2023-2024学年陕西省西安市鄠邑二中高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年陕西省西安市鄠邑二中高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|﹣1≤x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|0≤x≤3} D．{x|﹣1≤x≤3}2．（5分）从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（）A．360 B．64 C．24 D．463．（5分）已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…）的一个经验回归方程为ŷ=2x+aA．﹣1 B．1 C．﹣5 D．54．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2=1（aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知直线y＝﹣2x+a与函数f（x）＝x2﹣4lnx的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．(126．（5分）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件A为“选取的两名学生性别相同”，事件B为“选取的两名学生为男生”，则P（B|A）＝（）A．14 B．34 C．137．（5分）985被8除所得的余数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种 B．90种 C．120种 D．150种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z＝a（a+1）﹣ai（a∈R），则下列选项正确的是（）A．若z为纯虚数，则a＝0或﹣1 B．若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a∈（﹣1，0） C．若a＝2，则|z|=25D．若a＝﹣2，则z（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝sinx﹣cosx+2，则（）A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的最大值为3 C．f（x）的图象关于点(π4D．f（x）的图象关于直线x=−π（多选）11．（6分）已知（4x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（）A．a0＝1 B．a1﹣a2+a3﹣a4+…＝59﹣1 C．a1D．a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）随机变量X～B(12，14)，则σ（2X13．（5分）已知点M在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若|NF|＝9，则p＝，|MF|＝．14．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2ln（x﹣1）﹣ax，若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在等差数列{bn}中，b1＝1，bn＝log3a2n﹣1，且12是a1，a3+21的等比中项．（1）求{bn}的通项公式；（2）求数列{1bnbn+1}16．（15分）某新能源汽车制造企业为了了解产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]．（1）从质量指标值在[55，75）内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率．（2）若该项质量指标值X近似服从正态分布N（μ，σ2），μ近似为样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），σ近似为样本标准差s，并已求得s≈15.5，利用所得正态分布模型解决以下问题：①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格；②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于μ的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望．参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9974．17．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，且PA＝2，AB=BC=22，AC＝4．Q为棱BP上一点，且AQ⊥BP（1）求CQ的长；（2）求二面角Q﹣AC﹣B的余弦值．18．（17分）设曲线f（x）＝e2x在点P（m，f（m））处的切线l与坐标轴所围成的三角形面积为S（m）．（1）当切线l与直线2x﹣y+1＝0平行时，求实数m的值；（2）当m＜0时，求S（m）的最大值．19．（17分）已知双曲线C：x（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．

2023-2024学年陕西省西安市鄠邑二中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|﹣1≤x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|0≤x≤3} D．{x|﹣1≤x≤3}【考点】求集合的并集．【答案】D【分析】根据题意，由并集的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，集合A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|﹣1≤x＜2}，则A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}．故选：D．2．（5分）从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（）A．360 B．64 C．24 D．46【考点】分步乘法计数原理．【答案】A【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可．【解答】解：根据分步乘法计数原理，6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法有6×5×4×3＝360种．故选：A．3．（5分）已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…）的一个经验回归方程为ŷ=2x+aA．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【考点】残差及残差图；经验回归方程与经验回归直线．【答案】C【分析】根据残差的定义求解．【解答】解：∵样本点（1，﹣1）的残差为2，∴−1−(2×1+a解得â故选：C．4．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2=1（aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】求椭圆的离心率；充分条件的判断．【答案】A【分析】由题意，结合离心率公式对椭圆的焦点在x轴和y轴这两种情况进行讨论，求出a的值，进而可解．【解答】解：因为椭圆C的离心率为32所以ca若椭圆的焦点在x轴上，此时a2解得a＝2；若椭圆的焦点在y轴上，此时1−a解得a=1所以“a＝2”是“椭圆C的离心率为32故选：A．5．（5分）已知直线y＝﹣2x+a与函数f（x）＝x2﹣4lnx的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．(12【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】A【分析】对f（x）求导，判断f（x）的单调性，求出直线y＝﹣2x+a与f（x）的图象相切时的a的值，作出图像即可判断．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣4lnx，定义域为（0，+∞），则f′(x)=2x−4x=2(x2−2)x当x∈(0，2)时，f'（x）＜0，当x∈(2，+∞)时，所以f（x）在(0，2)上单调递减，在所以f(x)令f'（x）＝﹣2，得x＝1，所以直线y＝﹣2x+a与f（x）的图象相切时的切点为（1，1），此时a＝3，所以当a＞3时，直线y＝﹣2x+a与f（x）的图象有两个不同的交点．故选：A．6．（5分）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件A为“选取的两名学生性别相同”，事件B为“选取的两名学生为男生”，则P（B|A）＝（）A．14 B．34 C．13【考点】条件概率．【答案】D【分析】根据条件概率公式计算即可．【解答】解：由题意得，事件A包含的样本点数n(A)=C事件A和B包含的样本点数n(AB)=C所以P(B|A)=n(AB)故选：D．7．（5分）985被8除所得的余数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】二项式定理的应用．【答案】B【分析】利用985＝（8+1）85，再利用二项式定理展开分析可得答案．【解答】解：因为985＝（8+1）85=C850885+C8518又C850885+C851所以985被8除所得的余数为1．故选：B．8．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种 B．90种 C．120种 D．150种【考点】排列组合的综合应用．【答案】D【分析】分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果．【解答】解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有C5再分配，乘以A33，即得总数150，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z＝a（a+1）﹣ai（a∈R），则下列选项正确的是（）A．若z为纯虚数，则a＝0或﹣1 B．若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a∈（﹣1，0） C．若a＝2，则|z|=25D．若a＝﹣2，则z【考点】纯虚数；复数对应复平面中的点；复数的模．【答案】BD【分析】直接利用复数的基本概念逐一判断选项即可．【解答】解：若z为纯虚数，则a(a+1)=0a≠0，∴a＝﹣1，故A若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a(a+1)＜0−a＞0，∴a∈（﹣1，0），故B若a＝2，则z＝6﹣2i，∴|z|=62+若a＝﹣2，则z＝2+2i，∴z=2−2i，故D∴选项正确的是BD．故选：BD．（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝sinx﹣cosx+2，则（）A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的最大值为3 C．f（x）的图象关于点(π4D．f（x）的图象关于直线x=−π【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；两角和与差的三角函数．【答案】ACD【分析】由题意利用两角差的正弦公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（x−【解答】解：由题意f（x）＝sinx﹣cosx+2=2（22sinx−22cosx）+2=所以f（x）的最小正周期T＝2π，故A正确；f（x）的最大值为2+2，故B由f（π4）=2sin0+2＝2，可得f（x）的图象关于点(π由f（−π4）=2sin（−π2）+2＝2−2，可得f（故选：ACD．（多选）11．（6分）已知（4x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（）A．a0＝1 B．a1﹣a2+a3﹣a4+…＝59﹣1 C．a1D．a【考点】二项式系数的性质．【答案】BC【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【解答】解：已知（4x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anx4，因为第5项与第6项的二项式系数相等，所以Cn4=令x＝0，得a0=(−1)令x＝﹣1，得a0−a1+令x=12，得a0所以a1+a因为(4x−1)所以两边同时求导得36⋅(4x−1)令x=14，得a1+2故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）随机变量X～B(12，14)，则σ（2X【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【答案】见试题解答内容【分析】由二项分布的方差公式求出D（X），再利用方差的性质求解．【解答】解：因为X～B(12，1所以D（X）＝12×1所以D（2X﹣3）＝4D（X）＝9，所以σ(2X−3)=D(2X−3)故答案为：3．13．（5分）已知点M在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若|NF|＝9，则p＝，|MF|＝．【考点】抛物线的弦及弦长．【答案】见试题解答内容【分析】由题意，过M，N向准线作垂线，垂足分别为M1，N1，结合中位线定理以及抛物线的定义再进行求解即可．【解答】解：易知ON是△KMF的中位线，所以|MF|＝2|ON|．过M，N向准线作垂线，垂足分别为M1，N1，同理NN1是△KMM1的中位线，所以|MM1|＝2|NN1|．由抛物线的定义知|MM1|＝|MF|，|NN1|＝|NF|，所以|ON|＝|NF|，所以N点的横坐标为p4此时|NF|=p解得p＝12，因为|ON|＝|NF|＝9，所以|MF|＝2|ON|＝18．故答案为：12；18．14．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2ln（x﹣1）﹣ax，若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为．【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】由题意得a≤x−2ln(x−1)x，构造新函数g(x)=x−2ln(x−1)【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2ln（x﹣1）﹣ax≥0，所以ax≤x2﹣2ln（x﹣1），即a≤x−2ln(x−1)令g(x)=x−2ln(x−1)x，则令h(x)=x2−2xx−1+2ln(x−1)，则因为h（2）＝0，所以当x∈（1，2）时，h（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，则当x∈（1，2）时，g'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，所以g（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（2）＝2，故实数a的取值范围为（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在等差数列{bn}中，b1＝1，bn＝log3a2n﹣1，且12是a1，a3+21的等比中项．（1）求{bn}的通项公式；（2）求数列{1bnbn+1}【考点】裂项相消法；由等差数列中若干项求通项公式或其中的项．【答案】（1）bn＝2n﹣1；（2）n2n+1【分析】（1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的通项公式即可求解；（2）由已知结合裂项求和即可求解．【解答】解：（1）由b1＝log3a1＝1，得a1＝3，因为12是a1，a3+21的等比中项，所以122＝a1（a3+21），则a3＝48﹣21＝27，则b2＝log3a3＝log327＝3．设{bn}的公差为d，则d＝b2﹣b1＝2，故bn＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣1；（2）由（1）可知1b则Sn16．（15分）某新能源汽车制造企业为了了解产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]．（1）从质量指标值在[55，75）内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率．（2）若该项质量指标值X近似服从正态分布N（μ，σ2），μ近似为样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），σ近似为样本标准差s，并已求得s≈15.5，利用所得正态分布模型解决以下问题：①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格；②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于μ的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望．参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9974．【考点】频率分布直方图的应用；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先根据分层抽样可知在[55，65）内的有3件，在[65，75）内的有2件，再利用古典概型的概率公式求解；（2）①先求出μ的值，再利用正态分布曲线的对称性求解；②由题意可知Y～B(3，1【解答】解：（1）因为质量指标值在[55，65）和[65，75）的频率之比为3：2，所以采用分层抽样的方法随机抽取的5件中，在[55，65）内的有3件，在[65，75）内的有2件，记“抽取的2件产品不在同一组”为事件A，则P(A)=C（2）①因为x=30×0.06+40×0.1+50×0.16+60×0.3+70×0.2+80×0.1+90×0.08=61所以μ＝61，所以P（X＜30或X＞92）＝P（X＜μ﹣2σ或X＞μ+2σ）＝1﹣P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝1﹣0.9545＝0.0455，所以若该生产线生产100万件零部件，则估计有100×0.0455＝4.55万件零部件不合格；②因为P(X≥μ)=12，所以所以Y可以取0，1，2，3，则P(Y=0)=18，P(Y=1)=C31所以Y的分布列为：Y0123P18383818故E(Y)=3×117．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，且PA＝2，AB=BC=22，AC＝4．Q为棱BP上一点，且AQ⊥BP（1）求CQ的长；（2）求二面角Q﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先证明BC⊥面PAB，再证明AQ⊥面BPC，得到AQ⊥CQ，根据勾股定理即可求解；（2）求出两个平面的法向量即可求解．【解答】解：（1）∵AB=BC=22，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴PA⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥面PAB，AQ⊂面PAB，∴AQ⊥BC，又AQ⊥BP，BC∩BP＝B，∴AQ⊥面BPC，∵CQ⊂面BPC，∴AQ⊥CQ，又BP=22+(22)2∴CQ=A（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，22，0），C（22，0，0），Q（0，423，43），PAQ→=（0，−223，43）AC→设面AQC的法向量为n→=（x，y，则n→⋅AQ→=0n→⋅AC→=0，即−223y+又PA⊥面ABC，∴AP→为面ABC∴|cos＜n→，AP→由图象可知二面角Q﹣AC﹣B为锐角，故其余弦值为5518．（17分）设曲线f（x）＝e2x在点P（m，f（m））处的切线l与坐标轴所围成的三角形面积为S（m）．（1）当切线l与直线2x﹣y+1＝0平行时，求实数m的值；（2）当m＜0时，求S（m）的最大值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】见试题解答内容【分析】在点P（m，f（m））处的切线l，即切线方程为y﹣e2m＝2e2m（x﹣m），利用斜线方程可进行求解．【解答】解