考研数学（数学三）模拟试卷446

考研数学(数学三)模拟试卷446

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

I、设f(X)是以3为周期的可导函数，且r(―I)=1,则

«I•6_

二「力(2-3h)-R2+6)=

A、-4.

B、4.

I

C、4

1

D、4

标准答案：C

知识点解析：注意f(x)也以3为周期，f(―1)=f(2),利用导数可求得极限

...________________1___________________________1_______

―黑〜，①-3h)二/(2)—/(2+5-/(2)--3广(2)-广(2)

-3hh

______।______2.

'"'⑵-了故应选

(C).

2、设函数f(X)在(-8,+00)内连续，其导函数y=f(x)的曲线如图所示,

则f(x)有

A、两个极小值点，一个极大值点，三个拐点.

B、一个极小值点,一个极大值点,两个拐点.

C、一个极小值点,一个极大值点,三个拐点.

D、一个极小值点，两个极大值点，三个拐点.

标准答案：C

知识点解析：由图可知，f(x)有两个零点：xi<0,X2>0,且在xi两侧r(x)由

正变为负，即f(X)先增后减，于是X］为极大值点；类似分析可知X2为极小值

点.x=o为r(x)不存在的点(第二类间断点)，在x=o两侧均有r(x)vo,因此

x=o不是极值点，但在x=o两侧r(x)由减函数变为噌函数，由此可断定(0,f(o))为

曲线y=f(x)的拐点.另外，除x=0点

外，考察掌X)的增减性,还有两个点X3,X4,使「(X)在它们的两侧改变增减性,

因此这两个点也3是曲线产f(x)的拐点，综合上述分析，应选(C).

密

3曲3x的拐点的个数为

A个

•

B个

•

c个

•

D个

•

D

2

知识点解析：y=(x3—3x)+,先求出y，与y”.y,=(x3—3x)Ax2—1),y"=3

(x3—3x)孑.3(x2—l)2+2x(x3—3x)=—2(x3—3x)*^[(x2—1)2-x(x3-

22

3x)]=—2(x3—3x)4(x2+1)=_2x*(x—3)+(x+I),由，二6’3常

在(-8,+8)连续，y"不存在的点只有x=0,x=*K,而y"=0的点不存在，且

在X=±4'两侧y”变号，x=0两侧)y”也变号n(°，°)，(-Q♦°)，(O^，°)均为y=

/r石的拐点，再无其他拐点.因此，应选(D).

（B）£（一）1++7^7].

1

ns1n（n+1）」

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：(A),(B),(C)不是条件收敛.由

,.x«r1(-i)"i(-1),1

B8

我中，£三上收敛发放=(A)发放.由

...tIn一-in

其中，£7'T77均收敛=(B)绝对收敛,由

(-1)•A111I\

-------7----tan------------->—=(nz->»),

(n♦1)/mRny/nn

=(C)绝对收敛.因此应选(D).

.3x1+(a+2)x2+4X3=0,

(I)，5”1+ax2+(a+5)x3=0,

5、a=-5是齐次方程组।马-的+2%=0有非零解的

A、充分必要条件•.

B、充分条件，但不是必要条件.

C、必要条件，但不是充分条件.

D、既不是必要条件又不是充分条件.

标准答案：B

知识点解析：根据克拉姆法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的

充分必要条件是系数矩阵的行列式值为

3a+24a+5Q♦24

5aa♦5=a+5aa+5

1-120-12

0.=(a+5)(a-3).于

是a=—5是(I)有非零解的充分条件，但不是必要条件.

6、n维向量a=l/2.0.0,1/2)。A=E—4aaT,p=(1,1,I)T,则

Ap的长度为

I

A、n

B、R

C、n.

D、n2.

标准答案：B

知识点解析：Ap=(E—4aaI)P=P—4a(aqP)=P~~4a=(一1,1,…,1,—1)T

IIA/3||=A.

24

7、设X,Y为随机变量，P{XY<0}=5,P{nlax(Y,Y)>0)=5,则p；min

(X,Y)<0}=

(A)y.(B)J.(C)J.(h)y.

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

设4=|Xw0j.8=则"YWO：=4ftUBA,

•max(X.r)>0|=AUB=AB,W0!=MU8.

P；min(X,y)wOi=P(AU«)=P(ABUBAUAB)=P(痴U8彳)+P(48)

=P|Xr^O|+1-P(AB)=E0|+1-P|max(XJ)>

01

3,44

555

故应选(D).

/(x)

、设随机变量的密度函数为则下列服从标准正态分

8•・・・・•、••■•—«X

(A)Y=y(X+3).

(C)Y=y(X-3).

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

/(x)1

知识点解析：由于2/rr可知x〜N(—3,

-X--+-3-S--1-1

2),显力(X+3)〜N(0,I),而(A),(B),(C)三个选项都不符合，只有(D)符

合，可以验证

£[_±(A+3)]=_±(£X+3)=/(-3+3)=0

。卜静2卜卜才以=»2=

即y=-3)~N(O,1).

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

9、与曲线(y—2)2=x相切，且与曲线在点(1,3)处的切线垂直，则此直线方

程为.

厂-2一旦

标准答案：8

八]

知识点解析：对曲线方程求导，2(y—2)y'-l,故2(y-2)当尸3时，y-

A——!——=-2,得,=工.

2,即曲线在点(1,3)处的法线斜率为一2,由y，=2(y-2)4代入曲

线方程，有X二讳所以切点坐标为（讳'彳）故直线方程为

10、将抛物线y=x2—x与x轴及直线x=c（c>l）所围成平面图形绕x轴旋转一

周，所得旋转体的体积V、等于弦op（p为抛物线与直线x=c的交点）绕x轴旋转

所得锥体的体积V惟，则C的值为________.

5

标准答案：4

知识点解析：图形如右图所示.X=7tfoCy2dx=7tfoC(x2—x)2dx=nfoc(x4—2x^+x2)

dx

7

=-j-rrhr2=~-c(c2-c)2=-y-wc3(c-1)2

2CI

由题设知+=讶/(-L-c__r)

化简得y-y=y-y,»c=丸

2M)•X00,

lim[-----------+-----------+•"3、2卜x=°»

11、设f(x)♦1)("+2)(〃+几)」则f

(x)=________.

e-M,%，0

/(*)=]人・

标准答案:

知识点解析：

当X/0时,由liE空要=0知了1（1.2"；?-）"是"L型未定式,故

lim（1+如♦铲）=e-•吧=©一.岬（，彳）=e-1;

ib12n2/

当z=0时,应用定积分定义求极限，有

e~xx#0,

1

)4-.*=o

12、二阶微分方程万+y=10e2x满足条件丫（0）=0,丫，（0）曰的特解是

y=-------------

标准答案：2e2x—2cosx—3sinx,

知识点解析：本题中微分方程的特征方程是#+1=0,特征根是九=i与八一i,由

方程的右端项10e2x即知可设方程具有形式为y*=Ae?x的特解，从而方程通解的形

式为y=C।cosx+C2sinx+Ae2x.计算可得y"=—Cjcosx—C2sinx+4Ae2x.把y与y"

代入方程就有y"+y=SAe2x.令5A=10即A=2即得方程的通解为

2x,

y=Cicosx+C2sinx+2e.分别令y（0）=C|+2=0与y（0）=C2+4=l又可确定常数

Ci=—2,C2=—3.故所求的特解是y=202x-2cosx—3sinx.

-45a-

4=a-21

13、已知-1-1J的任意两个特征向量都线性相关，则@=

标准答案：一2.

知识点解析：因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，所以条件说明A的

三个特征值都相等，即A有一个3重特征值I3X=tr(A)=3,于是入=1.有仇E—

A-4-5-a

|AE-4|=-aA+2-1

A|=(X—1)3.11A-

=X+1+a(a+X+2)+(X—1)(X2—2X—8—5a)=a2+X(a+1)+2a+1+(X—1)(X2—2X+1—9—5a)

=(X—1)3+X(a+1)+a2+2a+1—(X—l)(5a+9)=(X—I)3—(8+4a)Ua2+7a+10.则

8+4a=0并且a2+7a+10=0,得a=—*2.

14、一学徒工开7台机床连续独立生产3个同种机器零件，且第i个零件是不合

格品的概率Pi=(i=l,2,3).则三个零件中合格品零件的期望值为

23

标准答案：方

知识点解析：以Ai表示第i个零件合格，i=l,2,3,Ai相互独立，于是有

I23

尸⑷)=y>P(A?)P(%3)=不以x表示3个零件中合格品的个数，则

«0|=P(彳禹>)=P(A)P(A)PCA)

l2i234么

P\X=11=P(4JHU彳向右U彳/%)

=p(—-).P(A1A2A3)♦p(——)

1111211136

=T，T*4-+T，T'T+'2"T，4-=24

P{X=3)=

J_#2..±±

P(A|A2A3)=P(AI)P(A2)P(A3)=彳’于‘彳-n’

66^_n

P\X=2|=1-r|*=0|-?|X=1|-P|X=3|=1-24-24-24

TY]6311,623

£X=，X24+2X24*3X24Xl2-

三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)

2x34-6x4-1

15、设b为常数.(I)求曲线L:y=；(-2)的斜渐近线1的方程；(n)设

L与1从x-1延伸到x-8之间的图形的面积A为有限值，求b及A的值.

标准答案：

(I)求y=吟虫宗’的斜渐近线•由于

+2)

..v..2/+b*+If

limJ=hm-----------------=2,

xx*(*+2)

2z34-fex4-2/++1-2，-4〉

lim(y-2x)=lim

——2)x(x+2)

所以斜渐近线方程为y=2x-

⑺面积一门^?^2-。…)*

=/r^r-=K(^4)-

=glim[(2b+15)ln(x+2)+】ru：；

=4-1而[lnr(r+2)26“S-(26+15)ln3].

4.21.9如果

.lim

2b+15+l#),即如果b#—8,无论b>—8还是bV—8,均有J♦叫研豆产+心与

limln：(r+2)n*15=limIn-^=0,

从而与A为有限值矛盾.当b=-8时有一•・-,+2

A=~ln3.

故此时所求的面积2

知识点解析：暂无解析

16、设函数f(x)在x=l的某邻域内连续，且有

I/I-丁-1(I)求f(l)及7/'(D)求F

(1),若又设F(1)存在，求F(1).

(I)由条件知limln[/(x+1)+1+3sin2x]=0

*-»o

lim[/(#+1)+3»in2x]=/(1)+0=0=>/(1)=0.

标准答案:I又在

x=0的某空心邻域内f(x+l)+3sin2x#0,现利用等价无穷小因子替换：当XTO时,

In[l+f(x+l)+3sin2x]一f(x+l)+3sin2x，

22

-e-1=(i-X)T-1T

..ln[/(x♦1)♦1+3sin2x]]而〃打工2±3则2?"

lim—*-----------------------------------==4

一

I卜--一i0r2

limrAx^12+3sinxi2

*-*olX2x2J

/bL4-L)=2-31im^

lim=2-3

M-4>X1X’

(u)方法1。/'(D==|ZLLt±l・*=(-I)・o=o.

«-*Ox7imX

由/-(i)3=>/(x)在X：=1的某邻域内可导

9

~0ijy+i)

IX1洛必达法则1-02X

(小)二/0.；书(1)…

x22

广⑴=-2.

知识点解析：暂无解析

17^求(x,y,z)=2x+2v—z?+5在区域Q：x2+y2+z?w2上的最大值与最小值.

标准答案：f(x,y,z)在有界闭区域Q上连续，一定存在最大、最小值.第一步，

曳

先求f(x,y,z)在Q内的驻点.由源=2知f(x,y,z)在。内无驻点，因此f(x,

y,z)在C的最大、最小值都只能在C的边界上达到.第二步，求f(x,y,z)在Q

的边界x?+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x,y,z)在条件x?+y2+zZ—2=0下的

最大、最小值.令F(x,y,z,X)=2x+2y—Z2+5+X(x2+y2+z2—2)，解方程组

—=2+2Ax=0,

tix①

1=2+2A)=0,

胡

3F

-=-Zz+2Ai=0,③

dz

—dFSX2+.V+--2=0,④

由①，②知x=y,,由③知z=0或入=1.由x=y,z=0代入④知x二尸±1,z=0.当

九=1时由①，②，④也得x二产一1,z=0.因此得驻点Pi(―1,—1,0)与

P2(l,1,0).计算得知f(P|)=1,f(P2)=9.因此，f(x,y,z)在。的最大值为

9,最小值为1.

知识点解析：暂无解析

18、设曲线产y(x)上任意一点的切线在y轴上的截距与法线在x轴上的截距之

比为3,求y(x).

标准答案：1)先求截距并列方程，曲线y=y(x)在V点(x,y(z))处的切线方程是

Y—y(x)=『(x)(X—x)令X=0,得y轴上截距y=y(x)—xy，(x)相应的法线

Y=y(x)--r—(X-x)

方程是V")令Y=O,得x轴上截距

这是齐次方程，令〃=工，得

X

duu-3du1+u2

*7-+“=x~~~T.X=-3---------

dx3u+1dx3〃+1

分离变疝得包工|九二--dx

I+/x

积分得-yln(!♦/)，arctanu=-31n|x|+C

将"=上代人并化简得

X

3Iny/x2+y2+arctan-=C.

x

c为V常数.X=x+y(x)y'(x)

按题意守=3

即/=曰1.

3y+42）求解方

Z-3

业X____

dx4+】

这是齐次方程，令〃»得

X

d〃.u-3du«1+u2

*7-+“=z~~~r.=-3；-------7

dx3u+1dx3”+]

分离变量得包上|九二--dx

1+u2x

积分得-yln（!♦〃2），arctanu=-31n|x|+C

将，，=上代入并化简得

X

31fly/x2+y2+arctan上二C

程.C为V常数.

知识点解析：暂无解析

19、设f(x)在［a,b］上连续且单调增加.试证：兀2兀

a♦b

b

标准答案：要证xf(x)dx22.Jaf(x)dx,即要证

J(4-土*y(x)dxN°•

又,-y（x）dx=17（x-^--y（x）dx+d-

由积

分中值定理*,存在

口卜号4岛“昼4使

1+/(鱼)/q(％-

=_{/(&)(宁J+j/(G(宁『=-/(«)］।

2\2J2\2I8由f(x)单

调增加,ffe)”(&)，故20，得证.

知识点解析：改写不等式，即要证

rb

|f(x)dx-f(x)dxN0.

二L1一卡/*)击分别在区间

上应用积分中值定理即可得证.

+A=0,

(1)axt+aXj

20、已知四元齐次方程组"Jr?■°的解都满足方程式(n)

xi+X2+x3=0.①求a的值.②求方程组(I)的通解.

标准答案：①条件即(I)和(II)的联立方程组和(I］同解，也就是矩阵

rl1011

101n

a02Z0

B=和4:a0/0

00a2

L00a2*

1o-的秩相等，对B用初等行变换化阶

梯形矩阵，并注意过程中不能用第4行改变上面3行，以保证化得阶梯形矩阵的上

面3行是由A变来的.显然a=0时r(A尸1,r(B尸2：因此

a#0.

0

0

B=

00

-111

1

0-I

00

,00

因为存0,所以r(A)=3.要使得r(B)=3,

01'001/2-

②A=01/2-1001/2

a=l/2.-001/2-1/2--00-1」得(I)的通解：c(

1,—1,2,2)T,c任意.

知识点解析：暂无解析

21、己知A是3阶矩阵，⑴，az，a3是线性无关的3维列向量组，满足Aa尸一

一3(X2—3a3.Aa2=4ai+4ct2+a3，Aas=-2aj+3a3.①求A的特征值.②求A

的特征向量，③求A*—6E的秩.

标准答案：①记P=(ai»a2,。3），因为四，a2,a3是线性无关，所以P是可逆

矩阵.AP=(Aaj,Aa2,Ag)-(―*aj—3a2—3a3,4ai+4a2+as，—2ai+3a3)

-2---14-2-

-340.B=-340•

3」（此处用了矩阵分解）记

二（囚，（12，（X3）L-31-313则

AP=PB,即P一】AP=B,A与B相似，特征值一样.求B的特征多项式

A♦1-42

|AE-B|=A-40=(A-1)(A-2)(A-3).

-1A-3|

3得A的特征值为

1,2,3.②先求B的特征向量，用P左乘之得到A的特征向量.（如果

B『入中则P—APTF入中即A（Pn）=A（Pn）.）对于特征值1：

--24-2-10-r

B-E=-33001-i

--312■-00o-B的属于特征值1的特征向量（即（B—

E）x=0的非零解）为c(l,1,■c/0.则A的属于特征值1的特征向量为c

--34-2'-4o-r

B-2E=-32004-3

（ai+a2+a3）,，c#0.对于特征值2：-311--000-

B的属于特征值2的特征向量（即（B—2E）x=0的非零解）为c（2,3,3)T,

c#0.则A的属于特征值2的特征向量为c（2a1+3a2+3a3）Lc/）.对于特征值

--44-2'io-r

6-3E=-310oi-1

3：--310--ooo-B的属于特征值3的特征向量（即

（B—3E）x=0的非零解）为c（l,3,4/，c，0.则A的属于特征值3的特征向量

为c（ai+3a2+4a3）T,c/0.③由A的特征值为1,2,3,|A|=6.于是A*的特征

000-

0-30

值为6,3,2,A*—6E的特征值为0,—3.—4.于是A*—6E00-4-

r（A*—6E）=2.

知识点解析：暂无解析

22、设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数X服从参数为A的泊松分行，

且每一顾客购买A类商品的概率为p.假定各顾客是否购买A类商品是相互独立

的，求进入该超市的顾客购买A类商品