考研数学（数学三）模拟试卷368

考研数学(数学三)模拟试卷368

一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

lim/(x).

1、设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且？(2)=0,又L2(z—2)2=—2,则

f(2)().

A、必是f(x)的极大值

B、必是f(x)的极小值

C、不一定是f(x)的极值

D、-*定不是f(x)的极值

标准答案：D

知识点解析：利用极限的保号性及极值的定义判别之.仅(D)入选.由f(x)可导和

F(2)=0知,x=2是f(x)的驻点,但由

lim/(系亍=-2=>lim=-2且litn/(焉=-2,

「2(工-2)L[(工_2>根据极限保号性及(X

一2)2>0知，当对2时，f(x)<0,所以f(2)一定不是f(xj的极值.

2、下列函数中在点x=0处可微的是().

A^f(x)=e1x1

B、f(x)=arctanIxI

1.1

x3sin-；--

《|xi

C、f(x)=0，x=0

D、f(x)=arcsin/TH,

xI<1

标准答案：c

知识点解析：因函数f(x)在X=xo处可微的充要条件是f(x)在X=xo处可导，归结

为讨论下列函数在x=0处是否可导的问题.解一对选项(A),

△(。)=limlim9=1.

L。吏-"x—v0LO.t"x

/.(0)=lim=—lim三二!一一L

1一x~x故f(x)在x=0处不可导，所以f(x)

—四—

在x=0处不可微.对选项出)，故f(x)在x=0处不可导，因而在x=0处也

不可微.对选项(C),解二利用本书试卷七第1题的解题思路中的命题结论而知

仅(C)入选(因a=>l).所以f(x)在x=0处可导.仅(C)入选.刈选项(D),即不存

在，故f(x)在x=0处不可导，当然在x=0处也不可微.

3、函数f(x,y)="7在点(0,0)处().

A、不连续

B、连续，但偏导数fx(0,0)和fy(0,0)不存在

C、连续，且偏导数fx(0,0)和Fy(0,0)都存在

D、可微

标准答案：C

知识点解析：f(x,y)在整个平面上有定义，且f(0,0)=0.又

lim/(JT,j)=lim、lim方

(x.yl-CO.O)G・y)，0・(DU.y)-(O.O)=Q=f(O,0),这表明f(X,

y)在点(0,0)处连续，从而(A)不正确.因f(x,0)三f(0,y)三0,对任意x€R,任意

冈

y6R.于是(0,y)=0,且在点(0,0)处有(0,0)=0,可见(B)不正确.因

f(x,y)在点(0,0)处可微的充分必要条件是不难发现，当△y=ax>0时，这表明

上述极限不为零，即(D)不正确.仅(C)入选.

8

、给定两个正项级数S”・及U已知当时，不能判断这两个

4lUn0Vn,=p,p=()

正项级数同时收敛或同时发散.

A、0

B、1/2

C、1

D、2

标准答案：A

知识点解析：利用比较判别法的极限形式判别之，对于此判别法，一是要注意仅适

用于正项级数，二要注意极限值p的取值情况不同，结论是不同的，特别当p=0

或+8时，其结论要记清楚.这时不能判断两个正项级数同时收敛或发散.对于比

v区x

较判别法，当幺V"=p.0VpV+8时，级数因同时收敛或发散，因此仅(A)

入选.当「=时，有可能发散；当p=+oo时，有可能收敛.

•1r

5、矩阵A=L。2」与下面矩阵()相似.

--10-

A、A|=L0-2-

•1尸

B、A2=L22-

C、A3=[20.

-10、

D、A4=/2」

标准答案：D

知识点解析：先由两矩阵相似的必要条件(行列式相等)，排除一些矩阵，再由特征

值相等的条件确定选项.IAiI=2,而IA2I=0,IA3I=一2,故排除(B)、

(C).再由A的特征值为1,2,而Ai的特征值为一1,-2,排除A],仅A4〜A

40・

=-12」'.仅①)入选.注意常用的两矩阵A与B相似的必要条件有：(I)IAI

=IBI；(2)r(A)=r(B)；(3)IXE-AI=IXE-BI,即A与B有相同的特征

nn

值，(4)tr(A)=tr(B),即i=l，其中A=[aij]nxn，B=[bij]nxn.

6、设三元二次型f(X],x2,X3)=XTAX的正惯性指数p=l,且二次型A满足A2

+2A—3E=0,则在正交变换下该二次型的标准形是().

A、y+2/-35

B、乂一35一2乂

C、乂一5一工

D、乂-3y—3乂

标准答案：D

知识点解析：先求出A的特征值，确定正负惯性指数，再确定选项.设入是矩阵

A的特征值，a是矩阵A属于特征值大的特征向量，WAa=Xa,a^O.那么由

(A2+2A-3E)a=0有32+2人-3)a=0,X2+2x—3=(X+3)(X-1)=0.由此可

知，矩阵A的特征值只能是1或一3.I大I为A可逆，正惯性指数p=l,则负惯性

指数必为2,所以A的特征值为猫=,入2=心=一3,从而正交变换下该二次型

的标准形为？】一3/一3乂.仅①)入选.

7、设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变最g=X+Y与n=X—Y

不相关的充分必要条件为().

A、E(X)=E(Y)

B、E(X2)-(E(X))2=E(Y2)-(E(Y))2

C、E(X2)=E(Y2)

D、E(X2)+(E(X))2=E(Y2)+(E(X))2

标准答案：B

知识点解析：X,Y不相关的充耍条件有：(1)E(XY)=E(X).E(Y);(2)D(X+Y)=

D(X)+D(Y)；(3)cov(X,Y)=0；(4)pxy=0.本例使用条件cov(X,Y)=0更方

便.由E(B)=E(X2-Y2)=E(X2)—E(Y2),而自=X+Y.n=x—Y则E©=

E(X)+E(Y),E(n)=E(X)-E(Y),于是cov&q)=E(X2)-E(Y2)-*(E(X)+

E(Y))(E(X)-E(Y))=E(X2)-(E(X))2—(E(Y2)-(E(Y))2)+E(X)E(Y)—E(X)E(Y)=

D(X)—D(Y).因止匕cov(0n)=。的充要条件是D(X)=D(Y).仅(B)入选.

8、若随机变量X〜N(2,J),且概率P(2VX<4)=0.3,则概率P(X<0)等于

().

A、0.2

B、0.3

C、0.4

D、0.5

标准答案：A

知识点解析：利用服从正态分布的随机变量取值概率的对称性求之，也可利用标准

正态分布的性质求之.解一因X〜N(2,Q2),由其对称性得到P(X>2)=P(XV2)

=0.5,且P(0VXV2)=P(2VXV4).于是由P(XV2)=P(XV0)+P(0VXV2),

P(X>2)=P(2<X<4)+P(X>4)得到P(X<0)+P(0<X<2)=P(2<X<4)+P(X>

4),即P(XV0)=P(X>4)=P(X>2)—P(2VXV4)=0.5—0.3=0.2.解二由

P(2<X<4)=P(0<©<Jf\。/一0(0)=①(—)—0.5=0.3得至IJ①()

=0.8.而P(XV0)=p()=L故P(xV0)=①()=1—0.8=0.2.仅(A)入选.

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

•I-COKX

9、f(x)=Josint2dt,当x-0时，f(x)是x的n阶无穷小，则n=.

标准答案：6

知识点解析：可用下述结论观察求出，也可利用n阶无穷小定义求出.当f(x)连续

且x->a时，f(x)是X—>a的n阶无穷小量，g(x)是x—a以的m阶无穷小量，则当

X—»a时，J"f(t)出必为x—a的n+1阶无穷小量，f(t)dl必为x—a的(n+l)m

阶无穷小量.解一因sinx?是x—0=x的2阶无穷小量，1—cosx〜x2/2为x的2

阶无穷小量，则X-0时，sin*出为x的(2+l)x2=6阶无穷小量，即n=6.解二

因而n=6.

10

4

标准答案：彳

知以点解析：分段积分，且作变量代换求

之.

原式=/，sinx—sidzdr+[-/sinr—sin3xdz(第二式中令Jr—n

J0Jir/2

=『*ysinx—sin'jrdx+-/sinCn—/)-sin3(jr-/)d(TT—f)

Jon/2

fn/2________fir/2----------r――

=JVSITLT--sin'xdx+JVsint-sintat

=2广/sirir-sin亏dz(令t=singdi=彳")

知识点解析：积分区域为圆域的一部分，被积函数又为f[x2+y2)的形式，应用极

坐标系计算.所给二次积分的积分区域为D={(x,y)Iy<x<

心一$•()«"&}.它为圆域x2+y2^2在第一象限的1/2,即口=

{(r,0)I0<r<a,0<6<7t/4).应改换为极坐标表计算：原式=

12、微分方程xdy=y(xy—l)dx的通解为.

]

标准答案：一工。nz+C)

知识点解析：所给方程化为全微分方程而解之.此方程可化为xdy+ydx=

]

xy2dx.两边乘以(刀)2得到凶故得d(

13、设A,B均为四阶方阵，r(A)=3,r(B)=4,其伴随矩阵分别为A*,B*,则

r(A*B*)=.

标准答案：1

知识点解析：分别求出r(A>r(B").如果r(B*)为满秩矩阵，则r(A*B*)=

r(A*).因r(A)=3,故r(A*)=1(因当r(A)=n—1时，r(A*)=I).又r(B)=4,故

r(B*)=4(因r(B)=n,则r(B*)=n),即B*为满秩矩阵，于是r(A'B*)=r(A*)=1.

01--01

X〜X3_，丫〜11

14、设随机变量,7Z.L7,且协方差cov(X,Y)=8,则X

与Y的联合分布为_

X

03.

01/401/4

11/41/23/4

1/21/21

标准答案：------■

知识点解析：由X,Y所服从的分布即知E(X)=3/4,E(Y)=1/2,且E(XY)=

P(X=1,Y=l).今又已知cov(X,Y)=l/8,从而可由cov(X,Y)=E(XY)-

E(X)E(Y)=1/8求出E(XY)=P(X=1,Y=l)=l/2.有了这个数据，就可利用

31

联合分布与边缘分布的美系求出其联合分布.由题设易知，E(x)=T,E<y)=y-

又cov(x,Y)=E(XY)—E(x)E(Y)=E(XY)—二,故E(XY)=.由于XY仅取0

与1两个值，E(XY)=l.P(XY=l)=P(x=l,Y=l)=,再根据联合分布与边缘分

布的关系，即可求出X与Y的联合分布.事实上由pi2+p22=p12+l/2=1/2,

得到P12=O.由pll+pl2=p11+0=l/4,即得p“=l/4.又由pu+p21=l/4

+p2!=l/2,得到P21="4.于是得到其联合分布为注意大家知道由联合分布

可求出边缘分布，但仅由边缘分布求不出联合分布.如果在给出边缘分布的同时还

附加某些条件，如相互独立，或条件分布或某些概率值，则可求出其联合分布.上

例就是在给出边缘分布的条件下，还给出了一个概率值P(X=I,Y=1)=E(XY)=

1/2.当然，这个值不是直接给出，而是要你推导的.

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

15、求J°xIxfIdx(入不为常数).

标准答案：当心0时，

,2<2riI2R

x|x-AIdx=-A)d-r=木工'—彳=——2人；

JoJoLJ/」0s当o

<入<2时，口当后2时，

知识点解析：要根据入的不同的值，去掉被积函数的绝对值符号.由lx—入1=0

得到九=x,而x£[0,2],因而要根据KO,0VA.V2及粒2二种情况讨论.

16、已知f(x),g(x)连续可导,且f(x)=g(x),gXx)=f(x)+(p(x),其中(p(x)为某已

知连续函数，g(x)满足微分方程gr(x)—xg(x)=cosx+(p(x).求不定积分Jx『(x)dx.

标准答案：因为jxF(x)dx=JxdF(x)=xf(x)-jF(x)dx=xr(x)—f(x)+C,乂由「(x)

=g(x),g*(x)=f(x)+(p(x),于是有JxF'(x)dx=xg(x)—[g'(x)〜(p(x)]+C=xg(x)一

gf(x)+(p(x)+C=—cosx+C.注意上例不必求解微分方程g'(x)—xg(x)=cosx+

(p(x)求由g(x).

知识点解析：从不定积分Jx『(x)dx的形式：被积函数含有导函数为因子函数，可用

分部积分法求之.

17、设OVa<7c/2,证明存在一点匕6(a,兀/2),使得

2£cosfe

7t

e—dt

4=0.

2sinae1dt

Jo

sinx

7t/41

a2sina

标准答案：令则F(a)=0(因F(x)中第1行

与第3行相同),F("2)=0(因F(x)中的第1行与第2行相同).显然F(x)在⑶与

2]上连续，在(a,兀/2)内可导，因而F(x)满足罗尔定理的所有条件.对F(x)在[a,

冗/2］上使用罗尔定理知，存在&Ra,n/2),使F(g)=O,即

2$cosfe

•r/2z

n/41dt=0.

sinae'dt

知识点解析：将上三阶行列式的第1行的3个元素分别视为函数x2,sinx,

公sinxJe~/2dt

♦2,

K/41d'dt

/I出处的导数值.令asinae'dt

验证F(x)

在区间［a,兀/2］上满足罗尔定理的条件.对F(x)在［a,兀/2］上使用罗尔定理即可

证明待证等式.

400

18、设某种商品的销售量Q和价格P的函数关系是Q=AFS—5,成本C与产量

Q的函数关系是C=Q2+10Q+50.(1)求利润L与销售量Q的函数关系；(2)求使

利润最大的销售量及最大利润.

400

标准答案：(1)由销售量Q与价格P的函数关系可解出P=G和—4,故利润L与

［x|7

Q的函数关系是L=PQY=3—Q--10Q—50,其中QK).⑵令U(Q)=一

2Q-10=0,可得到唯一驻点Q=5.又因L"(Q)=一一2<0,可见L(5)是L的极

大值.由极值点的唯一性知，L(5)就是L(Q)的最大值，巨最大利润为maxL=L(5)

=75.

知识点解析：将利润仅表示成Q的函数关系，为此需将价格也要写成Q的函数，

然后按极值(最值)的一般求法求出.

19、某种商品t时期的供给量Si和需求量D(与R的关系分别为1=3+2Pt，Dt=4

-3Pt-1.又假定在每个时期中&=口，且当t=0时，Pt=Po,求价格随时间变化

的规律.

31

标准答案：由S产D得3+2R=4-3P1,即P(+2p一=2\此为一阶常系

数线性非齐次差分方程.由于a=一口#=1,故方程特解为=A.代入方程得A

=1/5.对应齐次方程的通解是CO，,于是该题的通解为Pt=.其中C为任意常

数.利用初始条件t=0时，Pt=P(),求出常数C=Po—，则价格随时间变化的规

律为Pt=

知识点解析：由题设条件可得一差分方程％+(3/2)PIT=1/2=(1/2).1'.因特

征根九=一3/2#11,故可设特解P；=A.

20、已知A,B为三阶非零方阵,

-0-alrb-

Pi=1%=2,仇=1

u」1°」为齐次线性方

程组BX=0的3个解向量.且AX=03有非零解.(1)求a,b的值；(2)求BX=0

的通解.

标准答案：(1)因B#),故n：B)多,因而BX=0的基础解系所含解向量的个数为n

一r(B)$3—1=2个.而例，的，饱均是BX=0的解，故仇，彷，饱必线性相关,

Qab

]21

于是1m，。2,03I=71°=0解得a=3b.又AX=(h有非零解，即伤

可由A的3个列向量L冈J线性表示，由观察易看出a3=3ai+2a2.可见，饱可由

a]，a2线性表示，因此的，ai，a?线性相关，于是I饱，ai，I==0,解得b

=5,从而a=15.(2)由题设r(B)^5于是3—r(B)£2,又已知例,也为BX=0

的两个线性无关的解，故3—r(B巨2,所以3—r(B)=2,pi，例即可作为BX=0

的基础解系，故通解为X=k]Bi+k2B2(ki，k2为任意常数).

知识点解析：因r(B)Nl,故0|,也，饱必线性相关.又由AX=p3知，饱可表示为

A的3个列向量的线性组.由这两个线性关系式可求出a,b.

21、设a,p是三维单位正交列向量，令人:珅丁+限’.证明：(1)1AI=0；

(2)a+p,a-0是A的特征向量；(3)A相似于对角阵，并写出该对角阵.

标准答案：(1)A为三阶矩阵，r(A)=r(apT+paT)<r(a(3T)+r(paT)<r(a)+r(p)<2<3,

故IAI=0.(2)因a,。为三维单位正交向量，故pTp=l,apT==paT=

0.当然a,。线性无关，又a,。为单位向量，a+时0,故A(a+0)=(a|f+

par)(a+P)=ap'1a+apTp+para+parp=a.0+a.l+p.1+p.0=a+p即a+)为A的

对应于特征值X|=I的特征向量.同法可求A(a—p)=(afiT4-paT)(a—p)=apTa—

apTp+paTa-paTp=a.O-a.1+p.1-p.0=-(a-P),故a-p为A的对应于特征值

X2=-l的特征向量.设另一特征值为久3，由IAI=0得到IAI=入次2入3=0，

故入3=0.(3)因A有3个不同特征值，故A-A=diag(0,I,—1),即其相似对

角矩阵的A=diag(0,1,-l)(diag为对角矩阵的英文简写).

知识点解析：(I)利用r(B+C)&r(B)+r(C),r(BC)<r(B),r(C),证明式A)<3；(2)利

用特征向量的定义，即利用A(a+p)=k(a+p)，A(a-[5)=C(a—p)证之；(3)证明

A有3个不同的特征值即可.

22、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

・0<z<l,0<;y<l,

f(x