2023-2024学年四川省雅安市四校联考高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年四川省雅安市四校联考高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数z＝﹣3i（1﹣i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定的3．（5分）已知单位向量a→，b→满足(a→+2A．13b→ B．12b→4．（5分）已知函数f(x)=tanxa，则“a＝2”是“f（x）的最小正周期为2A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）折扇是我国传统文化的延续，它常以字画的形式体现我国的传统文化，如图1．图2是某折扇的结构简化图，已知∠AOB=2π3，OA＝2，若A，B之间的弧长为l，则lA．39 B．3π9 C．26．（5分）已知φ＞0，函数f（x）＝sin（2x+φ），∀x∈R，f(x)≤|f(4π3)|A．π6 B．5π6 C．4π37．（5分）如图，在平面直角坐标系中，A(0，43)，B（﹣4，0），C（4，0），P是线段AC上一点（不含端点），若BP→A．23 B．27 C．4 8．（5分）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．已知飞机在A点时，测得∠MAN＝∠BAN＝30°，在B点时，测得∠ABM＝60°，∠NBM＝75°，AB＝2千米，则MN＝（）A．42−26千米 B．4−23千米 C．3+1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知点A（0，0），B（2，1），C（2，0），则下列结论正确的是（）A．△ABC是直角三角形 B．若点D（4，1），则四边形ACDB是平行四边形 C．若AP→=AB→D．若AP→=2BP（多选）10．（6分）已知复数z，z1，z2均不为0，则下列说法正确的是（）A．若复数z满足z2∈R，且z2＞0，则z∈R B．若复数z满足1z∈R，则z∈C．若z1+z2∈R，则z1z2∈R D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1（多选）11．（6分）已知函数f(x)=sin2x+3A．f(x+πB．f（x）的图象关于点(π3C．f（x）在(0，π6D．将f（x）的图象向左平移π12个单位长度，得到的新图象关于y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知e1→，e2→是两个不共线的单位向量，a→=e1→−e13．（5分）如图，四边形ABCD的顶点都在圆O上，且AD经过圆O的圆心，若圆O的半径为4，BC＝4，四边形ABCD的面积为123，则CD＝14．（5分）若a→，b→，c→均为单位向量，且a→⊥b→，a→⋅c四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f(x)=sin(2x+π（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．16．（15分）已知向量a→=（3，4），b→（1）若a→⊥（a→−（2）若c→=（1，2），c→∥（a→−2b→），求17．（15分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2tanA（1）求A；（2）若b+c=3a，△ABC的面积为2318．（17分）在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠BAD=π3，F是线段AD的中点，DE→（1）若λ=12，AE与BF交于点N，AN→=xAB（2）求BE→19．（17分）若定义在A上的函数f（x）和定义在B上的函数g（x），对任意的x1∈A，存在x2∈B，使得f（x1）+g（x2）＝t（t为常数），则称f（x）与g（x）具有关系P（t），已知函数f(x)=2cos(2x+π6)（1）若函数g（x）＝4sinx，x∈R，判断f（x）与g（x）是否具有关系P（2），并说明理由；（2）若函数g（x）＝2x+a，x∈[﹣1，2]，且f（x）与g（x）具有关系P（4），求a的最大值；（3）若函数g（x）＝cos2x﹣mcosx+5，x∈R，且f（x）与g（x）具有关系P（3），求m的取值范围．

2023-2024学年四川省雅安市四校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数z＝﹣3i（1﹣i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】C【分析】结合复数的四则运算及复数的几何意义即可求解．【解答】解：z＝﹣3i（1﹣i）＝﹣3i﹣3在复平面内对应的点（﹣3，﹣3）位于第三象限．故选：C．2．（5分）若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定的【考点】三角形的形状判断；余弦定理．【答案】B【分析】结合余弦定理，即可求解．【解答】解：设边长为20，30，40，对应的边长为a，b，c，则cosC=a故角C为钝角，即该三角形的形状是钝角三角形．故选：B．3．（5分）已知单位向量a→，b→满足(a→+2A．13b→ B．12b→【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】A【分析】由已知，求得a→【解答】解：由单位向量a→，b→满足可得a→2+则a→在b→上的投影向量为故选：A．4．（5分）已知函数f(x)=tanxa，则“a＝2”是“f（x）的最小正周期为2A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】正切函数的单调性和周期性；充分条件与必要条件；三角函数的周期性．【答案】B【分析】由已知结合正切函数的周期公式检验充分及必要性即可．【解答】解：当f（x）的最小正周期为2π时，a＝±2，故“a＝2”是“f（x）的最小正周期为2π”的充分不必要条件．故选：B．5．（5分）折扇是我国传统文化的延续，它常以字画的形式体现我国的传统文化，如图1．图2是某折扇的结构简化图，已知∠AOB=2π3，OA＝2，若A，B之间的弧长为l，则lA．39 B．3π9 C．2【考点】弧长公式．【答案】D【分析】结合弧长公式，以及余弦定理，即可求解．【解答】解：A，B之间的弧长为l，OA＝2，∠AOB=2π则l=2×2π在△OAB中，AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB=4+4−2×2×2×cos2π3=12，解得故l|AB|故选：D．6．（5分）已知φ＞0，函数f（x）＝sin（2x+φ），∀x∈R，f(x)≤|f(4π3)|A．π6 B．5π6 C．4π3【考点】三角函数的最值．【答案】B【分析】根据∀x∈R，f(x)≤|f(4π3)|可得x=4π3【解答】解：由题意可得f（4π3）为函数f（x则直线x=4π3是函数f（x）的一条对称轴，则解得φ=−13π6+kπ，k因为φ＞0，所以φ的最小值为−13π故选：B．7．（5分）如图，在平面直角坐标系中，A(0，43)，B（﹣4，0），C（4，0），P是线段AC上一点（不含端点），若BP→A．23 B．27 C．4 【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】根据A，C两点的坐标写出直线AC的方程，设点P的坐标为P（x，−3（x﹣4）），其中x∈【解答】解：由A(0，43)，C（4，0）知，直线AC的方程为y=−3不妨设P（x，−3（x﹣4）），其中x∈则BP→=（x+4，−3（x﹣4）），OP→=（x因为BP→所以x（x+4）+3（x﹣4）2＝32，整理得4（x2﹣5x+4）＝0，解得x＝1或x＝4（舍），所以OP→=（1，3所以|OP故选：B．8．（5分）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．已知飞机在A点时，测得∠MAN＝∠BAN＝30°，在B点时，测得∠ABM＝60°，∠NBM＝75°，AB＝2千米，则MN＝（）A．42−26千米 B．4−23千米 C．3+1【考点】解三角形；正弦定理．【答案】D【分析】在△ABN中，由正弦定理可得AN的值，再由题意可得△ABM为等边三角形，在△AMN中，由余弦定理可得MN的值．【解答】解：在△ABN中，∠BAN＝30°，AB＝2km，又因为∠ABM＝60°，∠NBM＝75°，所以∠ABN＝∠ABM+∠NBM＝135°，所以∠ANB＝180°﹣∠BAN﹣∠ABN＝15°，由正弦定理可得：ABsin∠ANBsin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=22（32所以AN=sin∠ABNsin∠ANB×2=在△ABM中，∠ABM＝60°，∠MAN＝∠BAN＝30°，可得∠MAB＝60°，所以△ABM为等边三角形，即AM＝AB＝2，在△AMN中，由余弦定理可得MN2＝AN2+AM2﹣2AN•AMcos∠MAN＝[2（1+3）]2+4﹣2×2×2（1+3）×3所以MN=6+故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知点A（0，0），B（2，1），C（2，0），则下列结论正确的是（）A．△ABC是直角三角形 B．若点D（4，1），则四边形ACDB是平行四边形 C．若AP→=AB→D．若AP→=2BP【考点】平面向量的基本定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角形的形状判断；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【答案】ABD【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示，线性运算的坐标表示求解后判断各选项．【解答】解：因为AC→=(2，0)，BC→=(0，−1)，所以AC若点D（4，1），则BD→=(2，0)，AC→=若AP→=AB→+若AP→=2BP→，则B是AP中点，所以故选：ABD．（多选）10．（6分）已知复数z，z1，z2均不为0，则下列说法正确的是（）A．若复数z满足z2∈R，且z2＞0，则z∈R B．若复数z满足1z∈R，则z∈C．若z1+z2∈R，则z1z2∈R D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】ABD【分析】由已知结合复数的四则运算及复数的概念检验各选项即可判断．【解答】解：对于A选项，令z＝a+bi，a，b∈R，则z2＝a2﹣b2+2abi，因为z2∈R，且z2＞0，所以ab=0a2−b2＞0，则b＝0，a≠0，故对于B选项，令z＝a+bi（a，b∈R），则由1z=1a+bi=a−bia2+b对于C选项，令z1＝1+i，z2＝2﹣i，此时z1+z2∈R，z1z2∉R，故C错误；对于D选项，令z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），则z1z2=(a+bi)(c−di)=ac+bd+(bc−ad）所以bc﹣ad＝0，z1z2故选：ABD．（多选）11．（6分）已知函数f(x)=sin2x+3A．f(x+πB．f（x）的图象关于点(π3C．f（x）在(0，π6D．将f（x）的图象向左平移π12个单位长度，得到的新图象关于y【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值；两角和与差的三角函数；三角函数中的恒等变换应用．【答案】BCD【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性，最值求解及函数图象变换检验各选项即可判断．【解答】解：由题意得，f(x)=2sin(2x+π因为f(x+π2)=2sin(2x+因为f(2π3−x)=2sin[2(所以f（x）的图象关于点(π3，0)若x∈(0，π6)，则2x+因为函数y=2t+1t在(32，1]g(x)=f(x+π则g（﹣x）＝g（x），所以g(x)=2cos2x+1cos2x为偶函数，其图象关于y轴对称，故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知e1→，e2→是两个不共线的单位向量，a→=e1→−e【考点】平面向量的相等与共线；平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】见试题解答内容【分析】根据向量共线，可设b→=ta【解答】解：由题意，e1→，且a→=e若a→与b→共线，则有即−2e则有−2=tk=−t，解得k故答案为：2．13．（5分）如图，四边形ABCD的顶点都在圆O上，且AD经过圆O的圆心，若圆O的半径为4，BC＝4，四边形ABCD的面积为123，则CD＝4【考点】与圆有关的比例线段．【答案】4．【分析】连接OC，OB，即可得到∠BOC＝60°，再由SABCD＝S△OCD+S△OBC+S△OAB、面积公式及三角恒等变换公式得到sin（∠COD+π6）＝1，从而求出∠【解答】解：连接OC，OB，∵圆O的半径为4，BC＝4，则△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，四边形ABCD的面积SABCD＝S△OCD+S△OBC+S△OAB=1＝8（sin∠COD+32+＝8[sin∠COD+3＝8（sin∠COD+32+＝8（32＝8[3sin(∠COD+π6解得sin（∠COD+π∵∠COD∈(0，2π3)，∴∠COD+∴△OCD是等边三角形，故CD＝4．故答案为：4．14．（5分）若a→，b→，c→均为单位向量，且a→⊥b→，a→⋅c→的取值范围是(−3【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】13；(−3【分析】根据条件，利用模长的计算公式，即可求出|3a→−2b→|；令a→=(1，0)，b→=(0，1)，c→=(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，根据条件得到【解答】解：由题可知：|a因为a→⊥b因为|3a不妨设a→=(1，0)，b→则a→⋅c因为a→⋅c→的取值范围是所以α的取值范围是(π又因为a→⋅c→b当α∈(π4，综上，a→⋅c故答案为：13，(−3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f(x)=sin(2x+π（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．【考点】三角函数的周期性；三角函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数的性质求f（x）的最小正周期；（2）由正弦型函数的性质求f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．【解答】解：（1）f(x)=sin(2x+=sin2xcosπ=3=sin(2x−π所以f（x）的最小正周期T=2π（2）f(x)=sin(2x−π当f（x）取得最大值时，2x−π6=所以f（x）的最大值为0，取得最大值时x的取值集合为{x|x=π16．（15分）已知向量a→=（3，4），b→（1）若a→⊥（a→−（2）若c→=（1，2），c→∥（a→−2b→），求【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】（1）52（2）115【分析】（1）根据a→⊥（a→−b→）时数量积为0，列方程求出x（2）根据平面向量的共线定理列方程求出x，再计算a→−2b→【解答】解：（1）向量a→=（3，4），b→=（1，x），所以因为a→⊥（a→−b→），所以3×2+4（4﹣所以a→−b→=（2，−（2）因为c→=（1，2），a→−2由c→∥（a→−2b→），得2＝4﹣2所以（a→−2b→|a→−2b→|=12所以a→−2b→与a→的夹角的余弦值为cos17．（15分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2tanA（1）求A；（2）若b+c=3a，△ABC的面积为23【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）A=π（2）23【分析】（1）由三角恒等变换及正弦定理，可求得cosA=12，从而求得角（2）由三角形面积求得bc，结合余弦定理，求得a+c，即可求得三角形周长．【解答】解：（1）由2tanA1+ta又asinBb所以2sinAcosA＝sinA，又A∈（0，π），sinA≠0，所以cosA=12，则A（2）因为△ABC的面积为23所以12bcsinA=2由余弦定理可得a2＝c2+b2﹣2bccosA＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，因为b+c=3a，所以解得a＝2，则b+c=23所以△ABC周长为2318．（17分）在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠BAD=π3，F是线段AD的中点，DE→（1）若λ=12，AE与BF交于点N，AN→=xAB（2）求BE→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．【答案】（1）−1（2）19116【分析】（1）以向量AB→、AD→为基底，表示出AE→、BN→、BF→，根据BN→∥BF→且AN（2）根据题意算出AB→⋅AD→=12，将BE→、FE→表示为AB→、AD→的组合，利用平面向量数量积的运算性质，推导出BE→⋅FE→=【解答】解：（1）当λ=12时，E为CD的中点，可得若AN→=xAB→+yAD→，则BN因为F是AD的中点，所以BF→=AF→−AB由AN→∥AE→，得x12=y1⋯②，将①②组成方程组，解得x（2）根据题意，可得AB→⋅AD→=|AB由DE→=λDC→=λAB→，得AE由AF→=1所以BE→⋅FE→=[（λ﹣1）AB→+AD→]•（λAB→+12AD→）＝（＝16（λ2﹣λ）+12（3λ2−12）+12×6根据二次函数的性质，当λ=−116时，BE→⋅FE→的最小值为16×（−119．（17分）若定义在A上的函数f（x）和定义在B上的函数g（x），对任意的x1∈A，存在x2∈B，使得f（x1）+g（x2）＝t（t为常数），则称f（x）与g（x）具有关系P（t），已知函数f(x)=2cos(2x+π6)（1）若函数g（x）＝4sinx，x∈R，判断f（x）与g（x）是否具有关系P（2），并说明理由；（2）若函数g（x）＝2x+a，x∈[﹣1，2]，且f（x）与g（x）具有关系P（4），求a的最大值；（3）若函数g（x）＝cos2x﹣mcosx+5，x∈R，且f（x）与g（x）具有关系P（3），求m的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【答案】（1）具有，理由见解析；（2）5；（3）（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．【分析】（1）先求出f（x）∈[﹣2，1]，g（x）＝4sinx在x∈R的值域为[﹣4，4]，从而得到对任意的x1∈A，存在x2∈B，使得f（x1）+g（x2）＝2得到结论；（2）求出g（x）＝2x+a∈[﹣2+a，4+a]，结合f（x）∈[﹣2，1]，得到[3，6]⊆[﹣2+a，4+a]，得到不等式，求出a的取值范围，求出最大值；（3）由题