实际问题与一元二次方程课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

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实际问题与一元二次方程学习目标课时讲解1课时流程2列一元二次方程解应用题逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点列一元二次方程解应用题11.一般步骤感悟新知知1－讲步骤内容摘要注意事项(1)审审清题意，明确已知量和未知量，找到它们之间的等量关系等量关系往往体现在关键词句中(2)设设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法(引入辅助未知数，并在解题过程中消去)有单位的要带单位(3)列用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程方程两边单位要统一

感悟新知续表知1－讲步骤内容摘要注意事项(4)解根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值一般不必写出解方程的过程(5)检检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义一般两个根中只有一个符合实际意义(6)答写出实际问题的答案遵循“问什么答什么”的原则

感悟新知知1－讲特别解读1.列方程，这是解应用题的关键一步，一般先找出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含未知数的等式，即方程.2.设未知数时，尽量问什么设什么，同时必须写清单位．感悟新知2.常见实际问题的数量关系知1－讲常见问题等量关系几何图形问题涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式传播问题传染源+第一轮被传染的数量+第二轮被传染的数量=两轮传染后的总数

感悟新知知1－讲规律总结传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染的总个数为a(1+x)列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，答时必须写上单位．感悟新知知1－讲常见问题等量关系平均增长率(降低率)问题a

为起始量，b

为终止量，平均增长率公式：a(1+x)n=b(x为平均增长率，n

为增长的次数)；平均降低率公式：a(1－x)n=b(x

为平均降低率，n

为降低的次数)双循环问题(互赠贺卡问题)每两个元素之间算两次，设有n

个元素，循环总次数为n(n-1)

续表感悟新知续表知1－讲数字问题(1)两位数=十位上的数字×10+个位上的数字；(2)

三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字商品销售问题利润=售价-进价；利润率=×100%；售价=进价×(1+利润率)；总利润=总售价-总成本=单件利润×总销量

知1－练感悟新知[母题中考·威海教材P24习题T6]如图25.3-1，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24m2的9块矩形地块，请你求出小路的宽度.例1知1－练感悟新知解题秘方：设小路的宽度为xm，根据题意可知，9块矩形地块的总面积等于一个长为(20-4x)

m，宽为(14-4x)

m的矩形面积，据此建立方程求解即可.知1－练感悟新知

知1－练感悟新知1-1.小明准备进行如下操作：把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形.要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小明应该怎么剪这根铁丝？

知1－练感悟新知知1－练感悟新知[新考向数学文化]《九章算术》中有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会.问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？例2

知1－练感悟新知解题秘方：先设他们相遇时用的时间为x，根据“路程=速度×时间”用含x的式子表示出直角三角形三边的长度，再利用勾股定理列方程求解.知1－练感悟新知解：如图25.3-2，设他们相遇时用的时间为x，则有(3x)2=(7x-10)2-102.解得x1=0(舍去)，x2=3.5.∴3x=3×3.5=10.5，7x=7×3.5=24.5.答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.知1－练感悟新知2-1.《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等.则门的对角线长为________尺.10知1－练感悟新知[母题教材P21探究1]某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？例3知1－练感悟新知解题秘方：先设每轮感染中平均一台电脑感染的电脑台数为未知数，再利用被感染电脑的总台数列方程即可解决问题，但是一定要注意检验方程的解是否符合实际问题情境.知1－练感悟新知解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.根据题意，得1+x+(1+x)x=81，整理得(1+x)2=81，解得x1=8，x2=-10(舍去).三轮感染后，被感染的电脑台数为(1+x)2+x(1+x)2=(1+x)3=(1+8)3=729>700.答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三轮感染后，被感染的电脑会超过700台.知1－练感悟新知3-1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)每轮传染中平均一人传染了几人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？知1－练感悟新知解：设每轮传染中平均一人传染了x

人.根据题意得1＋x＋x(1＋x)

=64,解得x1=7，x2=－9(不符合题意，舍去)

.答：每轮传染中平均一人传染了7人.(1)每轮传染中平均一人传染了几人？知1－练感悟新知解：64×7=448(人)

.答：第三轮将又有448人被传染.(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？知1－练感悟新知随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒．(1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率.(2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则10月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明．例4

知1－练感悟新知解题秘方：(1)根据“7月份的销量×(1+增长率)2=9月份的销量”列方程求解；(2)由“9月份的销量×(1+增长率)”求出10月份的销量，与5.5万盒作比较即可.知1－练感悟新知解：设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为x，根据题意，得4(1+x)2=4.84，解得x1=0.1=10%，x2=－2.1(不符合题意，舍去)

.答：该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为10%．(1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率.增长率一般为正数知1－练感悟新知解：4.84×(1+10%)

=5.324(万盒)．因为5.324万盒＜5.5万盒，所以10月份的销量不能达到5.5万盒.(2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则10月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明．知1－练感悟新知4-1.随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.(1)求这两个月该景区游客人数的月平均增长率.解:设这两个月该景区游客人数的月平均增长率为x.根据题意,得1.6(1+x)2=2.5,解得x1=25%,x2=-94(不合题意,舍去).答:这两个月该景区游客人数的月平均增长率为25%.知1－练感悟新知(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客最多是多少万人？解:设5月份后10天日均接待游客是a万人.根据题意,得2.125+10a≤2.5(1+25%),解得a≤0.1.答:5月份后10天日均接待游客最多是0.1万人.知1－练感悟新知[母题教材P22探究2]某超市购进甲、乙两种商品，2024年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2026年每件的进价为80元.(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；(2)2026年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.例5知1－练感悟新知解题秘方：(1)根据“2024年乙种商品每件的进价×(1-降低率)2=2026年乙种商品每件的进价”列方程求解；(2)根据“购买资金不超过7800元”列不等式求解.知1－练感悟新知解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题意，得125(1-x)2=80，解得x1=0.2=20%，x2=1.8(舍去).答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；知1－练感悟新知解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件.根据题意，得(125-25×2)m+80(100-m)≤7800，解得m≥40.所以m的最小值为40.答：最少购进甲种商品40件.(2)2026年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.知1－练感悟新知5-1.[中考·绵阳]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元.因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4、5月份按照相同的降价率r连续降价.已知5月份礼盒的售价为486元，则r=_________.10%知1－练感悟新知某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和他邀请到的专家，在专家到会时，林经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家之间都握了一次手，所有参加会议的人共握手20次.参加这次会议的专家有多少人？例6知1－练感悟新知解题秘方：握手问题是典型的单循环问题，根据“林经理和专家握手的总次数+专家之间握手的总次数=20”列方程求解.知1－练感悟新知

知1－练感悟新知6-1.[期末·泸州江阳区]参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了36份合同，问共有多少家公司参加此次商品交易会？

知1－练感悟新知距期末考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，班主任要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，该学习小组共有多少名同学？例7解题秘方：本题中“写留言”是相互的，要求每两个元素之间算两次(不除以2)知1－练感悟新知解：设该学习小组共有x

名同学.根据题意，得x(x-1)=30，解得x1=6，x2=-5(不合题意，舍去).答：该学习小组共有6名同学.知1－练感悟新知7-1.在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有多少人？解:设这个微信群共有x人.根据题意，得x(x-1)=72,解得x1=9,x2=-8(舍去).答：这个微信群共有9人.知1－练感悟新知一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？例8解题秘方：列方程解数字问题的关键是用代数式表示出这个多位数的数值，设未知数时，通常采用间接设元法，即设这个多位数的某一数位上的数字为x，然后将其他数位上的数字用含x的代数式表示出来，最后再根据题中的数量关系列方程即可.知1－练感悟新知解：设个位数字为x，则十位数字是(x-3)，因此这个两位数是10(x-3)+x.根据题意，得x2=10(x-3)+x.整理，得x2-11x+30=0，解得x1=5，x2=6.当x=5时，x-3=2；当x=6时，x-3=3.答：这个两位数是25或36.这里用到间接设未知数法知1－练感悟新知8-1.有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的新的两位数乘原来的两位数的积为1855，求原来的两位数.知1－练感悟新知解：设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为8-x.根据题意，得(10x+8-x)×［10(8-x)+x］＝1855，整理，得x2-8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5.当x=3时，个位数字为8-x=5；当x=5时，个位数字为8-x=3.答：原来的两位数为35或53.知1－练感悟新知某商品现在的销售单价为60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知该商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6080元的利润，则应将销售单价定为多少元？例9知1－练感悟新知解题秘方：单件利润/元销量/件总利润/元降价前60-40300降价后(方法一：设销售单价降低x

元)60-x-40300+20x(60-x-40)·(300+20x)=6080降价后(方法二：设销售单价为x

元)x-40300+20(60-x)(x-40)[300+20·(60-x)]=6080知1－练感悟新知解法一：(间接设未知数)设商品的销售单价应降低x元，则商品的销售单价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件.列方程，得(60-x-40)(300+20x)=6080.整理，得