2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与70%分位数分别为（）A．81，95.5 B．81，85 C．83.5，92 D．83.5，913．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1B与AD1所成角的大小为（）A． B． C． D．4．（5分）如图，在△ABC中，BC＝4，AB＝AC＝2，若△ABC的水平放置直观图为△A'B'C'，则△A'B'C'的面积为（）A． B． C． D．5．（5分）已知α∈（﹣，），且12sin2α﹣5cosα＝9，则cos2α＝（）A． B．﹣ C．﹣ D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cosA＝（）A． B． C． D．7．（5分）若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是（）A． B．3π C． D．9π8．（5分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．π B．π C．π D．π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，α⊥β，则m∥β C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n（多选）10．（6分）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）最小正周期为T＝π B． C．f（x）在区间上单调递减 D．方程在区间[0，2π]内有4个根（多选）11．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G，H，I均为所在棱的中点，P是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）A．HI∥平面EFG B．三棱锥A1﹣EFG的体积为 C．过E，F，G三点的平面截正方体所得截面的面积为 D．若AP＝2，则点P的轨迹长度为3π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知，，则＝．13．（5分）某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．14．（5分）设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆上，则的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量，向量与向量的夹角为θ．（1）求cosθ的值．（2）若，求实数λ的值．16．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝2，，求△ABC周长．17．（15分）2024年中国全名健身走（跑）大赛（四川射洪站）城市联动接力赛在射洪市举行，志愿者的服务工作是城市联动接力赛成功举办的重要保障，射洪市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18．（17分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的取值范围．19．（17分）如图，在四面体ABCD中，AB＝BD＝CD＝3，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，点M为AD上一点，且AM＝2MD，连接BM，CM．（1）证明：BM⊥CD；（2）求点D到平面BMC的距离；（3）求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．

2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】D【分析】根据复数的除法运算，化简复数，即可根据复数的几何意义，得出答案．【解答】解：因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．（5分）高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与70%分位数分别为（）A．81，95.5 B．81，85 C．83.5，92 D．83.5，91【考点】抽签法简单随机抽样及其步骤．【答案】D【分析】将题目中的8个数从小到大排列，再由中位数与百分位数的定义得答案．【解答】解：将题目中的8个数从小到大排列为：71，73，80，82，85，91，93，106，中位数为第四、五两个数的平均数，等于，又∵8×70%＝5.6，∴这组数据的70%分位数为第六个数，等于91．∴这组数据的中位数与70%分位数分别为83.5，91．故选：D．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1B与AD1所成角的大小为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【答案】B【分析】根据异面直线所成角的定义，先找出两直线所成的角，进而可求．【解答】解：根据正方体的性质可知BA1∥CD1，所以∠AD1C是直线A1B与AD1所成角，由于三角形ACD1是等边三角形，所以∠AD1C＝，即直线A1B与AD1所成角的大小为．故选：B．4．（5分）如图，在△ABC中，BC＝4，AB＝AC＝2，若△ABC的水平放置直观图为△A'B'C'，则△A'B'C'的面积为（）A． B． C． D．【考点】平面图形的直观图．【答案】B【分析】求出△ABC的面积，利用平面图形水平放置的直观图面积与原图形的面积比为，计算即可．【解答】解：在△ABC中，BC＝4，AB＝AC＝2，所以底边BC上的高为AO＝＝4，所以△ABC的面积为S△ABC＝×4×4＝8，所以△ABC水平放置的直观图△A'B'C'的面积为S△A′B′C′＝S△ABC＝×8＝2．故选：B．5．（5分）已知α∈（﹣，），且12sin2α﹣5cosα＝9，则cos2α＝（）A． B．﹣ C．﹣ D．【考点】二倍角的三角函数．【答案】B【分析】利用已知条件求解cosα的值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：α∈（﹣，），且12sin2α﹣5cosα＝9，可得12﹣12cos2α﹣5cosα＝9，解得cosα＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣．故选：B．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cosA＝（）A． B． C． D．【考点】解三角形；正弦定理．【答案】A【分析】根据正弦定理得到，整理得：，再利用两角和的正弦公式即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且有，∴由正弦定理可得：，整理得：，即：，又∵A+B+C＝π，∴，∴．故选：A．7．（5分）若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是（）A． B．3π C． D．9π【考点】圆锥的体积．【答案】B【分析】求出圆锥的底面圆半径，再求出圆锥的高和体积．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，因为母线长为，所以侧面展开图的面积为πr×2＝6π，解得r＝，所以圆锥的高为h＝＝3，所以圆锥的体积是V＝π××3＝3π．故选：B．8．（5分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．π B．π C．π D．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，∴六面体的体积是，由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设丸子的半径为R，则，解得，∴丸子的体积的最大值为．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，α⊥β，则m∥β C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】ABC【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【解答】解：若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故A错误；若m∥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β或m与β相交，故B错误；若m∥α，n∥β，α⊥β，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故C错误；若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n，故D正确．故选：ABC．（多选）10．（6分）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）最小正周期为T＝π B． C．f（x）在区间上单调递减 D．方程在区间[0，2π]内有4个根【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】ACD【分析】根据图象最值点可求得最小正周期，知A正确；代入可求得B错误；利用代入检验法，结合正弦函数单调性可知C正确；根据正弦函数的函数值可确定方程根的个数，知D正确．【解答】解：对于A，由图象知：f（x）的最小正周期，A正确；对于B，由A知：，∴，∴，解得：，又|φ|＜，∴，B错误；对于C，由AB可知：，当时，2x﹣∈[﹣π，﹣]，∴f（x）在上单调递减，C正确；对于D，当x∈[0，2π]时，，则当或或或，即或或或时，，∴在区间[0，2π]内有4个根，D正确．故选：ACD．（多选）11．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G，H，I均为所在棱的中点，P是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）A．HI∥平面EFG B．三棱锥A1﹣EFG的体积为 C．过E，F，G三点的平面截正方体所得截面的面积为 D．若AP＝2，则点P的轨迹长度为3π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行；棱柱的结构特征．【答案】BCD【分析】选项A．利用中位线平行得出HI与点EFG共面；选项B．因为面A1FG在正方体前侧面上，所以点E到面A1FG的距离等于EA的长，利用锥体体积公式求解即可；选项C．由选项A知截面为正六边形EFGIHK，进而得解；选项D．由AP＝2知点P轨迹为A为球心，2为半径的球与正方体表面的交线，由正方体棱长2得，交线为三段半径为2的四分之一圆．【解答】解：选项A，如图，设点K是棱DD1中点，由E，F，G，H，I均为所在棱的中点，根据中位线易得HI∥EF∥KG，进而可得HI与点EFG共面，所以HI⊂平面EFG，故A错误；选项B，如图，因为面A1FG在正方体前侧面上，所以点E到面A1FG的距离等于EA的长，正方形A1B中，则三棱锥A1﹣EFG的体积为＝，故B正确；选项C，由选项A知过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为正六边形EFGIHK，边长，所以面积为，故C正确；选项D，由AP＝2知点P轨迹为A为球心，2为半径的球与正方体表面的交线，如图，由正方体棱长2得，交线为三段半径为2的四分之一圆，长度为3π，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知，，则＝7．【考点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】由数量积的坐标运算计算即可．【解答】解：因为，，所以．故答案为：7．13．（5分）某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生1800人．【考点】分层随机抽样及其适用条件．【答案】1800．【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解．【解答】解：由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人，所以抽取的比例为设该校共有n名学生，可得，解得n＝1800人，即该校共有1800名学生．故答案为：1800．14．（5分）设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆上，则的取值范围为[0，32]．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】[0，32]．【分析】根据向量的极化恒等式，圆外点到圆上点的距离的范围，数形结合即可求解．【解答】解：如图，取DC的中点E，连接PE，设AB为直径的圆的圆心为O，半径为r，则由向量的极化恒等式可得：＝PE2﹣4，又PE∈[EO﹣r，EO+r]，又EO＝4，r＝2，即PE∈[2，6]，∴PE2∈[4，36]，∴∈[0，32]．故答案为：[0，32]．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量，向量与向量的夹角为θ．（1）求cosθ的值．（2）若，求实数λ的值．【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由平面向量夹角的坐标表示计算即可求得；（2）由向量垂直的坐标表示建立方程，求解即可．【解答】解：（1）因为，所以，，因为向量与向量的夹角为θ，所以；（2）因为，所以，又，且，所以，即4（λ+3）+2＝0，解得．16．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝2，，求△ABC周长．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由辅助角公式及角A的范围，可得角A的大小；（2）由正弦定理可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小，进而可得角C的大小，再由正弦定理可得b，c的值，进而求出△ABC的周长．【解答】解：（1）因为，所以2sin（A+）＝2，即sin（A+）＝1，由A为三角形内角，得A+＝，即A＝；（2）因为，，由正弦定理可得：，可得，又因为B∈（0，π），所以，，在△ABC中，由正弦定理得，所以，，所以△ABC的周长为．综上，△ABC的周长为．17．（15分）2024年中国全名健身走（跑）大赛（四川射洪站）城市联动接力赛在射洪市举行，志愿者的服务工作是城市联动接力赛成功举办的重要保障，射洪市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．【考点】离散型随机变量的方差与标准差；百分位数．【答案】（1）；（2）平均数为69.5，第25百分位数为63；（3）．【分析】（1）根据频率分布直方图分别表示出各组的频率，由第一、二组的频率之和为0.3及总的频率之和为1列方程组解出a，b的值；（2）分别写出每一组的频率，由平均数计算公式得到平均数，根据频率和得到第25百分位数所在的组，由概率和为0.25解出第25百分位数的值；（3）由第二组、第四组的频率之比得到分层抽样后两组人数所占比例，再结合两组各自的平均数和方差，由公式，分别求出两组所有面试者的方差．【解答】解：（1）由题意可知：，解得；（2）由（1）可知，每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数为＝50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05＝69.5，因为0.05+0.25＝0.30＞0.25，设第25百分位数为x，则x∈[55，65），则0.05+（x﹣55）×0.025＝0.25，解得x＝63，故第25百分位数为63；（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差＝．故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．18．（17分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的取值范围．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【答案】（1）：[]，（k∈Z）；（2）．【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单独叫递减区间；（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：（1）函数＝＝．令，（k∈Z），整理得：，（k∈Z），故函数的单调递减区间为：[]，（k∈Z）．（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数g（x）＝sin（x﹣）的图象，由于：，所以：，故．故函数g（x）的取值范围为．19．（17分）如图，在四面体ABCD中，AB＝BD＝CD＝3，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，点M为AD上一点，且AM＝2MD，连接BM，CM．（1）证明：BM⊥CD；（2）求点D