考研数学一(线性代数)模拟试卷64(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷64（题后含答案及解析）

题型有：1.选择题2.填空题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设有向量组-1,cl,0）T,a2=（1,0,c2,3）T,a3=（0,0,

c3.5）T.a4=（1,0,0,X）T,则下列结论.正确的是（）

A.a1,a2,a3,a4必线性相关.

B.a1,a2,Q3,Q4必线性无关.

C.a2,a3,a4必线性相关.

D.a1,a2,Q3必线性无关.

正确答案：D

解析：若CJE确，即Q2,a3,Q4线性相关，则Ql,a2,a3,线

性相关，即A正确，排除

C.若B正确，即a],a2,a3,a4线性无关，则al,a2,a3线

性无关，即D正确，排除

B.若A正碓，则C、D可能正确，排除A.故应选

D.知识模块：线性代数

2.若方阵A,B,C满足AB二CB,则必有（）

A.A=

C.

B.若A,B,C都可逆，则

C.B-0.

D.IBI=0.

正确答案：B

解析：若A,B,C都可逆，则IAIWO,IBIWO,ICIW0,由AB=CB

得|ABl=ICBl,E|A|IBI=ICI|B|,故|A|二|C|,即知识模

块：线性代数

3.设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中可用正交

变换化为对角矩阵的是（）

A.BA

B.

B.ABA.

C.（AB）2.

D.AB2.

正确答案：A

解析：因为可以用正交变换化为对角形的矩阵必为对称阵，依题意有AT=A,

BT=-B,故只有选项A中(BAB)T=BTATBT=(-B)A(-B)=BAB,即只有矩阵BAB

为对称矩阵.知识模块：线性代数

4.设al,a2,a3是3维向量空间R3中的一组基，则由基。2,a1-a

2,Q1+a3到基a1+a2,Q3,Q2-al的过渡矩阵为()

A.

B.

C.

D.

正确答案：C

解析：设(a2+a2,a3,a2-a1)=(a2,a1-a2,a1+a3)C,贝lj(a1,

a2,a3)=(a1,a2,a3)由于al,a2,a3是R3中的一组基，故(al,a2,

a3)可逆，则知识模块：线性代数

5.设有向量组Q1=(1,-1,1,0)T,a2=(1,2,-1,0)T,a3=(0,1,1,

1)T,a4=(2,2,1,1)T,则以下命题正确的是()

A.al线性相关.

B.a1,a2线性相关.

C.ai,a2,Q3线性相关.

D.a1,a2,Q3,Q4线性相关.

正确答案：D

解析：因a1W0,故排除A,又al,a2对应分量不成比例，故排除B,

选项C、D都可能对，但此题是单选，若C成立，则D也成立，故排除

C.而事实上，因为Ia1,a2,a3,a4|所以al,a2,a3,a4

线性相关，所以选择

D.知识模块：线性代数

6.设A是3阶矩阵，Pl,82,B3是互不相同的3维列向量，且都不是

方程组AX=O的解，记B=(B1,B2,B3),且满足R(AB)<R(A),R(AB)<R(B).则

R(AB)等于()

A.0.

B.1.

C.2.

D.3.

正确答案：B

解析：Bi不是AX=O的解，即ABHO,R(AB)21.又R(AB)VR(A),

则矩阵B不可逆.因为假设矩阵B可逆，则R(AB)=R(A),这和R(AB)<R(A)

矛盾.所以R(B)W2,从而R(AB)VR(B)W2,即R(AB)W1,从而有R(AB)=1.知

识模块：线性代数

7.设矩阵A=(al,Q2,…，Qn)经过若干次初等行变换后变成了矩阵

B=(31,32,…，Bn),则在A,B中()

A.对应的任何部分行向量组具有相同的线性相关性.

B.对应的任何部分列向量组不一定具有相同的线性相关性.

C.对应的k阶子式或同时为零或同时不为零.

D.对应的齐次线性方程组AX=O,BX=()是同解方程组.

正确答案：D

解析：因A经过若干次初等行变换变成B,所以存在可逆矩阵P,使得

B=PA.若AX=O,则PAX=O,即.BX=O；反之，若BX=O,则PAX=O,式

子两边同时左乘P-1,得AX=O.所以由A,B组成的方程组AX=O与BX=0同

解.故选

D.知识模块：线性代数

8.设矩阵AmXn经过若干次初等行变换后得到B,以下4个结论中正确

的是()①A的行向量:组均可由B的行向量组线性表示；②A的列向量组均可

由B的列向量组线性表示；③B的行向量组均可由A的行向量组线性表示；④B

的列向量组均可由A的列向量组线性表示.

A.①、②.

B.③、④.

C.②、③.

D.①、③.

正确答案：D

解析：由题设，A经初等行变换得到B,知有初等矩阵Pl,P2,…，Ps,

使得Ps.….P2P1A二

B.记P=Ps.….P2P1,则P=(pij)mXm是可逆矩阵，将A,B均按行向量分

块，有这表明pilQ1+pi2a2+…+pimam=Bi(i=l,2,…，m),故B的行向量

组均可由A的行向量组线性表示；因P=(pij)mXm是可逆矩阵，所以两边同乘

P-1,得，故A的行向量组均可由B的行向量组线性表示.所以选

D.知识模块：线性代数

9.设有任意两个n维向量组a1,…，am和B1,…，Pm,若存在两组

小全为零的入1,…，入m和kl,k2,…，km,使(入1+kl)a1+…+(入m+km)Q

m+(X1-kl)S1+,•,+(Xm-km)3m=0,则()

A.al,am和Bl,…,Bm都线性相关.

B.al,…，am和Bl,…，Bm都线性无关.

C.a1+B1,…，am+Bm,a1-31,am-Bm线性无关.

D.a1+P1,am+Pm,al-Bl,…，am・Bm线性相关.

正确答案：D

解析：本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组Y1,

丫2,•••,丫s线性无关，即若xl丫l+x2丫2+・・・+xs丫s=0,必'有xl=O,x2=0,••­,

xs=O.入1,…，入m与kl,…，km不全为零，由此推不出某向量组线性

无关，故应排除B、

C.一般情况下，对于klal+k2a2+-+ksas+11Pl+-+lsPs=O,

不能保证必有kla1+k2a2+…+ksQs=0及11B1+…+lsBs=0,故A不正确,由

已知条件，有入1(a1+P1)+,,•+入m(am+Pm)+kl(a1-P1)+…+km(ain-P

m)=0＞又入1,…，入m与kl,…，km不全为零，故Q1+B1,…，am+Bm,

al-Bl,…,am-Bm线性相关.故选

D.知识模块：线性代数

10.要使&1=(1,0,2)T,€2=(0,1,・1)T都是齐次线性方程组AX=0的

解，只要系数矩阵为()

A.

B.

C.

D.

正确答案：A

解析：€1,&2对应的分量不成比例，所以a1,&2是AX=0的两个线性

无关的解，故n-R(A)22.由n=3知R(A)W1.再看A选项，矩阵的秩为1；

B和C选项，矩阵的秩为2；D选项，矩阵的秩为3.故本题选A.知识模块：

线性代数

11.设A为mXn矩阵，则与线性方程组AX=b同解的方程组是()

A.当m二n时，ATX=b.

B.QAX=Qb,Q为初等矩阵.

C.R(A尸R(A,b)=i'时，由AX二b的前r个方程所构成的方程组.

D.R(A)=R(A,b)=r时，由AX=b的任r个方程所构成的方程组.

TF确答案：B

解析：因Q为初等矩阵，故左乘Q等于对矩阵进行初等行变换，所得方程

组与原方程组同解.若两个非齐次方程组同解，则两个方程组的系数矩阵秩相同,

但反之不成立，所以排除A、C、

D.知识模块：线性代数

12.设n元齐次线性方程组的一个基础解系为ni,n2,n3,n4,则下

列向量组中仍为该齐次线性方程组的基础解系的是()

A.n1-n2,n2・n3,n3・n4,n4-n1.

B.ai+n2,n2+n3,n3+n4,n4+n1.

c.ni,ni+n2,ni+n2+n3,ni+n2+n3+n4.

D.n1+n2,n2+q3,n3-n4,n4-n1.

正确答案：C

解析：显然题设中的n元齐次线性方程组的基础解系含4个线性无关的解向

量，只需验证各选项中的4个向量是否线性无关，且是否是已知方程组的

解.设kini+k2(n1+n2)+k3(n1+n2+n3)+k4(n1+n2+n3+n4)=0,

B|J(kl+k2+k3+k4)Q1+(k2+k3+k4)n2+(k3+k4)n3+k4n4=0.由n1,n

2,n3,n4线性无关知kl=k2=k3=k4=0,所以C中4个向量线性无关.放C

仍为已知齐次线性方程组的基础解系.知识模块：线性代数

13.设A为mXn矩阵，对于齐次线性方程组(I)AX=0和(II)ATAX=0,

必有()

A.(I)的解是(II)的解，(II)的解也是(I)的解.

B.(I)的解是(H)的解，但(II)的解不是(I)的解.

C.(II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(H)的解.

D.(I)的解不是(H)的解，(II)的解也不是(I)的解.

正确答案：A

解析：设a是AX=0的解，即Aa=0,则ATAa=0,即(I)的解是(II)的

解.设B是ATAX=0的解，则ATAP=0.两边左乘BT,得至ijBTATAB二

PT0=0,整理可得(AB)TAB=0,从而得到A8=0,即(H)的解是(I)的解.知

识模块：线性代数

14.已知矩阵A二相似，则()

A.x=(),y=-3.

B.x=0,y=3.

C.x=-3,y=0.

D.x=3,y=0.

正确答案：A

解析：因矩阵A和矩阵b相似,故IAI=IBI,即故-2=2(3y+8),解得y=-3,

因矩阵A和矩阵B相似,故tr(A)=tr(B),即2+()+x=2+3+(-3),解得x=0.所以选

择A.知识模块：线性代数

15.A是3阶方阵，有特征值1,-2,4,则下列矩阵中满秩的是()(其

中E为3阶单位矩阵)

A.E-A.

B.A+2E.

C.2E-A.

D.A-4E.

正确答案：C

解析：(排除法)要使方阵满秩，则其行列式必须不等于0,因A的特征值

为1,-2,4,故IE-AI=0,I-2E-AI=(-1)3IA+2EI=0,I4E-AI=-IA-4EI

=0,则E-A,A+2E,A-4E都是不满秩矩阵，故可排除A、B、

D.知识模块：线性代数

16.设A是3阶对称矩阵，ai(i=l,2,3)是A的线性无关的特征向量，

且满足Aai=i2ai(i=l,2,3),则A合同于()

A.

B.

C.

D.

正确答案：A

解析：本题：考查特征值、特征向量的定义，在表达式Aai=i2ai中，i2

是矩阵A的特征值，Qi是A的属于i2的特征向量，所以当i=l有Aal=12a1,

所以1是特征值，以此类推，i=2,有Aa2=22a2,i=3,有A。3=32。3,所以

4,9也分别是A的特征值，故选择A.知识模块：线性代数

17.n阶实对称矩阵A正定的充要条件是()

A.IAI>0.

B.A的所有特征值非负.

C.A-1为正定矩阵.

D.R(A)=n.

正确答案：C

解析：A、B、D是必要但非充分条件，只有C为正确选项.事实上，设A

的特征值为入1,入2,…，An,贝ijA-1的特征值为，因为A-1正定，>0,从

而入2,…，n),即A是正定矩阵.知识模块：线性代数

18.设A是n阶实对称阵，秩为r,A对应的二次型厂的符号差为s,则必

有()

A.r是奇数，s是偶数.

B.r是偶数，s是奇数.

C.r,s均为偶数，不能是奇数.

D.r,s或均是偶数，或均是奇数.

正确答案：D

解析：设p,q分别为f的正负惯性指数,r=p+q,s=p-q,故r+s=2p,从而r,

s或均是偶数，或均是奇数.故选

D.知识模块：线性代数

填空题

19.计算n阶行列式：Dn=.

正确答案：

解析：将第j列元素的。=2,3,…，n)倍加到第1歹U，得知识模块：线性

代数

20.设矩阵A=,A*为A的伴随矩阵，则A*(l,1,1)T+A*(1,2,1)T+A*(1,

1,3)T=.

正确答案：(2,2,2)T

解析:因为A*A=IAIIE,IAI=2,将矩阵A进行列分块A=(a1,a2,

a3),则A*(l,1,1)T+A*(1,2,1)T+A*(1,1,3)T=A*a1+A*a2+A*a3=知

识模块：线性代数

21.设A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0,则匚.

正确答案：・3

解析：因B为3除非零矩阵，又AB=0,故B的列向量为方程组AX=0的解

且为非零解，故IAI=0,解得t=-3.知识模块：线性代数

22.设二(1,1,1),a2=(1,2,3),a3=(1,3,t),当_____时，a1,

a2,a3线性无关.

正确答案：l#5

解析：因Ql,a2,a3线性无关，故知识模块：线性代数

23.已知方程组无解，则&=.

正确答案：-1

解析：当a=l时，=3WR(A)=2,此时方程组无解.知识模块：线性代数

24.已知四元非齐次方程组AX=b,R(A)=3,a1,a2,Q3是它的三个

解向量，且a1+a2=(1,1,0,2)T,a2+a3=(1,0,1,3)T,则AX=b的通解

是.

正确答案：X=k(0,1,-1,-1)T+(1,1,0,2)T

解析：因Aal=b.Aa2=b,故是方程组AX=b的特解，乂R(A)=3,n=4,

故齐次方程组AX=0的基础解系只含一个解向量，由a1,Q3是AX=b的解知

a1-03为齐次方程组AX=0的解，而a1-a3=(a1+a2)-(a2+a3)=(0,0,

-1,-1)T,故AX=b的通解为X=k(0,1,・1,-1)T+(1,1,0,2)T.知识模块：

线性代数

25.设方程组每一个方程都表示一个平面，若系数矩阵的