x2+2x+1＞0，所以当x＜12且x≠0时，g'（x）＜0，g（当x＞12时，g'（x）＞0，g（其图象如图所示：由此可得当x=12时，函数取极小值，且极小值为又因为函数有3个零点，即y＝g（x）与y＝a有3个不同交点，所以a＞3故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）关于(x−2A．二项式系数之和为128 B．各项系数之和为128 C．常数项为第四项 D．x2的系数为60【考点】二项式定理．【答案】CD【分析】结合二项式系数的性质即可判断A选项；赋值法，令x＝1即可判断B选项；结合二项式的展开式的通项公式即可判断C、D选项．【解答】解：二项式系数之和为26＝64，故A错误；令x＝1，可得各项系数之和为（1−21）6＝1，故二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C6r令6﹣2r＝0，得r＝3，即常数项为第四项，故C正确；令6﹣2r＝2，得r＝2，则x2的系数为C62⋅(−2故选：CD．（多选）10．（5分）在四川省新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据普通高等学校统一招生要求，必在物理、历史2门学科中选择1门，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（）A．若任意选科，则选法总数为12种 B．若政治必选，则选法总数为3种 C．若化学、地理至少选一门，则选法总数为10种 D．若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为5种【考点】排列组合的综合应用．【答案】AD【分析】利用排列组合知识求解．【解答】解：对于A，若任意选科，则选法总数为C21C对于B，若政治必选，则选法总数为C21C对于C，若化学、地理至少选一门，则选法总数为C21（C2对于D，若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为C42−故选：AD．（多选）11．（5分）若函数y=alnx+1A．a＞0 B．b＞0 C．b＜0 D．ab＞−【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】ACD【分析】对已知函数求导，由已知可得y′=ax2−x−bx3有两个正的异号零点，即方程ax2﹣x﹣b＝0有两正的相异实根x1，x【解答】解：函数y=alnx+1y′=a因为函数y=alnx+1则y′=a令f（x）＝ax2﹣x﹣b，则f（x）＝ax2﹣x﹣b有两个正的异号零点，即方程ax2﹣x﹣b＝0有两正的相异实根x1，x2，所以x1+x2=1a＞0，x1x2=−所以a＞0，b＜0，ab＞−1故选：ACD．（多选）12．（5分）已知函数f（x）=13x3﹣ax2+x，（a∈A．若f（x）是R上的增函数，则a∈[﹣1，1] B．当a＞1时，函数f（x）有两个极值 C．当a＞1时，函数f（x）有两零点 D．当a＝1时，f（x）在点（0，f（0））处的切线与f（x）只有唯一个公共点【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】AB【分析】求导得f′（x）＝x2﹣2ax+1，依题意，对四个选项逐一分析可得答案．【解答】解：对于A，∵f（x）=13x3﹣ax2+x是∴f′（x）＝x2﹣2ax+1≥0，∴Δ＝4a2﹣4≤0，解得﹣1≤a≤1，A正确；对于B，当a＞1时，Δ＝4a2﹣4＞0，f′（x）＝0有两个异根，∴函数f（x）有两个极值，B正确；对于C，令f（x）=13x3﹣ax2+x=13x（x2﹣3ax+3）＝0，则x＝0或x∵当a＞1时，当9a2﹣4×3＝9a2﹣12＝0，即a=233时，x2﹣3ax+3＝0有相等的根，此时f当9a2﹣12＞0，即a＞233时，x2﹣3ax+3＝0有相异的两根，此时f（x对于D，当a＝1时，f′（x）＝x2﹣2x+1，∴k＝f′（0）＝1，又f（0）＝0，∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，由y=13x3∴当a＝1时，f（x）在点（0，f（0））处的切线与f（x）有2个公共点，D错误．故选：AB．三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）一个不透明盒子中有4个质地均匀，大小形状相同的小球，分别为A，B，C，D，现从中随机抽取两个小球，则小球A未被抽中的概率为12【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】12【分析】基本事件总数n=C42=6，其中小球A未被抽中包含的基本事件个数m【解答】解：一个不透明盒子中有4个质地均匀，大小形状相同的小球，分别为A，B，C，D，现从中随机抽取两个小球，基本事件总数n=C其中小球A未被抽中包含的基本事件个数m=C则小球A未被抽中的概率为P=m故答案为：1214．（5分）(x2−1x【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】见试题解答内容【分析】利用二项展开式的通项即可求得(x【解答】解：(x2−令4﹣2r＝0，得r＝2，所以(−1)故答案为：3215．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x），满足xf′（x）+f（x）＞0在R上恒成立，且f（1）＝2，则不等式xf（x）＜2的解集为（﹣∞，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】（﹣∞，1）．【分析】构造新函数g（x），结合函数的单调性得到g（x）＜g（1），从而求出不等式的解集．【解答】解：设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）是R上的增函数，不等式xf（x）＜2可以转化为xf（x）＜1•f（1），即g（x）＜g（1），∴x＜1．故答案为：（﹣∞，1）．16．（5分）定义函数fn（x）＝1﹣x+x22−x33+⋯+(−1)nxnn(n∈N∗)，曲线【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】{1，2}．【分析】先对原函数求导数，然后利用等比数列求和公式化简，最后代入x＝﹣2，解出n的集合．【解答】解：由题意知f′（x）＝﹣1+x﹣x2+x3﹣x4+⋯+（﹣1）nxn﹣1，当x＝0时，K＝0≥﹣3ln3，显然不等式恒成立，n∈N*；当x≠0，所以f′（x）=−1+(−x所以K=−1+2n−1≥−3ln3，即n因为1+3ln3＝1+ln27∈（4，5），所以log22所以n的取值为1，2，即解集为{1，2}，综上可知，原不等式的解集为{1，2}．故答案为：{1，2}．四、解答题：本题共6小题，共70分。17题10分，18题-22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）求下列函数的导数：（1）f（x）＝ln（2x﹣1）+3x；（2）f（x）=sinxx−algx（3）f(x)=e【考点】基本初等函数的导数．【答案】（1）f′（x）=2（2）f′（x）=x⋅cosx−sinx（3）f′（x）=e【分析】利用基本初等函数的导函数与导数的运算法则逐一求解得答案．【解答】解：（1）由f（x）＝ln（2x﹣1）+3x，得f′（x）=2（2）由f（x）=sinxx得f′（x）=x⋅cosx−sinx（3）由f(x)=e得f′（x）=ex(x3−12x218．（12分）现有5名实习生通过了实习考核，将他们分配到4个岗位，每个人只能去一个岗位．（1）不同的分配方案共有多少种？（2）若每个岗位至少分配一名实习生，则不同的分配方案有多少种？【考点】排列组合的综合应用．【答案】（1）1024种．（2）240种．【分析】（1）由于每位实习生都有4种分配方案，根据分步计数原理求得所有的分配方案数．（2）把5名实习生分成4组，然后分配即可．【解答】解：（1）由于每位实习生都有4种分配方案，故所有的分配方案共有45＝1024种．（2）5名实习生分成4组，有C52种方法，每个岗位至少有一名同学去，则不同的分配方案有19．（12分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512；条件③：展开式中常数项为第4项．问题：已知二项式(x（1）展开式中二项式系数最大的两项；（2）展开式中的第九项．【考点】二项式系数与二项式系数的和．【答案】（1）126x−32（2）9x【分析】选条件①，列出Cn0+选条件②，结合二项式系数的性质，即可求解；选条件③，结合二项式定理，即可求解；（1）结合二项式定理，即可求解；（2）结合二项式定理，即可求解．【解答】解：选条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46，则Cn0+Cn1+条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512，则2n＝512，解得n＝9，条件③：展开式中常数项为第4项，二项式(x−1令n2−32r=0展开式中常数项为第4项，则r＝3，故n＝9；（1）n＝9，Tr+1=C展开项中二项式系数最大项为第五项和第六项，即r＝4和r＝5，当r＝4时，T5当r＝5时，T6=C（2）展开式中的第九项为：T920．（12分）已知函数f（x）＝1+lnx．（Ⅰ）求证：f（x）﹣x≤0（Ⅱ）设k＞0，若f（x）≤kx在区间（0，+∞）内恒成立，求k的最小值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】（Ⅰ）证明见解答．（Ⅱ）k的最小值为1．【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）＝f（x）﹣x，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可．（Ⅱ）设k＞0，利用函数的导数，在区间（0，+∞）求解函数的最值，推出k的最小值．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）＝1+lnx．所以f（x）﹣x＝1+lnx﹣x，令g（x）＝1+lnx﹣x，可得g′（x）=1x−1，令1x−1=0，可得x＝1，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（1，+∞）时，g′（x所以g（x）≤g（1）＝0，即f（x）﹣x≤0．（Ⅱ）解：设k＞0，若f（x）≤kx在区间（0，+∞）内恒成立，即：k≥1x+lnxx，令h可得h′（x）=−1当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，函数是减函数，所以x＝1时，函数取得最大值：11可得k≥1，k的最小值为1．21．（12分）已知函数f（x）＝[x2﹣（a+3）x+2a+3]ex．（1）当a＝0时，求函数y＝f（x）的极值；（2）讨论f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）f（x）极大值＝3，f（x）极小值＝e；（2）当a＜1时，f（x）在（﹣∞，a）上单调递增，在（a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a＝1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；（2）分类讨论导函数的符号，即可求解．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝（x2﹣3x+3）ex，∴f′（x）＝（x2﹣x）ex，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）极大值＝f（0）＝3，f（x）极小值＝f（1）＝e．（2）∵f（x）＝[x2﹣（a+3）x+2a+3]ex，∴f′（x）＝[x2﹣（a+1）x+a]ex＝（x﹣1）（x﹣a）ex，①当1＜a时，f′（x）的符号草图为：∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；②当a＝1时，f′（x）的符号草图为：f（x）在（