高中数学人教A版选择性必修第二册4.4 数学归纳法（含答案）

选择性必修第二册4.4数学归纳法一、选择题（共12小题）1.根据2020年央行商业贷款基准利率的有关规定：一年以下（含一年）年利率为4.35%；一至三年（含三年）利率为4.75%，三至五年（含五年）利率也为4.75%，五年以上利率为4.9%；某人向银行贷款100万元，按年计复利的话，五年后一次性还清，则需要还款   A.100+100×5×4.75%万元 B.100×1+4.75%5 C.100+100×5×4.9%万元 D.100×1+4.9%52.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少?”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯   A.3盏 B.9盏 C.27盏 D.81盏3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有   A.17×87-8 C.8+17×87-4.已知数列an对任意的p,q∈N*满足ap+q= A.-165 B.-33 C.-5.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要   A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟6.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”从下至上共7层，从第二层起，上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上的“浮雕像”的数量构成数列an，则log2a3 A.8 B.10 C.12 D.167.一个弹性小球从10米高处自由落下，着地后反弹到原来高度的45处，再自由落下，又弹回到上一次高度的45处，这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为 A.50 B.80 C.90 D.1008.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遭1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8，且给修筑堤坝的每人每天分发大米3升．”在该问题中，前5天共分发大米   A.1200升 B.1440升 C.1512升 D.1772升9.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，⋯⋯，按此规律进行下去，6小时后细胞的存活数是   A.33 B.65 C.66 D.12910.标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E"边长的1010倍，若视力4.2的视标边长为a，则视力5.1的视标边长为   A.10-910a B.1011.已知数列an中，an=n2-knn∈N* A.-∞,2 B.-∞,2 C.-∞12.在fm,n中，m，n，fm,n∈N*，且对任意m， ①f1,5 ②f5,1 ③f5,6 其中正确结论的个数是   A.3 B.2 C.1 D.0二、填空题（共7小题）13.现有200根相同的钢管，把它们堆成“正三角形”,要使剩余的钢管数尽可能少，那么剩余钢管的根数最少为

．14.如图所示，在一个2n-1×2n-1（n∈N且n≥2 15.我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是

尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过

16.中国古代数学著作《算数统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里米，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关⋯⋯．”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口⋯⋯．”那么该人第一天走的路程为

．17.设Sn为数列an的前n项和，已知a1=2，对任意p,q∈N*，都有18.“整数对”按如下规律排成一列：1,1，1,2，2,1，1,3，2,2，3,1，1,4，2,3，3,2，4,1，⋯，则第50个数对是

.19.数列an满足an+1+-1nan=2n三、解答题（共6小题）20.已知数列an的第n项an是关于n的二次函数，a1=5，a2=1521.随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车．使用汽车共需支出三笔费用：购置费、燃油费、养护保险费．某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元．（1）若每年养护保险费均为1万元．设购买该种型号汽车nn∈N*年后共支出费用为Sn（2）若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加10%．设使用nn∈N*年后年平均费用为cn，当n=n0时，cn最小．请你列出n>6时c22.给定集合An=1,2,3,⋯,n，映射f:An→An满足：①当i,j∈An，i≠j时，fi=fj；②任取m∈An，若m 表1： i1 表2： i（1）已知表2表示的映射f:A4→（2）若映射f:A10→A10是“优映射”，且方程fi=j的解恰有23.请回答下列问题：（1）从第1月起，若每月初存入100元，月利率是1.65‰并按单利计算，到第12月底本息和是多少（2）若一年定期的年利率为p，三年定期年利率为q（均按单利计算），如果存一年定期的，一年后取出本息，再一起存入一年定期，这样三年后所取出的本息与直接存三年定期比较，还是直接存三年定期的合算，请问p，q应是怎样的关系?24.为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防．规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克，已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是an毫克；（即a（1）已知m=12，求a2，（2）该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值．25.设n为正整数，集合A=αα=t1,t2,⋯,tn,tk（1）当n=3时，若α=0,1,1，β=0,0,1，求Mα（2）当n=4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β，证明：M（3）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素α，β，Mα,β=答案1.B2.C【解析】根据题意，设塔的底层共有x盏灯，则每层灯的数目构成以x为首项，13则有S=解可得：x=243所以中间一层共有灯243×133.D【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵的人数成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8+844.C5.C【解析】根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数构成等比数列．设细菌将病毒全部杀死需要n（n∈则1+2+2所以1-2所以2n又n∈所以n≥8即细菌将病毒全部杀死至少需要8秒钟．6.C【解析】由题意得数列an为等比数列，且公比q=2，n=7解得a1=8，则所以a3=2从而a3所以log2故选C．7.C8.A【解析】易知第一天共分发大来64×3升．由题意，每天分发的大米升数构成等差数列，公差为8×3，因此，前5天共分发大米5×64×3+5×5-19.B【解析】设开始的细胞数和n-1n∈N+则a1即an所以数列an-1是首项为1，公比为所以an-1=1×2故6小时后细胞的存活数a7=210.A【解析】设第n行视标边长为an，第n-1行视标边长为由题意可得：an则数列an为首项为a，公比为10-即a10则视力5.1的视标边长为10-11.D【解析】因为数列an中，an=n2所以an+1-a即n+12-k所以k<2n+1，n∈N12.A【解析】因为fm所以fm,n组成首项为fm,1所以fm又f1,1所以f1,5因为fm所以fm,1组成首项为f1,1，公比为所以fm所以f5,1所以f5,6所以①②③都正确，故选A．13.10【解析】由题意可知最上面一层的钢管数为1，逐层增加1，从上到下各层钢管数组成一个等差数列，所以“正三角形”中的钢管总数Sn=1+2+3+⋯+n=nn+1当n=19时，S19=190，当n=20所以当n=19时剩余钢管数最少，最少为1014.415.164，【解析】记第n天后剩余木棍的长度an，则an是首项为12，公比为所以an=12由an=12n<12018得n所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是164尺，要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过1116.192里【解析】根据题意，记每天走的路程里数为an，可知an是公比为1又知6天走完378里，则S6解得：a1=192，即该人第一天走的路程为19217.2918.5,619.1830【解析】令bn则bn因为an所以an所以a4a4a4a4a4a4a4a4所以a4即a4同理，a4n+3=a所以a4即bn+1=bn又a2a3a4式②-式①得a3+a1=2；式②+式所以a1+a2所以数列an的前60项和即为数列bn的前15项和，即20.设an则a+所以an=5n221.（1）设第n年的燃油费为an则an所以S

（2）设第n年养护和保险费为bn则bn设nn≥7年后的总费用为则Tncnn022.（1）i

（2）84．23.（1）第一个月存入银行100元，到期利息应为100×12×1.65‰第二个月存入银行100元，到期利息应为100×11×1.65‰，⋯所以共得本息和为100×12+100×12+11+⋯+2+1×1.65

（2）设本金为A元，则直接存三年定期，到期本息和应为A1+3而一年后取出再转存的，三年后本息和应为A1+由题意应有：A1+3解之，得q>24.（1）a2a3所以a2，a3分别是14.4和14.88

（2）由条件：a1=m，an+1=1所以an-54m是以-an-54因为数列an单调递增，且lim所以54m≤25，即所以m的最大值为20．25.（1）因为α=0,1,1，所以MαMα

（2）当n=4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β设α=x1有Mα,α对于任意的xi，yi，当xi≥yi当xi